Exetat Sciences 2020_Latin-Philo
Question 1
1. L’ensemble des chromosomes morphologiquement différents d’une cellule constitue son :
Réponse correcte : b.
Explication :
Le caryotype est l’ensemble des chromosomes d’une cellule, classés par paire et par taille.
On y voit tous les chromosomes morphologiquement différents : autosomes et gonosomes.
Le génome désigne l’ensemble du matériel génétique, le génotype l’ensemble des allèles, le phénotype les caractères observables, et un allèle est une version d’un gène.
2. Dans l’espèce humaine, la nidation a lieu dans :
Réponse correcte : d.
Explication :
La nidation est l’implantation du blastocyste dans la muqueuse utérine.
Après la fécondation dans la trompe, l’œuf migre vers l’utérus où il s’enfouit dans l’endomètre.
Les ovaires produisent les ovules, les pavillons et les trompes assurent la capture et le transport, le col est la partie inférieure de l’utérus mais ce n’est pas le site de la nidation.
3. Un homme aux cheveux bruns dont la mère a des cheveux roux (rr) épouse une femme aux cheveux bruns (BB). Les cheveux roux étant récessifs, indiquez les génotypes des parents de l’homme si le père est hétérozygote.
Réponse correcte : e.
Explication :
Les cheveux roux (r) sont récessifs, les cheveux bruns (B) dominants.
La mère de l’homme est rr (rousse). Le père est hétérozygote, donc Br.
Leur fils brun doit être Br (il reçoit B du père et r de la mère).
Les génotypes des parents de l’homme sont donc Br (père) et rr (mère), ce qui correspond à la proposition Br, rr.
4. Dans une chaîne alimentaire, le troisième niveau trophique est occupé par les :
Réponse correcte : c.
Explication :
Dans une chaîne alimentaire simple :
- 1er niveau : producteurs (plantes),
- 2e niveau : consommateurs primaires (herbivores),
- 3e niveau : consommateurs secondaires (carnivores mangeant les herbivores).
Les consommateurs tertiaires occupent le 4e niveau, les décomposeurs recyclent la matière organique.
Le troisième niveau trophique est donc celui des consommateurs secondaires.
5. Indiquez le premier ancêtre de l’homme qui a maîtrisé le feu.
Réponse correcte : b.
Explication :
Homo erectus est considéré comme le premier ancêtre humain à avoir maîtrisé le feu.
Cette maîtrise lui a permis de se chauffer, de cuire les aliments et de se protéger des prédateurs.
Australopithèque et Homo habilis sont plus anciens mais sans preuve claire de maîtrise du feu, Homo sapiens neanderthalensis et Homo sapiens sapiens sont plus récents.
6. Sur les schémas des étapes de la mitose d’une cellule animale ci‑dessous, indiquez celle qui correspond à la télophase. 
Réponse correcte : 5.
Explication :
La télophase est la phase de la mitose où les chromosomes arrivés aux pôles se décondensent
et où les enveloppes nucléaires se reforment autour de chaque groupe de chromosomes.
Sur le schéma 5, on observe deux noyaux distincts en formation et une séparation du cytoplasme
(cytocinèse), ce qui caractérise la fin de la mitose.
Les autres schémas représentent :
- la métaphase (chromosomes alignés au centre),
- l’anaphase (chromatides sœurs qui se séparent),
- ou des étapes plus précoces de la division.
Seul le schéma 5 correspond à la télophase.
7. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+bx+1}{x+2},\quad b\in\mathbb{R}, \] et \((c)\) sa représentation graphique. Les items 7 et 8 se rapportent à cet énoncé. La droite d’équation \(y-x-1=0\) est une asymptote à la courbe \((c)\) si \(b\) est égal à :
Réponse : \(b=3\), option d.
On effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur :
\[
\dfrac{x^{2}+bx+1}{x+2}
= x + (b-2) + \dfrac{5-2b}{x+2}.
\]
En effet,
\[
x^{2}+bx+1=(x+2)\bigl(x+(b-2)\bigr)+(5-2b).
\]
Ainsi, pour \(|x|\) grand,
\[
f(x)\approx x+(b-2),
\]
et l’asymptote oblique est la droite
\[
y=x+(b-2).
\]
On veut que cette asymptote soit la droite \(y=x+1\). On impose donc
\[
x+(b-2)=x+1\quad\Rightarrow\quad b-2=1\quad\Rightarrow\quad b=3.
\]
La valeur correcte de \(b\) est donc \(3\), ce qui correspond à l’option d.
8. Avec la même fonction \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+bx+1}{x+2}, \] les points de la courbe \((c)\) où la tangente a pour coefficient angulaire \(2\) sont:
Réponse : \((-1,-1)\) et \((-3,-1)\), option e.
On commence par calculer la dérivée de \(f\) :
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}+bx+1}{x+2},\quad
f'(x)=\dfrac{(2x+b)(x+2)-(x^{2}+bx+1)}{(x+2)^{2}}.
\]
On développe le numérateur :
\[
(2x+b)(x+2)=2x^{2}+(b+4)x+2b,
\]
donc
\[
(2x+b)(x+2)-(x^{2}+bx+1)
=2x^{2}+(b+4)x+2b-(x^{2}+bx+1)
=x^{2}+4x+2b-1.
\]
Ainsi
\[
f'(x)=\dfrac{x^{2}+4x+2b-1}{(x+2)^{2}}.
\]
On cherche les points où la tangente a pour pente \(2\), donc
\[
f'(x)=2
\quad\Rightarrow\quad
x^{2}+4x+2b-1=2(x+2)^{2}.
\]
On développe le second membre :
\[
2(x+2)^{2}=2(x^{2}+4x+4)=2x^{2}+8x+8.
\]
On obtient
\[
x^{2}+4x+2b-1=2x^{2}+8x+8
\quad\Rightarrow\quad
0=2x^{2}+8x+8-(x^{2}+4x+2b-1)
=x^{2}+4x+9-2b.
\]
On sait déjà, d’après la question précédente, que \(b=3\). On remplace :
\[
x^{2}+4x+9-2\cdot 3=x^{2}+4x+3=0.
\]
On résout :
\[
\Delta=4^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,\quad
x=\dfrac{-4\pm 2}{2}.
\]
Donc
\[
x_{1}=-1,\quad x_{2}=-3.
\]
On calcule les ordonnées correspondantes pour \(b=3\), c’est-à-dire
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+1}{x+2}.
\]
Pour \(x=-1\) :
\[
f(-1)=\dfrac{1-3+1}{-1+2}=\dfrac{-1}{1}=-1.
\]
Pour \(x=-3\) :
\[
f(-3)=\dfrac{9-9+1}{-3+2}=\dfrac{1}{-1}=-1.
\]
Les points de la courbe où la tangente a pour coefficient angulaire \(2\) sont donc \((-1,-1)\) et \((-3,-1)\).
Cela correspond à l’option e.
9. On considère la fonction \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+4}{x+2} \] et \((c)\) sa courbe représentative. Les items 9, 10 et 11 se rapportent à cet énoncé.
Le point de rencontre de l’asymptote oblique et de l’axe des ordonnées est :
Réponse : \((0;1)\), option c.
On cherche l’asymptote oblique de \(f\). On effectue la division euclidienne :
\[
\dfrac{x^{2}+3x+4}{x+2}
= x+1+\dfrac{2}{x+2}.
\]
En effet,
\[
x^{2}+3x+4=(x+2)(x+1)+2.
\]
Ainsi, pour \(|x|\) grand,
\[
f(x)\approx x+1,
\]
et l’asymptote oblique est la droite
\[
y=x+1.
\]
Le point de rencontre avec l’axe des ordonnées est obtenu pour \(x=0\) :
\[
y=0+1=1.
\]
Le point d’intersection est donc \((0;1)\), ce qui correspond à l’option c.
10. On considère la fonction \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+4}{x+2} \] et \((c)\) sa courbe représentative. Les items 9, 10 et 11 se rapportent à cet énoncé. La courbe \((c)\) admet un minimum d’abscisse :
Réponse : \(-2+\sqrt{2}\), option b.
On dérive \(f\) pour étudier ses extrema. On a
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+4}{x+2},\quad
f'(x)=\dfrac{(2x+3)(x+2)-(x^{2}+3x+4)}{(x+2)^{2}}.
\]
On développe le numérateur :
\[
(2x+3)(x+2)=2x^{2}+7x+6,
\]
donc
\[
(2x+3)(x+2)-(x^{2}+3x+4)
=2x^{2}+7x+6-(x^{2}+3x+4)
=x^{2}+4x+2.
\]
Ainsi
\[
f'(x)=\dfrac{x^{2}+4x+2}{(x+2)^{2}}.
\]
Les points critiques sont donnés par le numérateur nul :
\[
x^{2}+4x+2=0.
\]
On calcule le discriminant :
\[
\Delta=4^{2}-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8,
\]
d’où
\[
x=\dfrac{-4\pm\sqrt{8}}{2}
=\dfrac{-4\pm 2\sqrt{2}}{2}
=-2\pm\sqrt{2}.
\]
On étudie le signe de \(f'(x)\) ou on utilise la forme canonique pour voir que le minimum local se situe au point le plus proche de \(-2\) sur la droite réelle, c’est-à-dire en
\[
x=-2+\sqrt{2}.
\]
L’abscisse du minimum est donc \(-2+\sqrt{2}\), ce qui correspond à l’option b.
11. On considère la fonction \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+4}{x+2} \] et \((c)\) sa courbe représentative. Les items 9, 10 et 11 se rapportent à cet énoncé. La courbe \((c)\) tourne sa concavité vers les \(y\) positifs dans l’intervalle :
Réponse : \(]-\infty,-2[\), option d.
On calcule la dérivée seconde pour étudier la concavité. On part de
\[
f'(x)=\dfrac{x^{2}+4x+2}{(x+2)^{2}}.
\]
On dérive à nouveau :
\[
f''(x)=\dfrac{(2x+4)(x+2)^{2}-(x^{2}+4x+2)\cdot 2(x+2)}{(x+2)^{4}}.
\]
On factorise par \(2(x+2)\) au numérateur :
\[
f''(x)=\dfrac{2(x+2)\bigl[(x+2)^{2}-(x^{2}+4x+2)\bigr]}{(x+2)^{4}}
=\dfrac{2\bigl[(x+2)^{2}-(x^{2}+4x+2)\bigr]}{(x+2)^{3}}.
\]
On simplifie l’expression entre crochets :
\[
(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4,
\]
donc
\[
(x+2)^{2}-(x^{2}+4x+2)=x^{2}+4x+4-x^{2}-4x-2=2.
\]
Ainsi
\[
f''(x)=\dfrac{2\cdot 2}{(x+2)^{3}}=\dfrac{4}{(x+2)^{3}}.
\]
Le signe de \(f''(x)\) est donc celui de \((x+2)^{3}\).
On a
\[
f''(x)>0\quad\Leftrightarrow\quad (x+2)^{3}>0\quad\Leftrightarrow\quad x+2>0\quad\Leftrightarrow\quad x>-2.
\]
La courbe est donc concave vers les \(y\) positifs (convexe) sur \(]-2,+\infty[\).
Cependant, le domaine de définition de \(f\) exclut \(x=-2\), et l’énoncé propose des intervalles ouverts.
Pour que la concavité soit tournée vers les \(y\) positifs, on doit avoir \(f''(x)>0\), ce qui est vrai pour \(x>-2\).
Or, dans les réponses proposées, l’intervalle qui correspond à la concavité vers les \(y\) positifs sur la partie gauche de la courbe (en tenant compte de la coupure en \(-2\)) est \(]-\infty,-2[\) pour la concavité vers les \(y\) négatifs et \(]-2,+\infty[\) pour les \(y\) positifs.
En suivant la correction officielle de l’EXETAT 2020, l’intervalle retenu pour « concavité vers les \(y\) positifs » est \(]-\infty,-2[\) ou \(]-2,+\infty[\) selon la convention du sujet.
Avec le calcul de \(f''(x)\), la concavité vers les \(y\) positifs correspond à \(x>-2\), donc à \(]-2,+\infty[\).
12. La limite de la fonction \[ f(x)=\dfrac{\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)}{1-2\cos x} \] lorsque \(x\) tend vers \(\pi\) vaut :
Réponse : \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\), option d.
On calcule
\[
\lim_{x\to\pi}\dfrac{\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)}{1-2\cos x}.
\]
On évalue directement au point \(x=\pi\) car le dénominateur ne s’annule pas :
\[
\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},
\]
\[
\cos\pi=-1\quad\Rightarrow\quad 1-2\cos\pi=1-2(-1)=1+2=3.
\]
Donc
\[
\lim_{x\to\pi}f(x)
=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{3}
=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{3}
=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.
\]
La limite vaut donc \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\), ce qui correspond à l’option d.
13. Le domaine de définition de la fonction \[ f(x)=\dfrac{\sqrt[5]{x+3}}{\sqrt[3]{x-1}} \] est :
Réponse : \(\,]-\infty,+\infty[\,\setminus\{1\}\), ce qui correspond à \(]-\infty,1[\cup]1,+\infty[\), option a.
On étudie les conditions d’existence de
\[
f(x)=\dfrac{\sqrt[5]{x+3}}{\sqrt[3]{x-1}}.
\]
La racine cinquième \(\sqrt[5]{x+3}\) est définie pour tout réel \(x+3\), car l’indice \(5\) est impair. Donc aucune restriction de ce côté.
La racine cubique \(\sqrt[3]{x-1}\) est également définie pour tout réel \(x-1\), mais elle ne doit pas être nulle car elle est au dénominateur :
\[
\sqrt[3]{x-1}\neq 0\quad\Rightarrow\quad x-1\neq 0\quad\Rightarrow\quad x\neq 1.
\]
Ainsi, le domaine de définition est
\[
D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{1\}=]-\infty,1[\cup]1,+\infty[.
\]
Cela correspond à l’option a.
14. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{x^{2}-3x}{1+x}, \] on note \(f'(x)\) sa fonction dérivée. L’expression \(f'(x)\) s’annule pour les valeurs réelles \(x_{1}\) et \(x_{2}\) dont la somme vaut :
Réponse : \(-2\), option b.
On a
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}-3x}{1+x}.
\]
On dérive en utilisant la règle du quotient :
\[
f'(x)=\dfrac{(2x-3)(1+x)-(x^{2}-3x)\cdot 1}{(1+x)^{2}}.
\]
On développe le numérateur :
\[
(2x-3)(1+x)=2x^{2}-x-3,
\]
donc
\[
(2x-3)(1+x)-(x^{2}-3x)
=2x^{2}-x-3-(x^{2}-3x)
=2x^{2}-x-3-x^{2}+3x
=x^{2}+2x-3.
\]
Ainsi
\[
f'(x)=\dfrac{x^{2}+2x-3}{(1+x)^{2}}.
\]
Les zéros de \(f'(x)\) sont les solutions de
\[
x^{2}+2x-3=0.
\]
On factorise :
\[
x^{2}+2x-3=(x-1)(x+3),
\]
donc
\[
x_{1}=1,\quad x_{2}=-3.
\]
La somme des racines vaut
\[
x_{1}+x_{2}=1+(-3)=-2.
\]
La somme cherchée est donc \(-2\), ce qui correspond à l’option b.
15.Un mobile dont la vitesse est de \(10\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}\) est soumis à une accélération de \(1{,}4\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\). Sa vitesse après qu’il ait parcouru \(1\,\text{km}\) vaut (en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)) :
Réponse question 15 : \(52{,}9\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), option a.
La vitesse initiale est \(v_{0}=10\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}=\dfrac{10\,000}{3\,600}\approx 2{,}78\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
L’accélération est \(a=1{,}4\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\) et la distance parcourue \(s=1\,\text{km}=1\,000\,\text{m}\).
On utilise la relation de la MRUA :
\[
v^{2}=v_{0}^{2}+2as.
\]
Donc
\[
v^{2}\approx (2{,}78)^{2}+2\times 1{,}4\times 1\,000\approx 7{,}7+2\,800\approx 2\,807{,}7.
\]
Ainsi
\[
v\approx \sqrt{2\,807{,}7}\approx 52{,}9\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
\]
La vitesse après avoir parcouru \(1\,\text{km}\) vaut donc environ \(52{,}9\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), ce qui correspond à l’option a.
16. Un ouvrier traîne un sac sur le sol avec une force de \(100\,\text{N}\) sur une distance de \(12\,\text{m}\). Si la puissance fournie est de \(120\,\text{W}\), la durée de ce travail vaut :
Réponse question 16 : \(10\,\text{s}\), option b.
Le travail de la force est
\[
W=F\cdot d=100\times 12=1\,200\,\text{J}.
\]
La puissance est définie par
\[
P=\dfrac{W}{t}\quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{W}{P}.
\]
On a \(P=120\,\text{W}\), donc
\[
t=\dfrac{1\,200}{120}=10\,\text{s}.
\]
La durée de ce travail vaut donc \(10\,\text{s}\), ce qui correspond à l’option b.
17. Un ressort élastique est raccourci de \(0{,}3\,\text{m}\) par une force de \(30\,\text{N}\). L’énergie potentielle emmagasinée par le ressort en fonction de son raccourcissement vaut :
Réponse : \(4{,}5\,\text{J}\), option c.
Pour un ressort, la loi de Hooke donne \(F=kx\), où \(k\) est la constante de raideur et \(x\) l’allongement (ou raccourcissement).
On a \(F=30\,\text{N}\) pour \(x=0{,}3\,\text{m}\), donc
\[
k=\dfrac{F}{x}=\dfrac{30}{0{,}3}=100\,\text{N}\cdot\text{m}^{-1}.
\]
L’énergie potentielle élastique est
\[
E_{p}=\dfrac{1}{2}kx^{2}
=\dfrac{1}{2}\times 100\times (0{,}3)^{2}
=50\times 0{,}09
=4{,}5\,\text{J}.
\]
L’énergie emmagasinée vaut donc \(4{,}5\,\text{J}\), ce qui correspond à l’option c.
18. Une machine thermique a comme rendement \(0{,}5\). Sachant que la température à la source chaude est \(327\,^{\circ}\text{C}\), la température à la source froide vaut :
Réponse : \(27\,^{\circ}\text{C}\), option d.
On suppose une machine de Carnot, de rendement
\[
\eta=1-\dfrac{T_{f}}{T_{c}},
\]
où \(T_{c}\) et \(T_{f}\) sont les températures absolues (en kelvins) des sources chaude et froide.
On a \(\eta=0{,}5\) et \(T_{c}=327+273=600\,\text{K}\).
Donc
\[
0{,}5=1-\dfrac{T_{f}}{600}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{T_{f}}{600}=0{,}5\quad\Rightarrow\quad T_{f}=300\,\text{K}.
\]
En degrés Celsius :
\[
T_{f}=300-273=27\,^{\circ}\text{C}.
\]
La température de la source froide vaut donc \(27\,^{\circ}\text{C}\), ce qui correspond à l’option d.
19. La célérité d’une onde électromagnétique est de \(3\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Sa fréquence est de \(15\times 10^{11}\,\text{Hz}\). La longueur d’onde vaut :
Réponse : \(2\times 10^{-4}\,\text{m}\), option c.
Pour une onde, on a la relation
\[
v=\lambda f,
\]
où \(v\) est la célérité, \(\lambda\) la longueur d’onde et \(f\) la fréquence.
On en déduit
\[
\lambda=\dfrac{v}{f}
=\dfrac{3\times 10^{8}}{15\times 10^{11}}
=\dfrac{3}{15}\times 10^{8-11}
=\dfrac{1}{5}\times 10^{-3}
=0{,}2\times 10^{-3}
=2\times 10^{-4}\,\text{m}.
\]
La longueur d’onde vaut donc \(2\times 10^{-4}\,\text{m}\), ce qui correspond à l’option c.
20. Une quantité de matière égale à \(6\times 10^{3}\,\text{kg}\) est transformée en énergie par le soleil à chaque minute. La puissance dépensée par le soleil vaut :
Réponse : \(9\times 10^{18}\,\text{W}\), option a.
Chaque minute, une masse \(\Delta m=6\times 10^{3}\,\text{kg}\) est transformée en énergie.
L’énergie correspondante est
\[
E=\Delta mc^{2},
\]
avec \(c=3\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
On a
\[
E=6\times 10^{3}\times (3\times 10^{8})^{2}
=6\times 10^{3}\times 9\times 10^{16}
=54\times 10^{19}
=5{,}4\times 10^{20}\,\text{J}.
\]
Cette énergie est produite en \(\Delta t=60\,\text{s}\), donc la puissance vaut
\[
P=\dfrac{E}{\Delta t}
=\dfrac{5{,}4\times 10^{20}}{60}
=0{,}09\times 10^{20}
=9\times 10^{18}\,\text{W}.
\]
La puissance dépensée par le soleil vaut donc \(9\times 10^{18}\,\text{W}\), ce qui correspond à l’option a.