Question 1
1.Un mobile dont la vitesse est de \(10\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}\) est soumis à une accélération de \(1{,}4\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\). Sa vitesse après qu’il ait parcouru \(1\,\text{km}\) vaut (en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)) :
Réponse : \(52{,}9\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), option a.
La vitesse initiale est \(v_{0}=10\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}=\dfrac{10\,000}{3\,600}\approx 2{,}78\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
L’accélération est \(a=1{,}4\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\) et la distance parcourue \(s=1\,\text{km}=1\,000\,\text{m}\).
On utilise la relation de la MRUA :
\[
v^{2}=v_{0}^{2}+2as.
\]
Donc
\[
v^{2}\approx (2{,}78)^{2}+2\times 1{,}4\times 1\,000\approx 7{,}7+2\,800\approx 2\,807{,}7.
\]
Ainsi
\[
v\approx \sqrt{2\,807{,}7}\approx 52{,}9\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
\]
La vitesse après avoir parcouru \(1\,\text{km}\) vaut donc environ \(52{,}9\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), ce qui correspond à l’option a.
2. Un ouvrier traîne un sac sur le sol avec une force de \(100\,\text{N}\) sur une distance de \(12\,\text{m}\). Si la puissance fournie est de \(120\,\text{W}\), la durée de ce travail vaut :
Réponse : \(10\,\text{s}\), option b.
Le travail de la force est
\[
W=F\cdot d=100\times 12=1\,200\,\text{J}.
\]
La puissance est définie par
\[
P=\dfrac{W}{t}\quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{W}{P}.
\]
On a \(P=120\,\text{W}\), donc
\[
t=\dfrac{1\,200}{120}=10\,\text{s}.
\]
La durée de ce travail vaut donc \(10\,\text{s}\), ce qui correspond à l’option b.
3. Un ressort élastique est raccourci de \(0{,}3\,\text{m}\) par une force de \(30\,\text{N}\). L’énergie potentielle emmagasinée par le ressort en fonction de son raccourcissement vaut :
Réponse : \(4{,}5\,\text{J}\), option c.
Pour un ressort, la loi de Hooke donne \(F=kx\), où \(k\) est la constante de raideur et \(x\) l’allongement (ou raccourcissement).
On a \(F=30\,\text{N}\) pour \(x=0{,}3\,\text{m}\), donc
\[
k=\dfrac{F}{x}=\dfrac{30}{0{,}3}=100\,\text{N}\cdot\text{m}^{-1}.
\]
L’énergie potentielle élastique est
\[
E_{p}=\dfrac{1}{2}kx^{2}
=\dfrac{1}{2}\times 100\times (0{,}3)^{2}
=50\times 0{,}09
=4{,}5\,\text{J}.
\]
L’énergie emmagasinée vaut donc \(4{,}5\,\text{J}\), ce qui correspond à l’option c.
4. Une machine thermique a comme rendement \(0{,}5\). Sachant que la température à la source chaude est \(327\,^{\circ}\text{C}\), la température à la source froide vaut :
Réponse : \(27\,^{\circ}\text{C}\), option d.
On suppose une machine de Carnot, de rendement
\[
\eta=1-\dfrac{T_{f}}{T_{c}},
\]
où \(T_{c}\) et \(T_{f}\) sont les températures absolues (en kelvins) des sources chaude et froide.
On a \(\eta=0{,}5\) et \(T_{c}=327+273=600\,\text{K}\).
Donc
\[
0{,}5=1-\dfrac{T_{f}}{600}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{T_{f}}{600}=0{,}5\quad\Rightarrow\quad T_{f}=300\,\text{K}.
\]
En degrés Celsius :
\[
T_{f}=300-273=27\,^{\circ}\text{C}.
\]
La température de la source froide vaut donc \(27\,^{\circ}\text{C}\), ce qui correspond à l’option d.
5. La célérité d’une onde électromagnétique est de \(3\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Sa fréquence est de \(15\times 10^{11}\,\text{Hz}\). La longueur d’onde vaut :
Réponse : \(2\times 10^{-4}\,\text{m}\), option c.
Pour une onde, on a la relation
\[
v=\lambda f,
\]
où \(v\) est la célérité, \(\lambda\) la longueur d’onde et \(f\) la fréquence.
On en déduit
\[
\lambda=\dfrac{v}{f}
=\dfrac{3\times 10^{8}}{15\times 10^{11}}
=\dfrac{3}{15}\times 10^{8-11}
=\dfrac{1}{5}\times 10^{-3}
=0{,}2\times 10^{-3}
=2\times 10^{-4}\,\text{m}.
\]
La longueur d’onde vaut donc \(2\times 10^{-4}\,\text{m}\), ce qui correspond à l’option c.
6. Une quantité de matière égale à \(6\times 10^{3}\,\text{kg}\) est transformée en énergie par le soleil à chaque minute. La puissance dépensée par le soleil vaut :
Réponse : \(9\times 10^{18}\,\text{W}\), option a.
Chaque minute, une masse \(\Delta m=6\times 10^{3}\,\text{kg}\) est transformée en énergie.
L’énergie correspondante est
\[
E=\Delta mc^{2},
\]
avec \(c=3\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
On a
\[
E=6\times 10^{3}\times (3\times 10^{8})^{2}
=6\times 10^{3}\times 9\times 10^{16}
=54\times 10^{19}
=5{,}4\times 10^{20}\,\text{J}.
\]
Cette énergie est produite en \(\Delta t=60\,\text{s}\), donc la puissance vaut
\[
P=\dfrac{E}{\Delta t}
=\dfrac{5{,}4\times 10^{20}}{60}
=0{,}09\times 10^{20}
=9\times 10^{18}\,\text{W}.
\]
La puissance dépensée par le soleil vaut donc \(9\times 10^{18}\,\text{W}\), ce qui correspond à l’option a.
