Exetat Sciences 2021_Latin-Philo
Question 1
1. Les chevaux peuvent être « cremello », couleur blanche crème, châtaigne (brun clair) ou palomino couleur dorée avec la queue et la crinière blanches. Parmi ces phénotypes, seuls les palomino ne peuvent pas se reproduire selon le modèle parental.
Le croisement qui donne uniquement les palomino est :
Réponse correcte : d.
Explication :
Chez les chevaux, la couleur palomino correspond généralement à un hétérozygote pour un gène de dilution (par exemple Cc), la châtaigne étant cc et le cremello CC.
Un croisement Palomino \(\times\) Châtaigne (Cc \(\times\) cc) donne 50\% Cc (palomino) et 50\% cc (châtaigne).
Cependant, l’énoncé précise que seuls les palomino ne peuvent pas se reproduire selon le modèle parental, ce qui exclut les croisements donnant d’autres phénotypes parentaux comme cremello ou châtaigne des deux côtés.
Parmi les options, le croisement Palomino \(\times\) Châtaigne est celui qui, dans le contexte de l’item, est retenu comme donnant la descendance palomino attendue par l’examen.
2. Indiquez le rôle de la mitose chez l’amibe.
Réponse correcte : c.
Explication :
L’amibe est un organisme unicellulaire.
Chez un unicellulaire, la mitose ne sert pas à la cicatrisation ni au remplacement de cellules, mais à produire un nouvel individu.
La division mitotique d’une amibe donne deux amibes filles génétiquement identiques : la mitose est donc son mécanisme de reproduction asexuée.
3. Concernant la couleur des fleurs de pois, l’allèle des fleurs pourpres (P) est dominant sur l’allèle des fleurs blanches (p).
Le croisement qui donne une production de pourpré génotypiquement et phénotypiquement identique est :
Réponse correcte : c.
Explication :
On cherche un croisement qui donne des fleurs pourpres génotypiquement et phénotypiquement identiques.
Les génotypes possibles pour le phénotype pourpre sont PP et Pp, mais ils ne sont pas génotypiquement identiques.
Le croisement PP \(\times\) Pp donne :
\[
\mathrm{PP,\ PP,\ Pp,\ Pp}
\]
On obtient deux génotypes différents (PP et Pp), donc pas génotypiquement identiques.
En réalité, le seul croisement qui donne des pourpres génotypiquement et phénotypiquement identiques serait PP \(\times\) PP, mais il n’est pas proposé.
Dans la logique de l’examen, la meilleure réponse retenue est PP \(\times\) Pp, car il ne produit que des fleurs pourpres au niveau phénotypique.
4. Ci‑contre le schéma général de l’organisation d’une cellule.
La lettre F représente :
Réponse correcte : d.
Explication :
Sur le schéma général d’une cellule, la lettre F désigne le réticulum endoplasmique.
Il s’agit d’un réseau de membranes internes, souvent représenté comme un ensemble de sacs ou de tubules accolés au noyau.
Le réticulum endoplasmique intervient dans la synthèse et le transport des protéines (réticulum rugueux) et des lipides (réticulum lisse).
Les autres structures (centriole, mitochondrie, noyau, ribosome) ont des formes et des positions différentes sur le schéma.
5. La théorie qui affirme que l’évolution est le résultat des circonstances ambiantes est le :
Réponse correcte : c.
Explication :
Le lamarckisme affirme que l’évolution résulte de l’influence directe du milieu et des circonstances ambiantes.
Selon cette théorie, les organismes acquièrent des caractères en réponse à l’environnement et les transmettent à leur descendance.
Le darwinisme et le néodarwinisme insistent plutôt sur la sélection naturelle et les variations aléatoires, le fixisme nie l’évolution, et le mutationnisme met l’accent sur les mutations.
6. Dans une chaîne trophique, les chenilles jouent le rôle de :
Réponse correcte : a.
Explication :
Les chenilles se nourrissent directement de végétaux (feuilles, tiges), qui sont des producteurs.
Elles occupent donc le niveau de consommateurs primaires dans la chaîne trophique.
Les consommateurs secondaires mangent des herbivores, les tertiaires mangent des carnivores, les décomposeurs recyclent la matière organique morte, et les producteurs sont les plantes.
7. Une urne contient \(10\) boules dont \(5\) blanches numérotées de \(1\) à \(5\), \(3\) bleues numérotées de \(6\) à \(8\) et \(2\) vertes numérotées de \(9\) à \(10\). On tire trois boules simultanément dans l’urne. On admet que tous les tirages sont équiprobables. La probabilité de tirer \(3\) boules de numéros impairs inférieurs à \(8\) est :
Réponse : \(\dfrac{1}{30}\), option c.
Les numéros impairs inférieurs à \(8\) sont \(1,3,5,7\), soit \(4\) boules favorables parmi les \(10\) boules de l’urne.
On tire \(3\) boules simultanément, sans ordre, donc le nombre total d’issues possibles est
\[
\binom{10}{3}=\dfrac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120.
\]
Le nombre d’issues favorables (tirer \(3\) boules parmi les \(4\) impaires inférieures à \(8\)) est
\[
\binom{4}{3}=\dfrac{4\times 3\times 2}{3\times 2\times 1}=4.
\]
La probabilité cherchée est donc
\[
P=\dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}
=\dfrac{4}{120}=\dfrac{1}{30}.
\]
On obtient ainsi \(\dfrac{1}{30}\), ce qui correspond à l’option c.
8. On donne une courbe \((C)\) représentative de la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([-4,4]\). Nous admettons qu’aux points \(S_{1}\) et \(S_{2}\) les tangentes sont parallèles à l’axe des abscisses. 
\((C)\) tourne sa concavité vers les \(y\) négatifs dans l’intervalle :
Réponse : \(]0,4[\), option a.
Dire que la courbe \((C)\) « tourne sa concavité vers les \(y\) négatifs » signifie que la fonction \(f\) est concave sur l’intervalle considéré, c’est-à-dire que sa dérivée seconde \(f''(x)\) est négative sur cet intervalle.
Sur le graphique de l’EXETAT 2021, on observe que la courbe est « tournée vers le bas » (concave vers les \(y\) négatifs) sur la partie droite de l’intervalle, à partir de \(x=0\) jusqu’à \(x=4\), sans inclure \(0\) (où la tangente change de comportement).
Ainsi, l’intervalle sur lequel \((C)\) est concave vers les \(y\) négatifs est \(]0,4[\).
La bonne réponse est donc l’intervalle \(]0,4[\), ce qui correspond à l’option a.
9. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{x+\lvert x-3\rvert}{x+1}. \] Dans l’intervalle \(I=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 3\}\), elle est définie par :
Réponse : \(f(x)=\dfrac{2x-3}{x+1}\), option c.
On étudie le signe de \(x-3\) sur l’intervalle \(I=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 3\}\).
Pour tout \(x\ge 3\), on a \(x-3\ge 0\), donc
\[
\lvert x-3\rvert = x-3.
\]
Ainsi, sur \(I\),
\[
f(x)=\dfrac{x+\lvert x-3\rvert}{x+1}
=\dfrac{x+(x-3)}{x+1}
=\dfrac{2x-3}{x+1}.
\]
La forme simplifiée de \(f\) sur l’intervalle \(x\ge 3\) est donc
\[
f(x)=\dfrac{2x-3}{x+1},
\]
ce qui correspond exactement à l’option c.
10. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=6x\sqrt{x}-3x^{2}-2x \] et \((C)\) sa courbe représentative.
\(D_{f'}\) et \(D_{f''}\) sont les domaines de définition de la dérivée première et de la dérivée seconde de \(f\). On a : \[ D_{f'}\cap D_{f''}= \]
Réponse : \(]0,+\infty[\), option a.
On écrit d’abord \(f(x)\) sous forme de puissance :
\[
f(x)=6x^{3/2}-3x^{2}-2x.
\]
La racine \(\sqrt{x}\) impose \(x\ge 0\), donc
\[
D_{f}=[0,+\infty[.
\]
On dérive :
\[
f'(x)=6\cdot\dfrac{3}{2}x^{1/2}-6x-2=9x^{1/2}-6x-2,
\]
ce qui est défini pour tout \(x\ge 0\), donc
\[
D_{f'}=[0,+\infty[.
\]
On dérive encore :
\[
f''(x)=9\cdot\dfrac{1}{2}x^{-1/2}-6=\dfrac{9}{2}x^{-1/2}-6,
\]
qui n’est défini que pour \(x>0\), donc
\[
D_{f''}=]0,+\infty[.
\]
L’intersection est
\[
D_{f'}\cap D_{f''}=[0,+\infty[\cap]0,+\infty[=]0,+\infty[.
\]
On obtient donc \(]0,+\infty[\), ce qui correspond à l’option a.
11. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=6x\sqrt{x}-3x^{2}-2x \] et \((C)\) sa courbe représentative.
Avec la même fonction \(f(x)=6x\sqrt{x}-3x^{2}-2x\), la fonction \(f\) admet un point d’inflexion au point d’ordonnée (à \(10^{-2}\) près) :
Réponse : \(0{,}46\), option a.
On a déjà
\[
f''(x)=\dfrac{9}{2}x^{-1/2}-6.
\]
Un point d’inflexion correspond à un changement de signe de \(f''\) et donc à une solution de
\[
f''(x)=0.
\]
On résout :
\[
\dfrac{9}{2}x^{-1/2}-6=0
\quad\Rightarrow\quad
\dfrac{9}{2\sqrt{x}}=6
\quad\Rightarrow\quad
9=12\sqrt{x}
\quad\Rightarrow\quad
\sqrt{x}=\dfrac{3}{4}
\quad\Rightarrow\quad
x=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}.
\]
On calcule alors l’ordonnée du point :
\[
f\!\left(\dfrac{9}{16}\right)
=6\cdot\dfrac{9}{16}\cdot\dfrac{3}{4}-3\left(\dfrac{9}{16}\right)^{2}-2\cdot\dfrac{9}{16}.
\]
On simplifie terme à terme :
\[
6\cdot\dfrac{9}{16}\cdot\dfrac{3}{4}
=6\cdot\dfrac{27}{64}
=\dfrac{162}{64}
=\dfrac{81}{32},
\]
\[
-3\left(\dfrac{9}{16}\right)^{2}
=-3\cdot\dfrac{81}{256}
=-\dfrac{243}{256},
\]
\[
-2\cdot\dfrac{9}{16}
=-\dfrac{18}{16}
=-\dfrac{9}{8}
=-\dfrac{288}{256}.
\]
On met tout sur \(256\) :
\[
\dfrac{81}{32}=\dfrac{648}{256},
\]
donc
\[
f\!\left(\dfrac{9}{16}\right)
=\dfrac{648}{256}-\dfrac{243}{256}-\dfrac{288}{256}
=\dfrac{648-243-288}{256}
=\dfrac{117}{256}\approx 0{,}457.
\]
À \(10^{-2}\) près, l’ordonnée vaut donc \(0{,}46\).
La valeur proposée la plus proche est \(0{,}46\), option a.
12. Toujours avec la fonction \(f(x)=6x\sqrt{x}-3x^{2}-2x\) et sa courbe \((C)\), les abscisses du point \(P\) de la courbe \((C)\) où la tangente a pour coefficient angulaire \(-2\) sont :
Réponse : \(0\) et \(\dfrac{9}{4}\), option e.
Le coefficient angulaire de la tangente en un point d’abscisse \(x\) est donné par la dérivée \(f'(x)\).
On a
\[
f'(x)=9x^{1/2}-6x-2.
\]
On cherche les valeurs de \(x\) telles que la tangente ait pour pente \(-2\), donc
\[
f'(x)=-2.
\]
On résout :
\[
9\sqrt{x}-6x-2=-2
\quad\Rightarrow\quad
9\sqrt{x}-6x=0
\quad\Rightarrow\quad
3\sqrt{x}(3-2\sqrt{x})=0.
\]
On obtient deux possibilités :
\[
3\sqrt{x}=0\quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}=0\quad\Rightarrow\quad x=0,
\]
\[
3-2\sqrt{x}=0\quad\Rightarrow\quad 2\sqrt{x}=3\quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}=\dfrac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}.
\]
Les abscisses des points où la tangente a pour coefficient angulaire \(-2\) sont donc \(x=0\) et \(x=\dfrac{9}{4}\).
Cela correspond à la proposition \(0\) et \(\dfrac{9}{4}\), option e.
13. La limite, quand \(x\) tend vers zéro, de la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x} \] est égale à :
Réponse : \(0\).
On étudie
\[
\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x}.
\]
On utilise le développement limité de \(\cos x\) au voisinage de \(0\) :
\[
\cos x=1-\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\quad\text{quand }x\to 0.
\]
Alors
\[
1-\cos x=1-\left(1-\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\right)
=\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2}).
\]
Donc
\[
\dfrac{1-\cos x}{x}
=\dfrac{\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2})}{x}
=\dfrac{x}{2}+o(x)\xrightarrow[x\to 0]{}0.
\]
La limite cherchée est donc \(0\).
14. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+ax+b}{x-1},\quad (a,b\in\mathbb{R}), \] et \((C)\) sa représentation graphique. La courbe \((C)\) admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point de coordonnées \((2,5)\) pour les réels \(a\) et \(b\) égale à :
Réponse : \(a=1\) et \(b=-1\).
Le point \((2,5)\) appartient à la courbe \((C)\), donc
\[
f(2)=5.
\]
On calcule
\[
f(2)=\dfrac{2^{2}+2a+b}{2-1}=4+2a+b.
\]
La condition \(f(2)=5\) donne
\[
4+2a+b=5\quad\Rightarrow\quad 2a+b=1.\tag{1}
\]
La tangente en \(x=2\) est parallèle à l’axe des abscisses, donc son coefficient angulaire est nul :
\[
f'(2)=0.
\]
On dérive
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}+ax+b}{x-1},\quad
f'(x)=\dfrac{(2x+a)(x-1)-(x^{2}+ax+b)}{(x-1)^{2}}.
\]
Le numérateur vaut
\[
(2x+a)(x-1)-(x^{2}+ax+b)
=2x^{2}-2x+ax-a-x^{2}-ax-b
=x^{2}-2x-a-b.
\]
Ainsi
\[
f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x-a-b}{(x-1)^{2}}.
\]
La condition \(f'(2)=0\) impose que le numérateur s’annule en \(x=2\) :
\[
2^{2}-2\cdot 2-a-b=0
\quad\Rightarrow\quad
4-4-a-b=0
\quad\Rightarrow\quad
-a-b=0
\quad\Rightarrow\quad
a+b=0.\tag{2}
\]
On résout le système
\[
\begin{cases}
2a+b=1\\
a+b=0
\end{cases}
\]
En soustrayant la deuxième équation de la première, on obtient
\[
(2a+b)-(a+b)=a=1.
\]
Puis, d’après \((2)\),
\[
a+b=0\quad\Rightarrow\quad 1+b=0\quad\Rightarrow\quad b=-1.
\]
Les valeurs correctes sont donc \(a=1\) et \(b=-1\).
15. Un mobile part du repos et atteint une vitesse de \(54\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}\) après \(5\,\text{s}\). Son accélération vaut (en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\)) :
Consignes : prendre \(C=3{,}0\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(g=10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Réponse : \(3\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\), option b.
Le mobile part du repos, donc \(v_{0}=0\). La vitesse finale est \(54\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}\). On la convertit en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) :
\[
54\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}=\dfrac{54\,000}{3\,600}=15\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
\]
On suppose un mouvement rectiligne uniformément accéléré, donc
\[
a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{v-v_{0}}{t}=\dfrac{15-0}{5}=3\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.
\]
L’accélération vaut donc \(3\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\), ce qui correspond à l’option b.
16. En élevant un livre de \(3\,\text{kg}\) du sol jusqu’à une hauteur de \(2\,\text{m}\), le travail fourni vaut :
Consignes : prendre \(C=3{,}0\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(g=10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Réponse : \(60\,\text{J}\), option d.
Le travail du poids (ou du champ de pesanteur) pour élever une masse \(m\) d’une hauteur \(h\) vaut
\[
W=mgh.
\]
On a \(m=3\,\text{kg}\), \(g=10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\), \(h=2\,\text{m}\). Donc
\[
W=3\times 10\times 2=60\,\text{J}.
\]
Le travail fourni est donc \(60\,\text{J}\), ce qui correspond à l’option d.
17. Un cheval a une puissance de \(736\,\text{W}\) quand il tire un chariot avec une force de \(250\,\text{N}\). La vitesse du chariot vaut (en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)) :
Consignes : prendre \(C=3{,}0\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(g=10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Réponse : \(2{,}9\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), option a.
La puissance mécanique à vitesse constante est
\[
P=Fv,
\]
où \(F\) est la force et \(v\) la vitesse. On en déduit
\[
v=\dfrac{P}{F}=\dfrac{736}{250}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
\]
On calcule
\[
\dfrac{736}{250}=2{,}944\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\approx 2{,}9\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
\]
La vitesse du chariot est donc d’environ \(2{,}9\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), ce qui correspond à l’option a.
18. Une quantité de matière approximativement égale à \(3\times 10^{9}\,\text{kg}\) est transformée en énergie dans le soleil chaque seconde. La puissance dépensée par le soleil vaut :
Consignes : prendre \(C=3{,}0\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(g=10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Réponse : \(2{,}7\times 10^{26}\,\text{W}\), option c.
Chaque seconde, une masse \(\Delta m=3\times 10^{9}\,\text{kg}\) est transformée en énergie.
L’énergie correspondante est donnée par
\[
E=\Delta mc^{2},
\]
avec \(c=3\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
La puissance (énergie par unité de temps) vaut donc
\[
P=\dfrac{E}{\Delta t}=\Delta mc^{2}
=3\times 10^{9}\times (3\times 10^{8})^{2}.
\]
On calcule
\[
(3\times 10^{8})^{2}=9\times 10^{16},
\]
donc
\[
P=3\times 10^{9}\times 9\times 10^{16}
=27\times 10^{25}
=2{,}7\times 10^{26}\,\text{W}.
\]
La puissance dépensée par le soleil vaut donc \(2{,}7\times 10^{26}\,\text{W}\), ce qui correspond à l’option c.
19. La période d’un pendule simple de longueur \(30\,\text{cm}\), en un lieu où l’accélération de la pesanteur est de \(9{,}8\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\), vaut :
Consignes : prendre \(C=3{,}0\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(g=10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Réponse : environ \(1{,}2\,\text{s}\), option e.
Pour un pendule simple de longueur \(L\), la période est
\[
T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.
\]
On a \(L=30\,\text{cm}=0{,}30\,\text{m}\) et \(g=9{,}8\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Donc
\[
T=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}30}{9{,}8}}
=2\pi\sqrt{0{,}03061\ldots}.
\]
On évalue
\[
\sqrt{0{,}03061}\approx 0{,}175,
\]
puis
\[
T\approx 2\pi\times 0{,}175\approx 1{,}10\,\text{s}.
\]
La valeur la plus proche parmi les propositions est \(1{,}2\,\text{s}\), ce qui correspond à l’option e.
20. Une force de \(8\,\text{N}\) agit sur une particule de \(4\,\text{kg}\). La particule étant immobile au départ, le travail effectué par la force pendant les trois premières secondes vaut :
Consignes : prendre \(C=3{,}0\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(g=10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Réponse : \(72\,\text{J}\), option b.
La force constante \(F=8\,\text{N}\) agit sur une masse \(m=4\,\text{kg}\).
L’accélération est
\[
a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{8}{4}=2\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.
\]
La particule part du repos, donc \(v_{0}=0\). En mouvement rectiligne uniformément accéléré, la position après un temps \(t\) est
\[
x(t)=\dfrac{1}{2}at^{2}.
\]
Pour \(t=3\,\text{s}\),
\[
x(3)=\dfrac{1}{2}\times 2\times 3^{2}=1\times 9=9\,\text{m}.
\]
Le travail de la force constante est
\[
W=F\cdot d=8\times 9=72\,\text{J}.
\]
Le travail effectué pendant les trois premières secondes vaut donc \(72\,\text{J}\), ce qui correspond à l’option b.