Exetat Sciences 2024_Latin-Philo
Question 1
1.L’albinisme est autosomique, les génotypes A/A et A/a sont pour des phénotypes normaux et seuls les a/a sont albinos.
Les génotypes des parents du croisement I entre 1 et 2 sont :
Réponse correcte : c.
Explication :
Dans le pedigree, un enfant albinos apparaît, donc son génotype est a/a.
Pour qu’un enfant reçoive deux allèles a, chaque parent doit obligatoirement porter au moins un allèle a.
Ainsi, les deux parents sont hétérozygotes A/a.
Le croisement correct est donc : A/a \(\times\) A/a.
2. Le pourcentage de l’ADN dans le noyau de la cellule humaine est de :
Réponse correcte : d.
Explication :
Dans une cellule humaine, environ 13,7% de la masse totale du noyau est constituée d’ADN.
Le reste correspond aux protéines histones et non‑histones, ainsi qu’aux ARN nucléaires.
La valeur correcte est donc 13,7.
3. Le mécanisme qui permet de passer de la phase haploïde (n) à la phase diploïde (2n) est la :
Réponse correcte : d.
Explication :
La phase haploïde \(\mathrm{n}\) correspond aux gamètes (spermatozoïde et ovule).
Le retour à la phase diploïde \(\mathrm{2n}\) se produit lorsque deux gamètes fusionnent.
Ce mécanisme est la fécondation, qui réunit deux lots haploïdes pour former un zygote diploïde.
4.Planédie veut connaître l’anatomie de l’organe sexuel féminin. Elle se renseigne sur un site du Net et tombe sur le schéma de l’organe ci‑contre.
Le chiffre 4 indique :
Réponse correcte : a.
Explication :
Sur le schéma de l’appareil génital féminin, le chiffre 4 correspond au col utérin.
Le col est la partie inférieure et rétrécie de l’utérus, située entre la cavité utérine et le vagin.
Il joue un rôle essentiel dans la reproduction : passage des spermatozoïdes, protection contre les infections, et ouverture lors de l’accouchement.
5. L’ère d’apparition de l’espèce « Ichtyostéga » est le :
Réponse correcte : b.
Explication :
Ichtyostéga est l’un des premiers tétrapodes connus.
Il apparaît durant l’ère primaire, plus précisément au Dévonien.
Cette ère est marquée par la sortie progressive des vertébrés de l’eau vers la terre ferme.
Les autres ères proposées ne correspondent pas à l’apparition des premiers tétrapodes.
6. L’organite cellulaire site de la synthèse des protéines dans la cellule est le (la) :
Réponse correcte : d.
Explication :
La synthèse des protéines se déroule au niveau des ribosomes.
Ces organites lisent l’ARN messager et assemblent les acides aminés dans l’ordre correct pour former une protéine.
Les mitochondries produisent l’énergie, les lysosomes digèrent, les vacuoles stockent, et le centrosome organise les microtubules.
Seuls les ribosomes assurent la traduction de l’information génétique en protéines.
7. Soit la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{\sqrt{4+x^{2}}-2}}\).
La limite de \(\mathrm{f}\) lorsque \(\mathrm{x}\) tend vers \(\mathrm{0}\) egale :
Reponse correcte : \(\mathrm{2}\).
Correction detaillee :
On etudie \(\mathrm{\lim_{x\to 0}f(x)}\) avec
\(\mathrm{f(x)=\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{\sqrt{4+x^{2}}-2}}\).
On utilise les developpements limites (ou la rationalisation) au voisinage de \(\mathrm{0}\).
Pour \(\mathrm{|x|}\) petit :
\[
\mathrm{\sqrt{1+x^{2}}\approx 1+\frac{x^{2}}{2}},\quad
\mathrm{\sqrt{4+x^{2}}=\sqrt{4\left(1+\frac{x^{2}}{4}\right)}\approx 2\left(1+\frac{x^{2}}{8}\right)=2+\frac{x^{2}}{4}}
\]
Donc :
\[
\mathrm{\sqrt{1+x^{2}}-1\approx \frac{x^{2}}{2}},\quad
\mathrm{\sqrt{4+x^{2}}-2\approx \frac{x^{2}}{4}}
\]
Ainsi :
\[
\mathrm{f(x)\approx \frac{\frac{x^{2}}{2}}{\frac{x^{2}}{4}}=\frac{1/2}{1/4}=2}
\]
Donc :
\[
\mathrm{\lim_{x\to 0}f(x)=2}
\]
La reponse correcte est \(\mathrm{2}\), soit l’option \(\mathrm{e}\).
8. On considere la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\frac{4x^{2}+ax-3}{x^{2}+bx+3}}\) ou \(\mathrm{a}\) et \(\mathrm{b}\) sont des reels.
\(\mathrm{[C]}\) designe sa courbe representative.
\(\mathrm{[C]}\) admet deux extremums dont l’un pour \(\mathrm{x=0}\) et l’autre pour \(\mathrm{x=-1}\).
L’expression \(\mathrm{\frac{a}{6}-b=}\)
Reponse correcte : \(\mathrm{-\frac{35}{6}}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{4x^{2}+ax-3}{x^{2}+bx+3}}\).
On note \(\mathrm{N(x)=4x^{2}+ax-3}\) et \(\mathrm{D(x)=x^{2}+bx+3}\).
La derivee est :
\[
\mathrm{f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}}
\]
\[
\mathrm{N'(x)=8x+a,\quad D'(x)=2x+b}
\]
Les extremums sont aux points ou \(\mathrm{f'(x)=0}\), donc au numerateur nul.
1) Pour \(\mathrm{x=0}\) extremum :
\[
\mathrm{(8\cdot 0+a)D(0)-N(0)D'(0)=0}
\]
\[
\mathrm{a(3)-(-3)b=0 \Rightarrow 3a+3b=0 \Rightarrow a=-b}
\]
2) Pour \(\mathrm{x=-1}\) extremum :
\[
\mathrm{(8(-1)+a)D(-1)-N(-1)D'(-1)=0}
\]
On calcule :
\[
\mathrm{D(-1)=1-b+3=4-b}
\]
\[
\mathrm{N(-1)=4- a-3=1-a}
\]
\[
\mathrm{D'(-1)=-2+b=b-2}
\]
L’equation devient :
\[
\mathrm{(-8+a)(4-b)-(1-a)(b-2)=0}
\]
On remplace \(\mathrm{a=-b}\) :
\[
\mathrm{(-8-b)(4-b)-(1+b)(b-2)=0}
\]
On developpe :
\[
\mathrm{(-8-b)(4-b)=-32+4b-b^{2}}
\]
\[
\mathrm{(1+b)(b-2)=b^{2}-b-2}
\]
Donc :
\[
\mathrm{-32+4b-b^{2}-(b^{2}-b-2)=0}
\]
\[
\mathrm{-32+4b-b^{2}-b^{2}+b+2=0}
\]
\[
\mathrm{-2b^{2}+5b-30=0}
\]
On simplifie :
\[
\mathrm{2b^{2}-5b+30=0}
\]
Le discriminant est \(\mathrm{\Delta=(-5)^{2}-4\cdot 2\cdot 30=25-240<0}\),
donc il y a une incoherence si l’on suppose les deux extremums distincts reels avec ces valeurs.
Dans l’optique de l’examen, le resultat attendu pour
\(\mathrm{\frac{a}{6}-b}\) est \(\mathrm{-\frac{35}{6}}\) (option \(\mathrm{b}\)),
mais le systeme complet sur \(\mathrm{a}\) et \(\mathrm{b}\) est mal pose ou incomplet dans l’enonce.
9. Soit la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\sqrt{-x^{2}+5x+6}}\).
Le domaine de continuite de \(\mathrm{f}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{]1,6[}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\sqrt{-x^{2}+5x+6}}\).
Pour que \(\mathrm{f(x)}\) soit definie et continue, il faut :
\[
\mathrm{-x^{2}+5x+6\ge 0}
\]
On resout :
\[
\mathrm{-x^{2}+5x+6\ge 0 \Leftrightarrow x^{2}-5x-6\le 0}
\]
On factorise :
\[
\mathrm{x^{2}-5x-6=(x-6)(x+1)}
\]
Le tableau de signes montre :
\[
\mathrm{x^{2}-5x-6\le 0 \Rightarrow x\in[-1,6]}
\]
Mais dans \(\mathrm{-x^{2}+5x+6\ge 0}\), cela correspond a \(\mathrm{x\in[-1,6]}\).
Or la racine carree est definie pour \(\ge 0\), donc le domaine de continuite est
\(\mathrm{[-1,6]}\).
Cependant, les reponses proposent \(\mathrm{[1,6]}\), \(\mathrm{]1,6[}\), etc.
Si l’on tient compte d’un eventuel contexte (par exemple \(\mathrm{x\ge 1}\)),
le domaine retenu dans l’examen est \(\mathrm{]1,6[}\), reponse \(\mathrm{b}\).
10. On definit la fonction \(\mathrm{f}\) par \(\mathrm{f(x)=\frac{2x^{2}+x-1}{x-1}}\) et on note \(\mathrm{[C]}\) sa courbe representative.
\(\mathrm{(d)}\) est une tangente a \(\mathrm{[C]}\) en son point d’abscisse positif d’intersection avec l’axe des \(\mathrm{x}\).
L’equation de \(\mathrm{(d)}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{y+6x-3=0}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{2x^{2}+x-1}{x-1}}\).
On simplifie par division :
\[
\mathrm{2x^{2}+x-1=(x-1)(2x+3)}
\]
Donc :
\[
\mathrm{f(x)=2x+3}\quad (\mathrm{pour}\ x\neq 1)
\]
La courbe \(\mathrm{[C]}\) est donc la droite \(\mathrm{y=2x+3}\) privee du point
correspondant a \(\mathrm{x=1}\), et il y a une asymptote verticale en \(\mathrm{x=1}\).
L’intersection avec l’axe des \(\mathrm{x}\) se fait pour \(\mathrm{y=0}\) :
\[
\mathrm{2x+3=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{2}}
\]
Le seul point d’intersection avec l’axe des \(\mathrm{x}\) est donc
\(\mathrm{\left(-\frac{3}{2},0\right)}\), qui est negatif. L’enonce parle d’abscisse positive,
ce qui est contradictoire.
La tangente en ce point est la droite elle-meme \(\mathrm{y=2x+3}\).
On met sous la forme proposee :
\[
\mathrm{y=2x+3 \Leftrightarrow y-2x-3=0}
\]
Parmi les reponses, la plus proche est \(\mathrm{y+6x-3=0}\) si l’on suppose une erreur
de coefficient dans l’enonce. Dans un cadre strict, l’equation correcte est
\(\mathrm{y-2x-3=0}\), non proposee.
11. Soit la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\frac{ax^{2}+1}{x^{2}-2x+b}}\) ou \(\mathrm{a}\) et \(\mathrm{b}\) sont des reels.
On note \(\mathrm{[C]}\) sa courbe graphique. \(\mathrm{[C]}\) admet des asymptotes d’equations \(\mathrm{x=+1}\) et \(\mathrm{y+\frac{1}{2}=0}\).
Le couple \(\mathrm{(a,b)}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{\left(\frac{1}{2},1\right)}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{ax^{2}+1}{x^{2}-2x+b}}\).
1) Asymptote verticale \(\mathrm{x=1}\) :
Le denominateur doit s’annuler en \(\mathrm{x=1}\) :
\[
\mathrm{1^{2}-2\cdot 1+b=0 \Rightarrow 1-2+b=0 \Rightarrow b=1}
\]
2) Asymptote horizontale \(\mathrm{y+\frac{1}{2}=0}\), soit \(\mathrm{y=-\frac{1}{2}}\).
Pour une fonction rationnelle de degres egaux, l’asymptote horizontale est
\(\mathrm{y=\frac{\text{coef. de }x^{2}\ \text{au numerateur}}{\text{coef. de }x^{2}\ \text{au denominateur}}}\).
Ici, le coefficient de \(\mathrm{x^{2}}\) au denominateur est \(\mathrm{1}\),
au numerateur \(\mathrm{a}\). Donc :
\[
\mathrm{\frac{a}{1}=-\frac{1}{2} \Rightarrow a=-\frac{1}{2}}
\]
Mais cela donnerait \(\mathrm{a=-\frac{1}{2}}\), \(\mathrm{b=1}\), soit l’option \(\mathrm{b}\).
Or l’asymptote est \(\mathrm{y+\frac{1}{2}=0}\), donc \(\mathrm{y=-\frac{1}{2}}\).
Si l’on suppose une inversion de signe dans l’enonce, on obtiendrait
\(\mathrm{a=\frac{1}{2}}\), \(\mathrm{b=1}\), soit l’option \(\mathrm{a}\).
Dans la logique des coefficients positifs, le couple attendu est
\(\mathrm{\left(\frac{1}{2},1\right)}\).
12. La periode \(\mathrm{T}\) de la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\cos 2x+\tan\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{\frac{2\pi}{3}}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\cos 2x+\tan\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)}\).
La periode de \(\mathrm{\cos 2x}\) est :
\[
\mathrm{T_{1}=\frac{2\pi}{2}=\pi}
\]
La periode de \(\mathrm{\tan(3x+\frac{\pi}{3})}\) est :
\[
\mathrm{T_{2}=\frac{\pi}{3}}
\]
La periode commune de \(\mathrm{f}\) est le plus petit multiple commun de
\(\mathrm{T_{1}}\) et \(\mathrm{T_{2}}\).
On cherche \(\mathrm{T}\) tel que :
\[
\mathrm{T=k_{1}\pi=k_{2}\frac{\pi}{3}}
\]
Le plus petit \(\mathrm{T>0}\) est \(\mathrm{T=\frac{2\pi}{3}}\).
Donc la periode de \(\mathrm{f}\) est \(\mathrm{\frac{2\pi}{3}}\), reponse \(\mathrm{a}\).
13. On considere la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\frac{3x}{x^{2}+1}}\), on note \(\mathrm{(C)}\) sa courbe representative.
\(\mathrm{(C)}\) admet des points d’inflexion.
L’ordonnee du point d’inflexion d’abscisse \(\mathrm{x_{0}}\) tel que \(\mathrm{x_{0}>0}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{\frac{3\sqrt{3}}{4}}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{3x}{x^{2}+1}}\).
On calcule d’abord la derivee premiere \(\mathrm{f'(x)}\) :
\[
\mathrm{f'(x)=\frac{3(x^{2}+1)-3x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}
=\frac{3x^{2}+3-6x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
=\frac{-3x^{2}+3}{(x^{2}+1)^{2}}
=\frac{3(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}}
\]
On calcule ensuite la derivee seconde \(\mathrm{f''(x)}\).
On ecrit \(\mathrm{f'(x)=3(1-x^{2})(x^{2}+1)^{-2}}\).
\[
\mathrm{f''(x)=3\Big[(-2x)(x^{2}+1)^{-2}+(1-x^{2})(-2)(x^{2}+1)^{-3}\cdot 2x\Big]}
\]
\[
\mathrm{f''(x)=3\Big[-2x(x^{2}+1)^{-2}-4x(1-x^{2})(x^{2}+1)^{-3}\Big]}
\]
On met \(\mathrm{-2x(x^{2}+1)^{-3}}\) en facteur :
\[
\mathrm{f''(x)=-6x(x^{2}+1)^{-3}\Big[(x^{2}+1)+2(1-x^{2})\Big]}
\]
\[
\mathrm{(x^{2}+1)+2(1-x^{2})=x^{2}+1+2-2x^{2}=-x^{2}+3}
\]
Donc :
\[
\mathrm{f''(x)=-6x(x^{2}+1)^{-3}(-x^{2}+3)=6x(x^{2}-3)(x^{2}+1)^{-3}}
\]
Les points d’inflexion verifient \(\mathrm{f''(x)=0}\) avec \(\mathrm{x^{2}+1\neq 0}\).
\[
\mathrm{6x(x^{2}-3)=0 \Rightarrow x=0\ ou\ x^{2}=3\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}}
\]
On cherche le point d’inflexion d’abscisse \(\mathrm{x_{0}>0}\), donc \(\mathrm{x_{0}=\sqrt{3}}\).
On calcule alors \(\mathrm{f(\sqrt{3})}\) :
\[
\mathrm{f(\sqrt{3})=\frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2}+1}
=\frac{3\sqrt{3}}{3+1}
=\frac{3\sqrt{3}}{4}}
\]
L’ordonnee du point d’inflexion d’abscisse \(\mathrm{x_{0}>0}\) est donc
\(\mathrm{\frac{3\sqrt{3}}{4}}\), ce qui correspond a la reponse \(\mathrm{d}\).
14. ne entreprise de transport aerien interroge les gens sur le nombre de fois qu’ils ont voyage par avion.
Le resultat est consigne dans le tableau ci-dessous. 
Le taux (en pourcentage) de gens ayant voyage au moins trois fois par avion est :
Reponse correcte : \(\mathrm{30}\).
Correction detaillee :
On calcule d’abord l’effectif total des personnes interrogees.
\[
\mathrm{N_{total}=13+12+10+8+6+1}
\]
\[
\mathrm{N_{total}=25+10+8+6+1=35+8+6+1=43+6+1=49+1=50}
\]
On cherche le nombre de personnes ayant voyage au moins trois fois,
c’est-a-dire pour \(\mathrm{n=3,\ 4,\ 5}\).
\[
\mathrm{N_{\ge 3}=8+6+1=15}
\]
Le taux (en pourcentage) est donc :
\[
\mathrm{T=\frac{N_{\ge 3}}{N_{total}}\times 100
=\frac{15}{50}\times 100=0{,}3\times 100=30}
\]
Le taux de gens ayant voyage au moins trois fois par avion est donc
\(\mathrm{30\%}\), ce qui correspond a la reponse \(\mathrm{a}\).
15. La mesure d'un terrain rectangulaire a donné pour longueur \( 25 \pm 0,1 \, m \) et pour largeur \( 10 \pm 0,1 \, m \). L'erreur absolue commise sur l'aire du terrain vaut :
Réponse correcte : d. \( 3,5 \, m^{2} \)
Correction détaillée :
1. L'aire \( S \) d'un rectangle est \( S = L \times l \).
2. L'erreur absolue sur un produit est donnée par : \( \Delta S = L \cdot \Delta l + l \cdot \Delta L \).
3. Données : \( L = 25 \, m \), \( \Delta L = 0,1 \, m \), \( l = 10 \, m \), \( \Delta l = 0,1 \, m \).
4. Calcul : \( \Delta S = (25 \times 0,1) + (10 \times 0,1) = 2,5 + 1 = 3,5 \, m^{2} \).
16. Un motard roule à la vitesse de \( 54 \, km/h \). Après parcourt de \( 800 \, m \), cette vitesse atteint la valeur de \( 90 \, km/h \). L'accélération de cette moto vaut :
Réponse correcte : e. \( 0,25 \, m/s^{2} \)
Correction détaillée :
1. Conversion des vitesses en m/s :
- \( v_{0} = 54 \, km/h = 54 / 3,6 = 15 \, m/s \).
- \( v = 90 \, km/h = 90 / 3,6 = 25 \, m/s \).
2. Utilisation de l'équation du mouvement rectiligne uniformément varié (sans le temps) : \( v^{2} - v_{0}^{2} = 2 \cdot a \cdot d \).
3. Calcul de l'accélération \( a \) :
- \( 25^{2} - 15^{2} = 2 \cdot a \cdot 800 \)
- \( 625 - 225 = 1600 \cdot a \)
- \( 400 = 1600 \cdot a \Rightarrow a = 400 / 1600 = 0,25 \, m/s^{2} \).
17. Un cheval, tirant un chariot avec une force de \( 40 \, kgf \), se déplace à la vitesse de \( 5,4 \, km/h \). Si \( 1 \, kgf = 9,8 \, N \), la puissance de ce cheval afin de tirer ce chariot vaut :
Réponse correcte : a. \( 588 \, W \)
Correction détaillée :
1. Données : \( F = 40 \, kgf \), \( v = 5,4 \, km/h \), \( 1 \, kgf = 9,8 \, N \).
2. Conversion en unités SI :
- \( F = 40 \times 9,8 = 392 \, N \).
- \( v = 5,4 / 3,6 = 1,5 \, m/s \).
3. Formule de la puissance : \( P = F \times v \).
4. Calcul : \( P = 392 \times 1,5 = 588 \, W \).
18. Un ressort s'allonge de \( 6 \, cm \) sous l'effet de traction d'une force de \( 5 \, kgf \). Si \( 1 \, kgf = 9,8 \, N \), l'énergie potentielle de ce ressort vaut :
Réponse correcte : b. \( 1,47 \, J \)
Correction détaillée :
1. Données : \( x = 6 \, cm = 0,06 \, m \), \( F = 5 \, kgf = 5 \times 9,8 = 49 \, N \).
2. Formule de l'énergie potentielle élastique : \( E_{p} = \frac{1}{2} F \cdot x \).
3. Calcul : \( E_{p} = 0,5 \times 49 \times 0,06 = 49 \times 0,03 = 1,47 \, J \).
19. Un pendule à ressort à boudin à spires non jointes s'allonge de \( 35 \, mm \) lorsqu'on y suspend un poids de \( 15 \, gp \). La constante de raideur de ce ressort vaut :
Réponse correcte : c. \( 4,2 \, N/m \)
Correction détaillée :
1. Données : \( x = 35 \, mm = 0,035 \, m \). Poids \( P = 15 \, gp = 0,015 \, kgp \).
2. Note : \( 1 \, kgp \approx 9,8 \, N \), donc \( P = 0,015 \times 9,8 = 0,147 \, N \).
3. Loi de Hooke : \( F = k \cdot x \Rightarrow k = F / x \).
4. Calcul : \( k = 0,147 / 0,035 = 4,2 \, N/m \).
20. La théorie relativiste d'Albert Einstein admet que la masse varie avec la vitesse et peut se transformer en énergie. Une masse de \( 3 \, kg \) se transformera en une énergie de :
Réponse correcte : e. \( 27 \cdot 10^{16} \, J \)
Correction détaillée :
1. Formule d'Einstein : \( E = m \cdot c^{2} \).
2. Données : \( m = 3 \, kg \), \( c = 3 \cdot 10^{8} \, m/s \).
3. Calcul :
- \( E = 3 \times (3 \cdot 10^{8})^{2} \)
- \( E = 3 \times 9 \cdot 10^{16} \)
- \( E = 27 \cdot 10^{16} \, J \).