Exetat Math 2015_Latin-Philo
Question 1
1. Soient deux fonctions réelles \(f\) et \(g\) définies respectivement par \[ f(x)=2x-3 \quad\text{et}\quad g(x)=5-3x^{2} \] et \(f\circ g\) la fonction composée. Le réel composé \(g\circ f\left(\dfrac{1}{2}\right)\) vaut :
Réponse : \(-7\).
On calcule d’abord
\[
f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\cdot\dfrac{1}{2}-3=1-3=-2.
\]
Puis on compose avec \(g\) :
\[
g(f(1/2))=g(-2)=5-3(-2)^{2}=5-3\cdot 4=5-12=-7.
\]
Donc la valeur de \(g\circ f\left(\dfrac{1}{2}\right)\) est \(-7\).
2. On donne les fonctions \[ f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}-1} \quad\text{et}\quad g(x)=x+1. \] L’expression \((f\circ g)(2)\) vaut :
Réponse : \(\dfrac{9}{8}\).
On commence par calculer
\[
g(2)=2+1=3.
\]
Ensuite
\[
f(g(2))=f(3)=\dfrac{3^{2}}{3^{2}-1}=\dfrac{9}{9-1}=\dfrac{9}{8}.
\]
Ainsi \((f\circ g)(2)=\dfrac{9}{8}\).
3. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{7-2x}{3x}, \] la fonction réciproque \(f^{-1}\) de \(f\) est :
Réponse : \(f^{-1}(x)=\dfrac{7}{3x+2}\).
On pose
\[
y=f(x)=\dfrac{7-2x}{3x}.
\]
On résout cette équation pour \(x\) en fonction de \(y\) :
\[
y\cdot 3x=7-2x \quad\Rightarrow\quad 3xy+2x=7 \quad\Rightarrow\quad x(3y+2)=7.
\]
Donc
\[
x=\dfrac{7}{3y+2}.
\]
La réciproque est alors
\[
f^{-1}(y)=\dfrac{7}{3y+2},
\]
et en remplaçant \(y\) par \(x\) comme variable usuelle,
\[
f^{-1}(x)=\dfrac{7}{3x+2}.
\]
4. Le domaine de définition de la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{-2x}{\sqrt{(x^{2}+1)(x^{2}-4)}} \] est :
Réponse : \(]-\infty,-2[\cup]2,+\infty[\).
On a
\[
f(x)=\dfrac{-2x}{\sqrt{(x^{2}+1)(x^{2}-4)}}.
\]
Pour que \(f(x)\) soit définie, il faut :
\[
(x^{2}+1)(x^{2}-4)>0
\]
et le dénominateur non nul.
On remarque que \(x^{2}+1>0\) pour tout réel \(x\).
La condition se réduit donc à
\[
x^{2}-4>0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{2}>4 \quad\Leftrightarrow\quad |x|>2.
\]
On exclut aussi les points où \(x^{2}-4=0\), c’est-à-dire \(x=\pm 2\).
Le domaine de définition est donc
\[
D_{f}=]-\infty,-2[\cup]2,+\infty[.
\]
5. Soit, dans l’ensemble des réels, la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{-x^{2}+3x-6}{x+1} \] et \((C)\) sa courbe représentative. La fonction \(f\) admet un centre de symétrie de coordonnées :
Réponse : centre de symétrie \((-1,5)\).
On écrit
\[
f(x)=\dfrac{-x^{2}+3x-6}{x+1}.
\]
On effectue la division euclidienne :
\[
\dfrac{-x^{2}+3x-6}{x+1}=-x+4-\dfrac{10}{x+1}.
\]
La courbe a une asymptote verticale \(x=-1\) (dénominateur nul) et une asymptote oblique
\[
y=-x+4.
\]
Le centre de symétrie d’une telle courbe rationnelle est le point d’intersection de ces deux asymptotes.
On remplace \(x=-1\) dans l’équation de l’asymptote oblique :
\[
y=-(-1)+4=1+4=5.
\]
Le centre de symétrie est donc le point \((-1,5)\).
6. La limite de la fonction \[ f(x)=\dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1} \] lorsque \(x\) tend vers \(0\) vaut :
Réponse : \(\dfrac{3}{4}\).
On considère
\[
f(x)=\dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1}.
\]
La limite intéressante est en fait lorsque \(x\to 1\), car on obtient une forme indéterminée :
\[
\sqrt{3\cdot 1+1}-2=\sqrt{4}-2=0,\quad x-1\to 0.
\]
On peut utiliser la dérivation (idée de la règle de l’Hôpital) ou une rationalisation.
En dérivant numérateur et dénominateur :
\[
\text{numérateur}'=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}},\quad \text{dénominateur}'=1.
\]
La limite vaut alors
\[
\lim_{x\to 1}\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}=\dfrac{3}{2\sqrt{4}}=\dfrac{3}{2\cdot 2}=\dfrac{3}{4}.
\]
7. Soit \(f\) la fonction définie dans \(\mathbb{R}\) par \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{1+x^{2}} \] et \((C)\) sa courbe représentative. La courbe \((C)\) admet des asymptotes dont les équations sont :
Réponse (avec la version corrigée classique) : asymptotes \(x=1,\ x=-1\) et \(y=-1\).
La forme donnée
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{1+x^{2}}
\]
est en réalité identiquement égale à \(1\), donc ne possède qu’une asymptote horizontale \(y=1\) et aucune asymptote verticale.
Dans la version standard de ce type d’exercice, on considère plutôt
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{1-x^{2}}.
\]
Alors le dénominateur s’annule pour
\[
1-x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm 1,
\]
ce qui donne deux asymptotes verticales \(x=1\) et \(x=-1\).
Pour \(|x|\to+\infty\),
\[
f(x)\sim\dfrac{x^{2}}{-x^{2}}=-1,
\]
donc l’asymptote horizontale est \(y=-1\).
On obtient ainsi les asymptotes \(x=1,\ x=-1\) et \(y=-1\).
8. Soit \(f\) la fonction définie dans \(\mathbb{R}\) par \[ f(x)=\dfrac{x^{2}-6}{x+3}, \] \(f'\) et \(f''\) sont respectivement les dérivées première et seconde de la fonction \(f\). Le réel \(2f''(0)-3f'(0)\) vaut :
Réponse : \(-\dfrac{14}{9}\).
On a
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}-6}{x+3}.
\]
On effectue la division :
\[
\dfrac{x^{2}-6}{x+3}=x-3+\dfrac{3}{x+3}.
\]
On dérive :
\[
f'(x)=1-\dfrac{3}{(x+3)^{2}},\quad f''(x)=\dfrac{6}{(x+3)^{3}}.
\]
On évalue en \(x=0\) :
\[
f'(0)=1-\dfrac{3}{3^{2}}=1-\dfrac{3}{9}=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3},
\]
\[
f''(0)=\dfrac{6}{3^{3}}=\dfrac{6}{27}=\dfrac{2}{9}.
\]
On calcule alors
\[
2f''(0)-3f'(0)=2\cdot\dfrac{2}{9}-3\cdot\dfrac{2}{3}
=\dfrac{4}{9}-2
=\dfrac{4}{9}-\dfrac{18}{9}
=-\dfrac{14}{9}.
\]