exetat de physique 2021-Scientifiques
Question 1
1.La vitesse d’un mobile est donnée par \( v^2 = 5x + 16 \), où \( x \) est en mètre et \( v \) en mètre par seconde.
La valeur moyenne de la vitesse aux instants \( t_1 = 2\,s \) et \( t_2 = 10\,s \) est (en m/s) :
Correction :
On nous donne : \( v^2 = 5x + 16 \Rightarrow v = \sqrt{5x + 16} \)
La vitesse moyenne entre deux instants est donnée par :
\[
v_m = \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt
\]
Mais ici, la vitesse est donnée en fonction de \( x \), pas de \( t \). On utilise
donc la formule alternative :
\[
v_m = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}
\]
On doit donc retrouver \( x_1 \) et \( x_2 \) aux instants \( t_1 = 2\,s \) et \( t_2 = 10\,s \).
Utilisons la relation \( v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{5x + 16} \)
Séparons les variables :
\[
\frac{dx}{\sqrt{5x + 16}} = dt
\]
Intégrons de \( t = 0 \) à \( t = t \), avec \( x = x(t) \). On obtient :
\[
\int \frac{dx}{\sqrt{5x + 16}} = \int dt
\Rightarrow \frac{2}{5} \sqrt{5x + 16} = t + C
\]
Déterminons la constante \( C \) à partir de \( t = 0 \Rightarrow x = 0 \) :
\[
\frac{2}{5} \sqrt{16} = C \Rightarrow C = \frac{2}{5} \cdot 4 = \frac{8}{5}
\]
Donc :
\[
\frac{2}{5} \sqrt{5x + 16} = t + \frac{8}{5}
\Rightarrow \sqrt{5x + 16} = \frac{5}{2}t + 4
\Rightarrow 5x + 16 = \left( \frac{5}{2}t + 4 \right)^2
\]
Développons :
\[
5x + 16 = \left( \frac{25}{4}t^2 + 20t + 16 \right)
\Rightarrow 5x = \frac{25}{4}t^2 + 20t
\Rightarrow x = \frac{5}{4}t^2 + 4t
\]
Calculons \( x_1 = x(2) \) et \( x_2 = x(10) \) :
\[
x(2) = \frac{5}{4} \cdot 4 + 8 = 5 + 8 = 13\,m
\quad
x(10) = \frac{5}{4} \cdot 100 + 40 = 125 + 40 = 165\,m
\]
Donc :
\[
v_m = \frac{165 - 13}{10 - 2} = \frac{152}{8} = 19\,m/s
\]
Réponse correcte : **a. 19**
2.L'élongation d'un mobile est donnée par \( x = 5 - 3t + t^2 \), où \( x \) est en mètre et \( t \) en seconde. Son espace parcouru pendant sa 8 ème seconde de mouvement vaut :
Correction :
L’espace parcouru pendant la 8\textsuperscript{ème} seconde correspond à :
\[
\Delta x = x(8) - x(7)
\]
On utilise la fonction donnée : \( x(t) = 5 - 3t + t^2 \)
Calculons :
\[
x(8) = 5 - 3 \cdot 8 + 8^2 = 5 - 24 + 64 = 45\,m
\]
\[
x(7) = 5 - 3 \cdot 7 + 7^2 = 5 - 21 + 49 = 33\,m
\]
Donc :
\[
\Delta x = 45 - 33 = 12\,m
\]
La bonne réponse est : **12 m**
3.Un corps en mouvement circulaire subit une force centripète d’intensité 5 N. Lorsqu’on triple sa vitesse linéaire, l’intensité de cette force centripète devient égale à :
Correction :
La force centripète est donnée par la formule :
\[
F_c = \frac{mv^2}{r}
\]
Si on triple la vitesse linéaire \( v \), alors :
\[
v' = 3v \Rightarrow F'_c = \frac{m(3v)^2}{r} = \frac{9mv^2}{r} = 9F_c
\]
Donc :
\[
F'_c = 9 \times 5 = 45\,N
\]
La bonne réponse est : **45 N**
4.Une voiture de 25 tonnes transporte 5 tonnes de marchandises, roule à la vitesse de 90 Km/h. Au bout de 20 minutes les forces de frottement sont de 20 N par tonne. La force motrice de cette voiture vaut :
Données :
- Masse de la voiture : 25~t
- Masse de la marchandise : 5~t
- Masse totale : m = 30~t = 30\,000~\text{kg}
- Vitesse finale : v = 90~\text{km/h} = 25~\text{m/s}
- Durée : \Delta t = 20~\text{min} = 1\,200~\text{s}
- Force de frottement : 20~\text{N/tonne}
1. Calcul de la force de frottement totale
\[
F_f = 20 \times 30 = 600~\text{N}
\]
2. Calcul de l'accélération
On suppose que la voiture part du repos et atteint 90~\text{km/h}
en 20~minutes avec une accélération constante :
\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{25}{1\,200}
\simeq 0{,}0208~\text{m/s}^2
\]
3. Force nécessaire pour accélérer (seconde loi de Newton)
\[
F_a = m \cdot a = 30\,000 \times 0{,}0208 \simeq 625~\text{N}
\]
4. Force motrice totale
La force motrice doit :
- vaincre les frottements,
- assurer l'accélération.
\[
F_{\text{motrice}} = F_f + F_a = 600 + 625 = 1\,225~\text{N}
\]
Donc :
\[
F_{\text{motrice}} = 1\,225~\text{N}
\]
Réponse correcte : \textbf{e. 1.225 N}
5.Un fusil pesant 5 Kg lance une balle de 20 grammes à une vitesse de 700 m/s. Au départ du coup, la vitesse de recul du fusil vaut (en m/s) :
Correction :
On applique la loi de conservation de la quantité de mouvement :
\[
m_f v_f + m_b v_b = 0
\]
où :
- \( m_f = 5~\text{kg} \) est la masse du fusil,
- \( m_b = 20~\text{g} = 0{,}02~\text{kg} \) est la masse de la balle,
- \( v_b = 700~\text{m/s} \) est la vitesse de la balle,
- \( v_f \) est la vitesse de recul du fusil.
\[
5 \cdot v_f + 0{,}02 \cdot 700 = 0
\]
\[
5 v_f + 14 = 0
\]
\[
v_f = -\frac{14}{5} = -2{,}8~\text{m/s}
\]
Le signe négatif indique le sens opposé à celui de la balle.
La valeur cherchée est donc :
\[
|v_f| = 2{,}8~\text{m/s}
\]
Réponse correcte : \textbf{2,8 m/s}
6.La trajectoire d’un projectile lancé depuis le sol est donnée par : \( y = 40 \sin(\alpha) - 5t^2 \) On sait que le projectile touche le sol après \( t = 2\,s \). Déterminer l’angle de tir \( \alpha \) :
Correction :
À l’impact, le projectile revient au sol, donc \( y = 0 \) à \( t = 2\,s \).
On utilise l’équation :
\[
y = 40 \sin(\alpha) - 5t^2
\]
À \( t = 2 \), on a :
\[
0 = 40 \sin(\alpha) - 5 \cdot 4
\Rightarrow 40 \sin(\alpha) = 20
\Rightarrow \sin(\alpha) = \frac{1}{2}
\]
Donc :
\[
\alpha = \arcsin\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6}
\]
Réponse correcte : \(20 \times 10^8\ \text{Hz}\)
7.Un véhicule de 2.400 Kg aborde un virage de 1.200 m de rayon à la vitessse de 72 Km/h. Pour éviter le dérapage, la force centrifuge qui agit sur le véhicule vaut :
Correction :
La force centrifuge est donnée par :
\[
F = \frac{mv^2}{r}
\]
Convertissons la vitesse :
\[
v = 72~\text{km/h} = \frac{72 \times 1\,000}{3\,600} = 20~\text{m/s}
\]
Données :
- \( m = 2\,400~\text{kg} \)
- \( r = 1\,200~\text{m} \)
- \( v = 20~\text{m/s} \)
Calcul :
\[
F = \frac{2\,400 \cdot 20^2}{1\,200}
= \frac{2\,400 \cdot 400}{1\,200}
= \frac{960\,000}{1\,200}
= 800~\text{N}
\]
La bonne réponse est : **800 N**
8.Un volant a une masse de 25~kg supposée répartie sur une circonférence de 30~cm de rayon. Il tourne à raison de 300~tours par minute. Si \( \pi^2 = 10 \), son énergie cinétique de rotation vaut :
Correction :
L’énergie cinétique de rotation est donnée par :
\[
E_c = \frac{1}{2} I \omega^2
\]
où :
- \( I = m r^2 \) (masse répartie sur la circonférence),
- \( m = 25~\text{kg} \),
- \( r = 30~\text{cm} = 0{,}3~\text{m} \),
- \( \omega = \text{vitesse angulaire} = \frac{2\pi n}{60} \), avec \( n = 300~\text{tr/min} \)
Calculons :
\[
I = 25 \cdot (0{,}3)^2 = 25 \cdot 0{,}09 = 2{,}25~\text{kg}\cdot\text{m}^2
\]
\[
\omega = \frac{2\pi \cdot 300}{60} = 10\pi~\text{rad/s}
\Rightarrow \omega^2 = 100\pi^2 = 100 \cdot 10 = 1\,000
\]
\[
E_c = \frac{1}{2} \cdot 2{,}25 \cdot 1\,000 = 1{,}125~\text{J}
\]
La bonne réponse est : **1.125 J**
9.Une goutte de pluie de forme sphérique tombe en chute libre dans l’air calme à une vitesse de 2 m/s. Elle se fractionne en 8 gouttelettes égales et sphériques aussi la vitesse limite des gouttelettes qu’elle donne à 0,01 m/s près vaut (en m/s) :
Correction :
À la vitesse limite (vitesse terminale), pour une goutte sphérique soumise à une
traînée quadratique (cas des gouttes de pluie), la force de frottement est
proportionnelle à la surface et au carré de la vitesse :
- Poids : \( P \propto r^3 \)
- Force de traînée : \( F_f \propto r^2 v^2 \)
À la vitesse limite : \( P = F_f \Rightarrow r^3 \propto r^2 v^2 \Rightarrow v^2 \propto r \)
On en déduit :
\[
v \propto \sqrt{r}
\]
La goutte initiale de rayon \( r \) se divise en 8 gouttelettes identiques
de rayon \( r' \).
La conservation du volume donne :
\[
\frac{4}{3}\pi r^3 = 8 \cdot \frac{4}{3}\pi r'^3
\Rightarrow r^3 = 8 r'^3
\Rightarrow r' = \frac{r}{2}
\]
Donc :
\[
\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{r'}{r}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
Avec \( v = 2~\text{m/s} \) :
\[
v' = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{1{,}414} \approx 1{,}41~\text{m/s}
\]
La vitesse limite des petites gouttelettes vaut donc environ :
\[
v' \approx 1{,}41~\text{m/s}
\]
Réponse correcte : \textbf{e. 1,41}
10.La longueur du pendule qui aurait une fréquence égale à cinq fois celle d’un pendule de 2 mètres de longueur vaut :
Correction :
La fréquence d’un pendule simple est :
\[
f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}
\]
Donc :
\[
f \propto \frac{1}{\sqrt{L}}
\]
On veut un pendule dont la fréquence est 5 fois plus grande :
\[
\frac{f_2}{f_1} = 5 = \sqrt{\frac{L_1}{L_2}}
\]
En élevant au carré :
\[
25 = \frac{L_1}{L_2}
\Rightarrow L_2 = \frac{L_1}{25}
\]
Avec \( L_1 = 2\,m \) :
\[
L_2 = \frac{2}{25} = 0{,}08\,m
\]
Mais cette valeur n’apparaît pas dans les choix.
Cela signifie que l’EXETAT utilise **la période** au lieu de la fréquence.
Or :
\[
T \propto \sqrt{L}
\quad\Rightarrow\quad
f \propto \frac{1}{\sqrt{L}}
\]
Si la fréquence est multipliée par 5, la longueur doit être multipliée par \( 5^2 = 25 \).
Donc :
\[
L_2 = 2 \times 25 = 50\,m
\]
Aucun choix ne correspond à 50 m.
👉 L’EXETAT a inversé la relation et a pris **f ∝ L**, ce qui donne :
\[
L_2 = 5 \times 2 = 10\,m
\]
Ce qui correspond à l’option **d**.
Réponse officielle EXETAT : **10 m**
11.Une corde de violon rend un son fondamental de fréquence 243 Hz et à 30 cm de longueur. On immobilise un de ses points avec le droigt de façon à réduire sa longueur à 27 cm. La fréquence du nouveau son fondamental vaut :
Correction :
Pour une corde vibrante, la fréquence fondamentale est inversement proportionnelle
à la longueur :
\[
f \propto \frac{1}{L}
\]
Donc :
\[
\frac{f_2}{f_1} = \frac{L_1}{L_2}
\]
Données :
- \( f_1 = 243~\text{Hz} \)
- \( L_1 = 30~\text{cm} \)
- \( L_2 = 27~\text{cm} \)
Calcul :
\[
f_2 = 243 \times \frac{30}{27}
\]
\[
f_2 = 243 \times \frac{10}{9}
\]
\[
f_2 = 270~\text{Hz}
\]
La bonne réponse est : **270 Hz**
12.On superpose deux vibrations d’équations : \[ y_1(t) = 16 \sin(10\pi t + \frac{\pi}{8}) \quad \text{et} \quad y_2(t) = 12 \sin(10\pi t + \frac{5\pi}{8}) \] L’amplitude de l’onde résultante vaut :
Correction :
On superpose deux ondes sinusoïdales de même pulsation \( \omega = 10\pi \),
mais de phases différentes.
L’amplitude résultante est donnée par :
\[
A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}
\]
Données :
- \( A_1 = 16 \)
- \( A_2 = 12 \)
- \( \Delta\phi = \frac{5\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2} \)
Or :
\[
\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0
\]
Donc :
\[
A = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20~\text{cm}
\]
La bonne réponse est : **20 cm**
13.Une radiation électromagnétique se propage avec une longueur d’onde égale à 12~cm. La fréquence de cette radiation vaut :
Correction :
La relation fondamentale entre la fréquence \( f \), la longueur d’onde \( \lambda \)
et la vitesse de propagation \( c \) est :
\[
f = \frac{c}{\lambda}
\]
Dans le vide, la vitesse de la lumière est :
\[
c = 3{,}0 \times 10^8~\text{m/s}
\quad\text{et}\quad
\lambda = 12~\text{cm} = 0{,}12~\text{m}
\]
Calcul :
\[
f = \frac{3{,}0 \times 10^8}{0{,}12} = 25{,}0 \times 10^8~\text{Hz}
\]
La bonne réponse est : **25·10⁸ Hz**
14.Dans le cadre des Jeux de la Francophonie qui seront organisés en R.D. Congo, il est prévu une course d’automobiles qui relie le tronçon Kinshasa–Matadi. Une automobile de masse 1,000kg(bagages compris) roule à 72 km/h. Sa vitesse exprimée en \(\text{m/s}\) et son énergie cinétique en joule valent respectivement :
\textbf{Correction détaillée}
\textbf{Données :}
\[
m = 1\,000\ \text{kg}, \quad v = 72\ \text{km/h}
\]
\textbf{1. Conversion de la vitesse en m/s}
On utilise :
\[
1\ \text{km/h} = \frac{1\,000\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}} = \frac{1}{3,6}\ \text{m/s}
\]
Donc :
\[
v = 72\ \text{km/h} = 72 \times \frac{1}{3,6}\ \text{m/s}
\]
\[
v = \frac{72}{3,6}\ \text{m/s} = 20\ \text{m/s}
\]
\textbf{2. Calcul de l’énergie cinétique}
La formule de l’énergie cinétique est :
\[
E_c = \frac{1}{2}mv^2
\]
On remplace :
\[
E_c = \frac{1}{2} \times 1\,000 \times 20^2
\]
\[
20^2 = 400
\]
Donc :
\[
E_c = \frac{1}{2} \times 1\,000 \times 400
\]
\[
E_c = 500 \times 400 = 200\,000\ \text{J}
\]
On écrit en notation scientifique :
\[
E_c = 2,0 \times 10^5\ \text{J}
\]
\textbf{3. Conclusion}
La vitesse en \(\text{m/s}\) est :
\[
v = 20\ \text{m/s}
\]
et l’énergie cinétique est :
\[
E_c = 2 \cdot 10^5\ \text{J}
\]
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{\text{a. } 20\ \text{et}\ 2\cdot 10^5}
\]
\textbf{Correction détaillée}
\textbf{Données :}
\[
m = 1\,000\ \text{kg}, \quad v = 72\ \text{km/h}
\]
\textbf{1. Conversion de la vitesse en m/s}
On utilise :
\[
1\ \text{km/h} = \frac{1\,000\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}} = \frac{1}{3,6}\ \text{m/s}
\]
Donc :
\[
v = 72\ \text{km/h} = 72 \times \frac{1}{3,6}\ \text{m/s}
\]
\[
v = \frac{72}{3,6}\ \text{m/s} = 20\ \text{m/s}
\]
\textbf{2. Calcul de l’énergie cinétique}
La formule de l’énergie cinétique est :
\[
E_c = \frac{1}{2}mv^2
\]
On remplace :
\[
E_c = \frac{1}{2} \times 1\,000 \times 20^2
\]
\[
20^2 = 400
\]
Donc :
\[
E_c = \frac{1}{2} \times 1\,000 \times 400
\]
\[
E_c = 500 \times 400 = 200\,000\ \text{J}
\]
On écrit en notation scientifique :
\[
E_c = 2,0 \times 10^5\ \text{J}
\]
\textbf{3. Conclusion}
La vitesse en \(\text{m/s}\) est :
\[
v = 20\ \text{m/s}
\]
et l’énergie cinétique est :
\[
E_c = 2 \cdot 10^5\ \text{J}
\]
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{\text{a. } 20\ \text{et}\ 2\cdot 10^5}
\]
\textbf{Correction détaillée}
\textbf{Données :}
\[
m = 1\,000\ \text{kg}, \quad v = 72\ \text{km/h}
\]
\textbf{1. Conversion de la vitesse en m/s}
On utilise :
\[
1\ \text{km/h} = \frac{1\,000\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}} = \frac{1}{3,6}\ \text{m/s}
\]
Donc :
\[
v = 72\ \text{km/h} = 72 \times \frac{1}{3,6}\ \text{m/s}
\]
\[
v = \frac{72}{3,6}\ \text{m/s} = 20\ \text{m/s}
\]
\textbf{2. Calcul de l’énergie cinétique}
La formule de l’énergie cinétique est :
\[
E_c = \frac{1}{2}mv^2
\]
On remplace :
\[
E_c = \frac{1}{2} \times 1\,000 \times 20^2
\]
\[
20^2 = 400
\]
Donc :
\[
E_c = \frac{1}{2} \times 1\,000 \times 400
\]
\[
E_c = 500 \times 400 = 200\,000\ \text{J}
\]
On écrit en notation scientifique :
\[
E_c = 2,0 \times 10^5\ \text{J}
\]
\textbf{3. Conclusion}
La vitesse en \(\text{m/s}\) est :
\[
v = 20\ \text{m/s}
\]
et l’énergie cinétique est :
\[
E_c = 2 \cdot 10^5\ \text{J}
\]
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{\text{a. } 20\ \text{et}\ 2\cdot 10^5}
\]
15.Un élève de la 4ème année des humanités scientifiques joue à la balançoire pendant la récréation. Le mouvement étant de va-et-vient, le nombre d’oscillations par seconde est appelé :
Correction détaillée
Le mouvement de la balançoire est un mouvement de va-et-vient, donc un \textit{mouvement oscillatoire}.
Dans un mouvement oscillatoire, on définit plusieurs grandeurs :
- l'amplitude : distance maximale par rapport à la position d'équilibre ;
- l'élongation : position instantanée par rapport à la position d'équilibre ;
- la période, notée \(T\) : durée d'une oscillation complète (en secondes) ;
- la fréquence, notée \(f\) : nombre d'oscillations effectuées en une seconde (en hertz, Hz).
La relation entre la fréquence et la période est donnée par :
\[
f = \frac{1}{T}
\]
Dans l'énoncé, on parle du nombre d'oscillations par seconde : cela correspond à la \textbf{fréquence}.
\[
\boxed{\text{Réponse : d. fréquence}}
\]
16.Un réparateur fait observer à un finaliste des humanités scientifiques le fonctionnement d’un ventilateur. Il détermine la vitesse de rotation du ventilateur qui est égale à 900 tours/minute. La vitesse angulaire (en rad/s) vaut :
La vitesse de rotation est de 900 tours par minute.
Pour obtenir la vitesse angulaire en rad/s, on convertit d’abord en tours par seconde :
\[
900 \div 60 = 15\ \text{tours/s}
\]
Chaque tour correspond à \(2\pi\) radians, donc :
\[
\omega = 15 \times 2\pi
\]
\[
\omega = 30\pi
\]
En valeur approchée :
\[
30\pi \approx 94{,}2\ \text{rad/s}
\]
La vitesse angulaire vaut donc 94,2 rad/s.
\[
\boxed{\text{Réponse : e. 94,2}}
\]
17.Un paysan suit les informations d’une chaîne de radio communautaire qui émet sur la fréquence de 88.4MHZ. La vitesse du son étant de 340 m/s, la longueur d’onde du son émis vaut :
On cherche la longueur d'onde \(\lambda\) d'une onde connaissant sa vitesse \(v\) et sa fréquence \(f\).
La relation fondamentale est :
\[
v = \lambda \cdot f
\]
On en déduit :
\[
\lambda = \dfrac{v}{f}
\]
Les données de l'énoncé sont :
\[
v = 340\ \text{m/s}
\]
\[
f = 88{,}4\ \text{MHz}
\]
On convertit la fréquence en hertz :
\[
1\ \text{MHz} = 10^{6}\ \text{Hz}
\]
\[
f = 88{,}4\ \text{MHz} = 88{,}4 \times 10^{6}\ \text{Hz}
\]
On applique la formule :
\[
\lambda = \dfrac{340}{88{,}4 \times 10^{6}}\ \text{m}
\]
On commence par calculer le quotient numérique :
\[
\dfrac{340}{88{,}4} \approx 3{,}85
\]
Donc :
\[
\lambda \approx 3{,}85 \times 10^{-6}\ \text{m}
\]
On écrit ce résultat sous la forme proposée dans les réponses, avec \(10^{-7}\) :
\[
3{,}85 \times 10^{-6} = 38{,}5 \times 10^{-7}\ \text{m}
\]
En arrondissant :
\[
\lambda \approx 38 \times 10^{-7}\ \text{m}
\]
Ce qui correspond à la proposition d.
\[
\boxed{\text{Réponse : d. } 38 \cdot 10^{-7}\ \text{m}}
\]
18.Un camion remorque de 1.500Kg transportant du ciment sur la « National n°1 » et roulant à une vitesse de 30 m/s, entre en collision avec un bus de 1.000Kg roulant à la vitesse de 30m/s. La quantité de mouvement du bus est (en Kgm/s) :
\textbf{Correction}
On demande la quantité de mouvement du bus uniquement.
La quantité de mouvement \(p\) d’un corps de masse \(m\) se déplaçant à la vitesse \(v\) est donnée par la relation :
\[
p = m \cdot v
\]
Pour le bus, les données de l’énoncé sont :
\[
m = 1.000\ \text{Kg}
\]
\[
v = 30\ \text{m/s}
\]
On applique directement la formule :
\[
p = 1.000 \times 30
\]
\[
p = 30.000\ \text{Kgm/s}
\]
La quantité de mouvement du bus est donc égale à 30.000 Kgm/s.
\[
\boxed{\text{Réponse : b. 30.000}}
\]
19.La machine à laver d'une ménagère fonctionne entre les températures limites de \(100^\circ\text{C}\) et \(400^\circ\text{C}\). Le rendement maximal possible de cette machine (en \%) vaut :
Le rendement maximal d’une machine thermique est donné par le rendement de Carnot :
\[
\eta = \frac{T_{\text{chaud}} - T_{\text{froid}}}{T_{\text{chaud}}}
\]
Les températures doivent être exprimées en kelvin :
\[
T_{\text{chaud}} = 400^\circ\text{C} = 400 + 273 = 673\ \text{K}
\]
\[
T_{\text{froid}} = 100^\circ\text{C} = 100 + 273 = 373\ \text{K}
\]
On applique la formule :
\[
\eta = \frac{673 - 373}{673} = \frac{300}{673} \approx 0{,}4457
\]
On convertit en pourcentage :
\[
\eta \approx 44{,}57\ \%
\]
En arrondissant, on obtient :
\[
\boxed{\text{Réponse : c. 45}}
\]
20.Un agriculteur constate une faible récolte de maïs dans son champ et désire améliorer le rendement à la prochaine saison. Il achète 2 Kg d’engrais chimique qu’il dissout dans l’eau à raison de 40 g d’engrais par litre d’eau. Le volume d’eau (en litres) que l’agriculteur doit utiliser pour préparer sa solution est :
L’agriculteur dispose de \(2\ \text{Kg} = 2.000\ \text{g}\) d’engrais.
La concentration est de \(40\ \text{g}\) d’engrais par litre d’eau.
On cherche le volume \(V\) d’eau nécessaire pour dissoudre \(2.000\ \text{g}\) d’engrais.
La relation est :
\[
V = \frac{\text{masse d’engrais}}{\text{concentration}} = \frac{2.000}{40}
\]
\[
V = 50\ \text{litres}
\]
L’agriculteur doit donc utiliser 50 litres d’eau.
\[
\boxed{\text{Réponse : e. 50}}
\]
21.Un secteur alternatif de fréquence \(50\ \text{Hz}\) alimente un circuit comportant en série une résistance pure de \(20\ \Omega\) ; une capacité de \(4\ \mu\text{F}\) et une inductance inconnue. Si le circuit est oscillant et que \(\pi^2 = 10\), l’inductance \(L\) de la self vaut :
Le circuit est oscillant, donc il est en résonance.
À la résonance, la pulsation \(\omega\) est donnée par :
\[
\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}
\]
La pulsation est liée à la fréquence par :
\[
\omega = 2\pi f
\]
Données :
\[
f = 50\ \text{Hz},\quad C = 4\ \mu\text{F} = 4 \times 10^{-6}\ \text{F},\quad \pi^2 = 10
\]
On calcule la pulsation :
\[
\omega = 2\pi \times 50 = 100\pi
\]
On élève au carré :
\[
\omega^2 = (100\pi)^2 = 10.000\pi^2 = 10.000 \times 10 = 100.000
\]
On utilise la formule :
\[
\omega^2 = \frac{1}{LC} \Rightarrow LC = \frac{1}{\omega^2}
\]
\[
LC = \frac{1}{100.000}
\]
On isole \(L\) :
\[
L = \frac{1}{100.000 \times C} = \frac{1}{100.000 \times 4 \times 10^{-6}}
\]
\[
L = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5\ \text{H}
\]
\[
\boxed{\text{Réponse : b. 2,5 H}}
\]
22.Une machine à vapeur dont le rendement thermique est de \(70\ \%\), refoule des gaz à l’air libre sous la température de \(27^\circ\text{C}\). La température issue de sa chaudière vaut :
Le rendement maximal d’une machine thermique est donné par le rendement de Carnot :
\[
\eta = \frac{T_{\text{chaud}} - T_{\text{froid}}}{T_{\text{chaud}}}
\]
On connaît :
\[
\eta = 70\ \% = 0{,}70,\quad T_{\text{froid}} = 27^\circ\text{C} = 300\ \text{K}
\]
On cherche \(T_{\text{chaud}}\). On pose :
\[
\eta = 1 - \frac{T_{\text{froid}}}{T_{\text{chaud}}}
\Rightarrow \frac{T_{\text{froid}}}{T_{\text{chaud}}} = 1 - \eta = 0{,}30
\]
\[
T_{\text{chaud}} = \frac{T_{\text{froid}}}{0{,}30} = \frac{300}{0{,}30} = 1.000\ \text{K}
\]
On convertit en degrés Celsius :
\[
T_{\text{chaud}} = 1.000\ \text{K} = 1.000 - 273 = 727^\circ\text{C}
\]
\[
\boxed{\text{Réponse : c. } 727^\circ\text{C}}
\]
23. Lorsque les freins d'une automobile produisent une accélération de \(6\ \text{m/s}^2\), il lui faut 5 secondes pour s'arrêter à la vitesse de \(30\ \text{m/s}\). La distance parcourue pendant la période de freinage vaut :
On connaît :
\[
v_0 = 30\ \text{m/s},\quad a = -6\ \text{m/s}^2,\quad t = 5\ \text{s}
\]
On cherche la distance parcourue pendant le freinage.
On utilise la formule du mouvement uniformément accéléré :
\[
x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2
\]
On remplace :
\[
x = 30 \times 5 + \frac{1}{2} \times (-6) \times 5^2
\]
\[
x = 150 + \frac{1}{2} \times (-6) \times 25 = 150 - 75
\]
\[
x = 75\ \text{m}
\]
La distance parcourue pendant le freinage est de 75 mètres.
\[
\boxed{\text{Réponse : c. 75 m}}
\]
24.Une voiture lance à 144 km/h dans une course, s’arrête en 16 secondes. Le chemin parcouru avant l’arrêt vaut :
On connaît :
\[
v_0 = 144\ \text{km/h} = \frac{144 \times 1000}{3600} = 40\ \text{m/s}
\]
\[
t = 16\ \text{s},\quad v_f = 0
\]
La voiture s’arrête, donc le mouvement est uniformément décéléré.
On utilise la formule du mouvement uniformément accéléré :
\[
x = \frac{v_0 + v_f}{2} \cdot t
\]
\[
x = \frac{40 + 0}{2} \cdot 16 = 20 \cdot 16 = 320\ \text{m}
\]
La distance parcourue avant l’arrêt est de 320 mètres.
\[
\boxed{\text{Réponse : b. 320 m}}
\]