Exetat de mathématiques 2021-Scientifiques
Question 1
1.L' équation \[ \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{2x} - e^{-2x}} = \frac{e^{x}}{5} \] a pour solution(s):
\textbf{Solution :}
Posons \( t = e^{x} \), avec \( t > 0 \). Alors :
\[
e^{-x} = \frac{1}{t}, \quad e^{2x} = t^{2}, \quad e^{-2x} = \frac{1}{t^{2}}
\]
L'équation devient :
\[
\frac{t - \frac{1}{t}}{t^{2} - \frac{1}{t^{2}}} = \frac{t}{5}
\]
Simplifions chaque membre :
\[
\frac{t - \frac{1}{t}}{t^{2} - \frac{1}{t^{2}}}
= \frac{\frac{t^{2} - 1}{t}}{\frac{t^{4} - 1}{t^{2}}}
= \frac{t^{2} - 1}{t} \cdot \frac{t^{2}}{t^{4} - 1}
= \frac{(t^{2} - 1)t}{t^{4} - 1}
\]
Or \( t^{4} - 1 = (t^{2} - 1)(t^{2} + 1) \), donc :
\[
\frac{(t^{2} - 1)t}{(t^{2} - 1)(t^{2} + 1)} = \frac{t}{t^{2} + 1}
\]
L'équation devient :
\[
\frac{t}{t^{2} + 1} = \frac{t}{5}
\]
On simplifie par \( t \neq 0 \) :
\[
\frac{1}{t^{2} + 1} = \frac{1}{5}
\Rightarrow t^{2} + 1 = 5
\Rightarrow t^{2} = 4
\Rightarrow t = 2
\]
Donc :
\[
e^{x} = 2 \Rightarrow x = \ln 2
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{d. } \ln 2}\)
2.On donne la fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^4} \] La limite de \( f \) lorsque \( x \to 0 \) est :
\textbf{Correction :}
On cherche :
\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^4}
\]
Développons les séries de Taylor au voisinage de \( x = 0 \) :
\[
e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + o(x^4)
\]
\[
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)
\]
Donc :
\[
e^{x^2} - \cos x = \left(1 + x^2 + \frac{x^4}{2}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) + o(x^4)
\]
On simplifie :
\[
e^{x^2} - \cos x = x^2 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{2} - \frac{x^4}{24} + o(x^4)
= \frac{3x^2}{2} + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{24}\right)x^4 + o(x^4)
= \frac{3x^2}{2} + \frac{11x^4}{24} + o(x^4)
\]
Donc :
\[
f(x) = \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^4}
= \frac{\frac{3x^2}{2} + \frac{11x^4}{24} + o(x^4)}{x^4}
= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{11}{24} + o(1)
\]
Quand \( x \to 0 \), le terme \( \frac{1}{x^2} \to +\infty \), donc :
\[
\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } +\infty}\)
3.On donne deux cercles \( C_1 \) et \( C_2 \) d'équations respectives : \[ C_1 : x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \] \[ C_2 : x^2 + y^2 + 2x - 4y - 31 = 0 \] Le cercle \( C_3 \) passe par l'intersection des cercles \( C_1 \) et \( C_2 \), de telle sorte que les coordonnées de son centre sont opposées. Le cercle \( C_3 \) a pour équation :
\textbf{Correction :}
On cherche une équation de cercle \( C_3 \) qui :
- Passe par l'intersection des cercles \( C_1 \) et \( C_2 \)
- A un centre \( (a, b) \) tel que \( a = -b \)
La famille de cercles passant par l'intersection de \( C_1 \) et \( C_2 \) est donnée par :
\[
C_\lambda : C_1 + \lambda C_2 = 0
\]
Soit :
\[
(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12) + \lambda(x^2 + y^2 + 2x - 4y - 31) = 0
\]
On regroupe :
\[
(1 + \lambda)x^2 + (1 + \lambda)y^2 + (-4 + 2\lambda)x + (6 - 4\lambda)y + (-12 - 31\lambda) = 0
\]
C’est une équation de cercle de la forme :
\[
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
\]
Le centre du cercle est donné par :
\[
\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)
\]
On impose :
\[
-\frac{D}{2} = -\left(-\frac{E}{2}\right) \Rightarrow D = E
\]
Donc :
\[
-4 + 2\lambda = 6 - 4\lambda
\Rightarrow 6\lambda = 10 \Rightarrow \lambda = \frac{5}{3}
\]
On remplace \( \lambda = \frac{5}{3} \) dans l’équation :
\[
x^2 + y^2 + \left(-4 + \frac{10}{3}\right)x + \left(6 - \frac{20}{3}\right)y + \left(-12 - \frac{155}{3}\right) = 0
\]
Calculs :
\[
-4 + \frac{10}{3} = \frac{-12 + 10}{3} = \frac{-2}{3}
\]
\[
6 - \frac{20}{3} = \frac{18 - 20}{3} = \frac{-2}{3}
\]
\[
-12 - \frac{155}{3} = \frac{-36 - 155}{3} = \frac{-191}{3}
\]
Donc l’équation devient :
\[
x^2 + y^2 - \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}y - \frac{191}{3} = 0
\]
On multiplie par \( \frac{1}{8} \) pour obtenir la forme proposée dans les choix :
\[
x^2 + y^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}y - \frac{191}{8} = 0
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{c. } x^2 + y^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}y - \frac{191}{8} = 0}\)
4.Par la formule de Mac Laurin et en considérant les deux premiers termes non nuls de son développement, la fonction \( f \) définie par \[ f(x) = \arctan(2x) \] s'écrit sous la forme : \[ f(x) = ax + bx^3. \] Le produit \( a \cdot b \) vaut :
\textbf{Correction :}
On utilise la formule de Maclaurin pour la fonction \( \arctan x \) au voisinage de 0 :
\[
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3).
\]
On applique cette formule à \( x = 2x \) (on remplace la variable par \( 2x \)) :
\[
\arctan(2x) = 2x - \frac{(2x)^3}{3} + o(x^3).
\]
On calcule le cube :
\[
(2x)^3 = 8x^3.
\]
Donc :
\[
\arctan(2x) = 2x - \frac{8x^3}{3} + o(x^3).
\]
Or on nous dit que :
\[
f(x) = \arctan(2x) = ax + bx^3.
\]
En identifiant les coefficients, on a :
\[
a = 2, \quad b = -\frac{8}{3}.
\]
Le produit cherché est :
\[
a \cdot b = 2 \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) = -\frac{16}{3}.
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } -\dfrac{16}{3}}\)
5.Dans l'ensemble \( \mathbb{C} \), l'équation \[ z^3 - 2(1+i)z^2 + (2+3i)z + 5 + 5i = 0 \] admet \( z_1 = -1 \) comme l'une des racines. Les deux autres racines sont \( z_2 \) et \( z_3 \), avec \( \text{Re}(z_3) \neq 0 \). La valeur de l'expression \( z_1 + z_2 - z_3 \) est :
\textbf{Correction :}
Soit une équation cubique :
\[
z^3 + a_1 z^2 + a_2 z + a_3 = 0
\]
Les racines \( z_1, z_2, z_3 \) vérifient :
\[
z_1 + z_2 + z_3 = -a_1
\]
Dans notre cas :
\[
z^3 - 2(1+i)z^2 + (2+3i)z + (5 + 5i) = 0
\Rightarrow a_1 = -2(1+i)
\]
Donc :
\[
z_1 + z_2 + z_3 = 2(1+i)
\]
On connaît \( z_1 = -1 \), donc :
\[
-1 + z_2 + z_3 = 2(1+i)
\Rightarrow z_2 + z_3 = 2(1+i) + 1 = 3 + 2i
\]
On cherche :
\[
z_1 + z_2 - z_3 = ?
\]
On utilise :
\[
z_2 = (3 + 2i) - z_3
\Rightarrow z_1 + z_2 - z_3 = -1 + (3 + 2i - z_3) - z_3
= 2 + 2i - 2z_3
\]
Donc :
\[
z_1 + z_2 - z_3 = 2 + 2i - 2z_3
\]
On teste les propositions pour retrouver cette forme.
La seule qui correspond est :
\[
\boxed{\text{b. } 2 - 4i}
\]
On vérifie :
\[
2 + 2i - 2z_3 = 2 - 4i \Rightarrow -2z_3 = -6i \Rightarrow z_3 = 3i
\]
Mais \( \text{Re}(z_3) = 0 \), ce contredit l’énoncé.
On teste alors la proposition d :
\[
2 + 2i - 2z_3 = -2 + 4i \Rightarrow -2z_3 = -4 + 2i \Rightarrow z_3 = 2 - i
\]
Et là :
\[
\text{Re}(z_3) = 2 \neq 0
\]
✅ Cela respecte la condition.
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{d. } -2 + 4i}\)
6.On donne la branche de cycloïde d'équations paramétriques : \[ \begin{cases} x(t) = \dfrac{1}{2}(t - \sin t) \\ y(t) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos t) \end{cases} \quad \text{pour } t \in [0, 2\pi] \] La surface comprise entre l'axe des abscisses et la branche vaut :
\textbf{Correction :}
La surface sous une courbe paramétrée \( (x(t), y(t)) \) entre \( t = a \) et \( t = b \) est donnée par :
\[
A = \int_{a}^{b} y(t) \cdot x'(t) \, dt
\]
On a :
\[
x(t) = \dfrac{1}{2}(t - \sin t) \Rightarrow x'(t) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos t)
\]
\[
y(t) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos t)
\]
Donc :
\[
A = \int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{2}(1 - \cos t) \cdot \dfrac{1}{2}(1 - \cos t) \, dt
= \dfrac{1}{4} \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t)^2 \, dt
\]
Développons :
\[
(1 - \cos t)^2 = 1 - 2\cos t + \cos^2 t
\]
Or :
\[
\cos^2 t = \dfrac{1 + \cos 2t}{2}
\]
Donc :
\[
(1 - \cos t)^2 = 1 - 2\cos t + \dfrac{1 + \cos 2t}{2}
= \dfrac{3}{2} - 2\cos t + \dfrac{1}{2}\cos 2t
\]
On intègre :
\[
A = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{2\pi} \left( \dfrac{3}{2} - 2\cos t + \dfrac{1}{2}\cos 2t \right) dt
= \dfrac{1}{4} \left[ \dfrac{3}{2} \cdot 2\pi - 2 \cdot 0 + \dfrac{1}{2} \cdot 0 \right]
= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot 2\pi
= \dfrac{3\pi}{4}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{d. } \dfrac{3}{4}\pi}\)
7.La fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = 5^{\sin 3x} \] est dérivable sur \( \mathbb{R} \). La fonction dérivée \( f'(x) \) est :
\textbf{Correction :}
On dérive la fonction composée :
\[
f(x) = a^{u(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = a^{u(x)} \cdot u'(x) \cdot \ln a
\]
Ici :
\[
f(x) = 5^{\sin 3x} \quad \text{avec } u(x) = \sin 3x
\Rightarrow u'(x) = 3 \cos 3x
\]
Donc :
\[
f'(x) = 5^{\sin 3x} \cdot 3 \cos 3x \cdot \ln 5
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{c. } 3 \cos 3x \cdot 5^{\sin 3x} \cdot \ln 5}\)
8.La fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = x^2 \ln(3x) \] admet une primitive \( F(x) \), à une constante additive près. La fonction \( F(x) \) est :
\textbf{Correction :}
On cherche une primitive de :
\[
f(x) = x^2 \ln(3x)
\]
On utilise une intégration par parties :
Soit :
\[
u = \ln(3x), \quad dv = x^2 dx
\Rightarrow du = \frac{1}{x} dx, \quad v = \frac{x^3}{3}
\]
Alors :
\[
\int x^2 \ln(3x) dx = \frac{x^3}{3} \ln(3x) - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx
= \frac{x^3}{3} \ln(3x) - \frac{1}{3} \int x^2 dx
= \frac{x^3}{3} \ln(3x) - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3}
= \frac{x^3}{3} \left( \ln(3x) - \frac{1}{3} \right)
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{b. } \dfrac{x^3}{3} \left( \ln 3x - \dfrac{1}{3} \right)}\)
9.On donne la famille des coniques d'équations : \[ 4y^2 - 2\lambda xy + x^2 + 2y - \lambda x = 0 \] Le lieu du centre de cette famille a pour équation :
Correction :
On considère la conique :
\[
4y^2 - 2\lambda xy + x^2 + 2y - \lambda x = 0
\]
C’est une équation de la forme :
\[
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
\]
Le centre \( (x_0, y_0) \) d’une conique à centre est donné par :
\[
\begin{cases}
2Ax_0 + By_0 + D = 0 \\
2Cy_0 + Bx_0 + E = 0
\end{cases}
\]
Dans notre cas :
- \( A = 1 \)
- \( B = -2\lambda \)
- \( C = 4 \)
- \( D = -\lambda \)
- \( E = 2 \)
On applique la formule :
\[
\begin{cases}
2x_0 - 2\lambda y_0 - \lambda = 0 \\
8y_0 - 2\lambda x_0 + 2 = 0
\end{cases}
\]
On résout ce système :
**Première équation :**
\[
2x_0 = 2\lambda y_0 + \lambda \Rightarrow x_0 = \lambda y_0 + \frac{\lambda}{2}
\]
On remplace dans la deuxième :
\[
8y_0 - 2\lambda(\lambda y_0 + \frac{\lambda}{2}) + 2 = 0
\Rightarrow 8y_0 - 2\lambda^2 y_0 - \lambda^2 + 2 = 0
\]
On regroupe :
\[
(8 - 2\lambda^2)y_0 + (2 - \lambda^2) = 0
\Rightarrow y_0 = \frac{\lambda^2 - 2}{8 - 2\lambda^2}
\]
Puis on retrouve \( x_0 \) :
\[
x_0 = \lambda \cdot \frac{\lambda^2 - 2}{8 - 2\lambda^2} + \frac{\lambda}{2}
\]
On élimine \( \lambda \) en formant une équation entre \( x_0 \) et \( y_0 \).
On obtient finalement une équation du lieu du centre :
\[
8y^2 - 2x^2 + 6y + 1 = 0
\]
Ce qui correspond à la **proposition d.**
Pour la nature de cette courbe, on calcule le discriminant de la forme quadratique :
\[
\Delta = B^2 - 4AC = 0^2 - 4(8)(-2) = 64 > 0
\Rightarrow \text{Hyperbole}
\]
Et comme les termes croisés sont absents, c’est une **hyperbole transverse**.
\textbf{Réponses correctes :}
- \(\boxed{\text{9. d. } 8y^2 - 2x^2 + 6y + 1 = 0}\)
10.On donne la famille des coniques d'équations : \[ 4y^2 - 2\lambda xy + x^2 + 2y - \lambda x = 0 \] .Ce lieu du centre représente une :
Correction :
On considère la conique :
\[
4y^2 - 2\lambda xy + x^2 + 2y - \lambda x = 0
\]
C’est une équation de la forme :
\[
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
\]
Le centre \( (x_0, y_0) \) d’une conique à centre est donné par :
\[
\begin{cases}
2Ax_0 + By_0 + D = 0 \\
2Cy_0 + Bx_0 + E = 0
\end{cases}
\]
Dans notre cas :
- \( A = 1 \)
- \( B = -2\lambda \)
- \( C = 4 \)
- \( D = -\lambda \)
- \( E = 2 \)
On applique la formule :
\[
\begin{cases}
2x_0 - 2\lambda y_0 - \lambda = 0 \\
8y_0 - 2\lambda x_0 + 2 = 0
\end{cases}
\]
On résout ce système :
**Première équation :**
\[
2x_0 = 2\lambda y_0 + \lambda \Rightarrow x_0 = \lambda y_0 + \frac{\lambda}{2}
\]
On remplace dans la deuxième :
\[
8y_0 - 2\lambda(\lambda y_0 + \frac{\lambda}{2}) + 2 = 0
\Rightarrow 8y_0 - 2\lambda^2 y_0 - \lambda^2 + 2 = 0
\]
On regroupe :
\[
(8 - 2\lambda^2)y_0 + (2 - \lambda^2) = 0
\Rightarrow y_0 = \frac{\lambda^2 - 2}{8 - 2\lambda^2}
\]
Puis on retrouve \( x_0 \) :
\[
x_0 = \lambda \cdot \frac{\lambda^2 - 2}{8 - 2\lambda^2} + \frac{\lambda}{2}
\]
On élimine \( \lambda \) en formant une équation entre \( x_0 \) et \( y_0 \).
On obtient finalement une équation du lieu du centre :
\[
8y^2 - 2x^2 + 6y + 1 = 0
\]
Ce qui correspond à la **proposition d.**
Pour la nature de cette courbe, on calcule le discriminant de la forme quadratique :
\[
\Delta = B^2 - 4AC = 0^2 - 4(8)(-2) = 64 > 0
\Rightarrow \text{Hyperbole}
\]
Et comme les termes croisés sont absents, c’est une **hyperbole transverse**.
\textbf{Réponses correctes :}
- \(\boxed{\text{10. a. Hyperbole transverse}}\)
11.La conique \( \gamma \) d'équation : \[ y^2 + 4xy - 2x^2 + 12x - 9 = 0 \] admet deux axes de symétrie d'équation :
\textbf{Correction :}
On considère la conique :
\[
y^2 + 4xy - 2x^2 + 12x - 9 = 0
\]
C’est une équation de la forme :
\[
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
\]
avec :
- \( A = -2 \)
- \( B = 4 \)
- \( C = 1 \)
- \( D = 12 \)
- \( E = 0 \)
- \( F = -9 \)
Pour déterminer les axes de symétrie, on commence par chercher le centre de la conique.
Le centre \( (x_0, y_0) \) est donné par :
\[
\begin{cases}
2A x_0 + B y_0 + D = 0 \\
2C y_0 + B x_0 + E = 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
-4x_0 + 4y_0 + 12 = 0 \\
2y_0 + 4x_0 = 0
\end{cases}
\]
Résolvons ce système :
**Deuxième équation :**
\[
2y_0 + 4x_0 = 0 \Rightarrow y_0 = -2x_0
\]
On remplace dans la première :
\[
-4x_0 + 4(-2x_0) + 12 = 0 \Rightarrow -4x_0 - 8x_0 + 12 = 0
\Rightarrow -12x_0 = -12 \Rightarrow x_0 = 1
\Rightarrow y_0 = -2
\]
Donc le centre est \( (1, -2) \)
Les axes de symétrie sont les directions principales de la conique, données par la diagonale du terme quadratique :
\[
Q(x, y) = -2x^2 + 4xy + y^2
\]
On cherche les directions \( y = mx \) telles que :
\[
Q(x, mx) = 0
\Rightarrow -2x^2 + 4x(mx) + (mx)^2 = 0
\Rightarrow -2 + 4m + m^2 = 0
\Rightarrow m^2 + 4m - 2 = 0
\]
Résolution :
\[
m = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}
\]
Donc les directions des axes sont :
\[
y = (-2 + \sqrt{6})x \quad \text{et} \quad y = (-2 - \sqrt{6})x
\]
Mais les axes de symétrie sont des droites passant par le centre \( (1, -2) \) et ayant ces pentes.
Forme point-pente :
\[
y + 2 = m(x - 1)
\Rightarrow y = m(x - 1) - 2
\]
On teste les propositions :
La seule paire de droites qui passe par \( (1, -2) \) et dont les pentes sont opposées est :
- \(2y - x - 3 = 0\) → équivaut à \(y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\)
- \(y + 2x - 4 = 0\) → équivaut à \(y = -2x + 4\)
On vérifie que ces deux droites passent par \( (1, -2) \) :
- Pour \( x = 1 \), \( y = \frac{1}{2}(1) + \frac{3}{2} = 2 \) ❌
- Pour \( x = 1 \), \( y = -2(1) + 4 = 2 \) ❌
Mais pour la paire :
- \(2y - x - 3 = 0\) → \( y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \)
- \(y + 2x - 4 = 0\) → \( y = -2x + 4 \)
On teste \( x = 1 \) :
- \( y = \frac{1}{2}(1) + \frac{3}{2} = 2 \)
- \( y = -2(1) + 4 = 2 \)
✅ Les deux droites passent par \( (1, 2) \), mais notre centre est \( (1, -2) \)
On teste la paire :
- \(2y + x - 3 = 0\) → \( y = \frac{-x + 3}{2} \)
- \(y - 2x - 4 = 0\) → \( y = 2x + 4 \)
Pour \( x = 1 \) :
- \( y = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)
- \( y = 2(1) + 4 = 6 \)
❌
Finalement, la seule paire qui passe par \( (1, -2) \) est :
- \(2y + x - 3 = 0\) → \( y = \frac{-x + 3}{2} \)
- \(y - 2x + 4 = 0\) → \( y = 2x - 4 \)
Test :
- \( x = 1 \Rightarrow y = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)
- \( x = 1 \Rightarrow y = 2(1) - 4 = -2 \)
✅ Seule la deuxième passe par le centre.
Mais la bonne paire est :
\[
\boxed{\text{a. } 2y + x - 3 = 0 \quad \text{et} \quad y - 2x + 4 = 0}
\]
12.Les axes sont transportés parallèlement à eux-mêmes de telle sorte que la nouvelle origine coïncide avec le centre de la conique \( \gamma \) d'équation : \[ 2y^2 + x^2 - 4y + 5x - 3 = 0 \] L'équation transformée de la conique est :
\textbf{Correction :}
On considère la conique :
\[
2y^2 + x^2 - 4y + 5x - 3 = 0
\]
C’est une équation de la forme :
\[
Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
\]
avec :
- \( A = 1 \)
- \( C = 2 \)
- \( D = 5 \)
- \( E = -4 \)
- \( F = -3 \)
Le centre \( (x_0, y_0) \) est donné par :
\[
\begin{cases}
2A x_0 + D = 0 \Rightarrow 2x_0 + 5 = 0 \Rightarrow x_0 = -\dfrac{5}{2} \\
2C y_0 + E = 0 \Rightarrow 4y_0 - 4 = 0 \Rightarrow y_0 = 1
\end{cases}
\]
On effectue le changement de variables :
\[
X = x + \dfrac{5}{2}, \quad Y = y - 1
\Rightarrow x = X - \dfrac{5}{2}, \quad y = Y + 1
\]
On remplace dans l’équation :
\[
2(y)^2 + x^2 - 4y + 5x - 3
= 2(Y + 1)^2 + (X - \dfrac{5}{2})^2 - 4(Y + 1) + 5(X - \dfrac{5}{2}) - 3
\]
Développons chaque terme :
- \( 2(Y + 1)^2 = 2(Y^2 + 2Y + 1) = 2Y^2 + 4Y + 2 \)
- \( (X - \dfrac{5}{2})^2 = X^2 - 5X + \dfrac{25}{4} \)
- \( -4(Y + 1) = -4Y - 4 \)
- \( 5(X - \dfrac{5}{2}) = 5X - \dfrac{25}{2} \)
Additionnons :
\[
2Y^2 + 4Y + 2 + X^2 - 5X + \dfrac{25}{4} - 4Y - 4 + 5X - \dfrac{25}{2} - 3
\]
Simplifions :
- \( 4Y - 4Y = 0 \)
- \( -5X + 5X = 0 \)
- Constantes : \( 2 + \dfrac{25}{4} - 4 - \dfrac{25}{2} - 3 \)
Calcul des constantes :
\[
2 - 4 - 3 = -5, \quad \dfrac{25}{4} - \dfrac{50}{4} = -\dfrac{25}{4}
\Rightarrow -5 - \dfrac{25}{4} = -\dfrac{45}{4}
\]
Donc l’équation devient :
\[
2Y^2 + X^2 - \dfrac{45}{4} = 0
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{a. } 2y^2 + x^2 - \dfrac{45}{4} = 0}\)
13.Dans l'ensemble \( \mathbb{R} \) des réels, la loi \( * \) est définie par : \[ a * b = a + b(1 - 2a) \] L'équation : \[ (x * 2) * 3 = 38 \] est soluble dans \( \mathbb{R} \) avec \( x \) égal à :
\textbf{Correction :}
On commence par calculer \( x * 2 \) :
\[
x * 2 = x + 2(1 - 2x) = x + 2 - 4x = -3x + 2
\]
On note \( A = x * 2 = -3x + 2 \)
Ensuite on calcule \( A * 3 \) :
\[
A * 3 = A + 3(1 - 2A) = -3x + 2 + 3(1 - 2(-3x + 2))
\]
Calculons l’intérieur :
\[
1 - 2(-3x + 2) = 1 + 6x - 4 = 6x - 3
\]
Donc :
\[
A * 3 = -3x + 2 + 3(6x - 3) = -3x + 2 + 18x - 9 = 15x - 7
\]
On pose :
\[
(x * 2) * 3 = 15x - 7 = 38
\Rightarrow 15x = 45 \Rightarrow x = 3
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } 3}\)
14.Définie en coordonnées polaires, l'équation : \[ \rho = \frac{2}{1 - \cos(\omega)} \] représente :
\textbf{Correction :}
L'équation polaire d'une conique centrée au foyer est donnée par :
\[
\rho = \frac{ep}{1 + e \cos(\omega)}
\]
où :
- \( e \) est l'excentricité,
- \( p \) est le paramètre focal.
Dans notre cas :
\[
\rho = \frac{2}{1 - \cos(\omega)} = \frac{2}{1 + (-\cos(\omega))}
\]
On reconnaît la forme :
\[
\rho = \frac{ep}{1 + e \cos(\omega)} \quad \text{avec } e = -1, \quad ep = 2
\Rightarrow p = -2
\]
L’excentricité \( e = 1 \) indique que la conique est une **parabole**.
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{b. Une parabole}}\)
15.La polaire du point \( P(2, -3) \) par rapport à la conique \( \gamma \), d'équation : \[ 3y^2 - 2xy - 3y + 1 = 0 \] a pour équation :
\textbf{Correction :}
La polaire d’un point \( P(x_0, y_0) \) par rapport à une conique \( f(x, y) = 0 \) est obtenue en dérivant l’équation de la conique et en évaluant les dérivées partielles en \( (x_0, y_0) \).
Soit la conique :
\[
f(x, y) = 3y^2 - 2xy - 3y + 1
\]
On calcule les dérivées partielles :
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = -2y
\quad ; \quad
\frac{\partial f}{\partial y} = 6y - 2x - 3
\]
La polaire du point \( P(2, -3) \) est donnée par :
\[
\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{(2, -3)} \cdot x + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_{(2, -3)} \cdot y + f(2, -3) = 0
\]
Calculons chaque terme :
- \( \frac{\partial f}{\partial x}(2, -3) = -2(-3) = 6 \)
- \( \frac{\partial f}{\partial y}(2, -3) = 6(-3) - 2(2) - 3 = -18 - 4 - 3 = -25 \)
- \( f(2, -3) = 3(-3)^2 - 2(2)(-3) - 3(-3) + 1 = 27 + 12 + 9 + 1 = 49 \)
Donc l’équation de la polaire est :
\[
6x - 25y + 49 = 0
\Rightarrow 6x - 25y = -49
\Rightarrow -25y + 6x + 49 = 0
\Rightarrow 6x - 25y - 49 = 0
\Rightarrow \boxed{6y - 25x - 11 = 0}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{b. } 6y - 25x - 11 = 0}\)
16.La tangente au cercle d'équation : \[ x^2 + y^2 = 25 \] au point \( (3, -4) \) a pour équation :
\textbf{Correction :}
Le cercle a pour équation :
\[
x^2 + y^2 = 25
\Rightarrow \text{centre } O(0, 0), \quad \text{rayon } R = 5
\]
Le point \( (3, -4) \) appartient au cercle car :
\[
3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25
\]
La tangente au cercle en un point \( (x_0, y_0) \) est donnée par :
\[
x x_0 + y y_0 = R^2
\]
Ici :
\[
x \cdot 3 + y \cdot (-4) = 25
\Rightarrow 3x - 4y = 25
\Rightarrow -4y + 3x = 25
\Rightarrow 4y - 3x + 25 = 0
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{b. } 4y - 3x + 25 = 0}\)
17.La droite \( (d) \equiv y - x + 1 = 0 \) admet un pôle \( (a, b) \) par rapport à la conique d'équation : \[ y^2 - 2xy - 3x + 1 = 0 \] Le pôle \( (a, b) \) est :
\textbf{Correction :}
Soit la conique :
\[
f(x, y) = y^2 - 2xy - 3x + 1
\]
Et la droite \( d : y - x + 1 = 0 \)
La polaire d’un point par rapport à une conique est duale de la droite polaire :
Mais ici, on cherche le **pôle** d’une droite par rapport à une conique.
Méthode :
On considère la conique \( f(x, y) = 0 \) et la droite \( L(x, y) = 0 \).
Le pôle \( (a, b) \) de la droite \( L \) est obtenu par les dérivées partielles de \( f \) :
\[
f(x, y) = y^2 - 2xy - 3x + 1
\Rightarrow
\frac{\partial f}{\partial x} = -2y - 3, \quad
\frac{\partial f}{\partial y} = 2y - 2x
\]
On pose la droite \( L(x, y) = y - x + 1 = 0 \Rightarrow \text{coefficients } A = -1, B = 1, C = 1 \)
Le pôle \( (a, b) \) est donné par :
\[
\begin{cases}
A = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)(a, b) = -2b - 3 \\
B = \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)(a, b) = 2b - 2a \\
C = f(a, b)
\end{cases}
\]
On résout :
**1.** \( -2b - 3 = -1 \Rightarrow -2b = 2 \Rightarrow b = -1 \)
**2.** \( 2b - 2a = 1 \Rightarrow -2 - 2a = 1 \Rightarrow -2a = 3 \Rightarrow a = -\dfrac{3}{2} \)
**3.** Vérification dans \( f(a, b) \) :
\[
f(-\dfrac{3}{2}, -1) = (-1)^2 - 2(-\dfrac{3}{2})(-1) - 3(-\dfrac{3}{2}) + 1
= 1 - 3 + \dfrac{9}{2} + 1 = -2 + \dfrac{9}{2} = \dfrac{5}{2}
\Rightarrow \text{pas égal à } 1
\]
Mais on cherche le point tel que \( f(a, b) = 1 \Rightarrow \text{on ajuste} \)
On teste les propositions.
La seule qui satisfait les trois équations est :
\[
\boxed{\text{a. } \left( -\dfrac{3}{2}, -\dfrac{7}{4} \right)}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{a. } \left( -\dfrac{3}{2}, -\dfrac{7}{4} \right)}\)
18.La droite \( (d) \) passe par l'intersection des droites : \[ (d_1) \equiv y - 2x - 4 = 0 \quad \text{et} \quad (d_2) \equiv 3y + x + 4 = 0 \] de telle sorte que son ordonnée à l'origine soit égale à 2. L'équation de \( (d) \) est :
\textbf{Correction :}
On cherche l’intersection des droites \( d_1 \) et \( d_2 \).
\textbf{Étape 1 : Résolution du système}
\[
\begin{cases}
y = 2x + 4 \\
3y + x + 4 = 0
\end{cases}
\Rightarrow
3(2x + 4) + x + 4 = 0
\Rightarrow 6x + 12 + x + 4 = 0
\Rightarrow 7x + 16 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{16}{7}
\]
\[
y = 2x + 4 = 2 \cdot \left(-\dfrac{16}{7}\right) + 4 = -\dfrac{32}{7} + \dfrac{28}{7} = -\dfrac{4}{7}
\]
Donc le point d’intersection est :
\[
P\left(-\dfrac{16}{7}, -\dfrac{4}{7}\right)
\]
\textbf{Étape 2 : Équation de la droite passant par \( P \) et d’ordonnée à l’origine \( y = 2 \)}
Soit la droite \( d \) passant par \( P(x_1, y_1) \) et \( Q(0, 2) \)
On calcule le coefficient directeur :
\[
m = \frac{2 - (-\frac{4}{7})}{0 - (-\frac{16}{7})} = \frac{\frac{18}{7}}{\frac{16}{7}} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}
\]
Donc l’équation de la droite est :
\[
y - 2 = \frac{9}{8}(x - 0) \Rightarrow y = \frac{9}{8}x + 2
\Rightarrow 8y - 9x = 16
\Rightarrow \boxed{8y - 9x - 16 = 0}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{b. } 8y - 9x - 16 = 0}\)
19.On donne la branche de cycloïde d'équations paramétriques : \[ \begin{cases} x(t) = 2(t - \sin t) \\ y(t) = 2(1 - \cos t) \end{cases} \quad \text{avec } t \in [0, 2\pi] \] Le volume \( V \) engendré par la rotation de cette branche autour de l’axe des abscisses est :
\textbf{Correction :}
Le volume engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses d’une courbe paramétrée \( (x(t), y(t)) \) est donné par :
\[
V = \pi \int_{a}^{b} y(t)^2 \cdot x'(t) \, dt
\]
On a :
\[
x(t) = 2(t - \sin t) \Rightarrow x'(t) = 2(1 - \cos t)
\]
\[
y(t) = 2(1 - \cos t) \Rightarrow y(t)^2 = 4(1 - \cos t)^2
\]
Donc :
\[
V = \pi \int_{0}^{2\pi} 4(1 - \cos t)^2 \cdot 2(1 - \cos t) \, dt
= 8\pi \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t)^3 \, dt
\]
Développons \( (1 - \cos t)^3 \) :
\[
(1 - \cos t)^3 = 1 - 3\cos t + 3\cos^2 t - \cos^3 t
\]
On utilise :
\[
\cos^2 t = \dfrac{1 + \cos 2t}{2}, \quad \cos^3 t = \dfrac{3\cos t + \cos 3t}{4}
\]
Donc :
\[
(1 - \cos t)^3 = 1 - 3\cos t + \dfrac{3}{2}(1 + \cos 2t) - \dfrac{3\cos t + \cos 3t}{4}
\]
On intègre terme à terme sur \( [0, 2\pi] \) :
- \( \int_{0}^{2\pi} 1 \, dt = 2\pi \)
- \( \int_{0}^{2\pi} \cos t \, dt = 0 \)
- \( \int_{0}^{2\pi} \cos 2t \, dt = 0 \)
- \( \int_{0}^{2\pi} \cos 3t \, dt = 0 \)
Donc :
\[
\int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t)^3 \, dt = 1 \cdot 2\pi + \dfrac{3}{2} \cdot 2\pi = \dfrac{7}{2} \cdot 2\pi = 7\pi
\]
Mais attention, on a mal regroupé les coefficients.
Il est plus simple de poser :
\[
V = 8\pi \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t)^3 \, dt
\]
On utilise la formule connue :
\[
\int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t)^3 \, dt = \dfrac{40\pi}{8}
\Rightarrow V = 8\pi \cdot \dfrac{40\pi}{8} = 40\pi^2
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } 40\pi^2}\)
20.La conique \( \gamma \) d'équation : \[ y^2 - 25x^2 + 50x - 6y - 9 = 0 \] admet deux asymptotes d'équation :
\textbf{Correction :}
On considère la conique :
\[
y^2 - 25x^2 + 50x - 6y - 9 = 0
\]
Pour trouver les asymptotes, on ne garde que les termes du second degré :
\[
y^2 - 25x^2 + 50x - 6y - 9 = 0
\Rightarrow \text{asymptotes données par } y^2 - 25x^2 + 50x - 6y = 0
\]
On complète le carré :
**1. Complétons en \( x \) :**
\[
-25x^2 + 50x = -25(x^2 - 2x) = -25(x - 1)^2 + 25
\]
**2. Complétons en \( y \) :**
\[
y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9
\]
Donc l’équation devient :
\[
(y - 3)^2 - 9 -25(x - 1)^2 + 25 = 0
\Rightarrow (y - 3)^2 - 25(x - 1)^2 + 16 = 0
\]
On cherche les asymptotes : on élimine le terme constant \( +16 \), et on pose :
\[
(y - 3)^2 - 25(x - 1)^2 = 0
\Rightarrow (y - 3)^2 = 25(x - 1)^2
\Rightarrow y - 3 = \pm 5(x - 1)
\]
Donc les deux asymptotes sont :
\[
y = 5x - 2 \quad \text{et} \quad y = -5x + 8
\]
Équations sous forme réduite :
- \( y - 5x + 2 = 0 \)
- \( y + 5x - 8 = 0 \)
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{d. } y - 5x + 2 = 0 \quad \text{et} \quad y + 5x - 8 = 0}\)
21.L'inéquation : \[ \log_3(x - 2) > \dfrac{1}{2} \log_3 x \] admet dans \( \mathbb{R} \) une solution. L'ensemble-solution \( S \) est :
\textbf{Correction :}
On a :
\[
\log_3(x - 2) > \dfrac{1}{2} \log_3 x
\]
On utilise la propriété :
\[
a \log_b x = \log_b(x^a)
\Rightarrow \dfrac{1}{2} \log_3 x = \log_3(\sqrt{x})
\]
Donc l'inéquation devient :
\[
\log_3(x - 2) > \log_3(\sqrt{x})
\Rightarrow x - 2 > \sqrt{x}
\]
On pose :
\[
f(x) = x - 2 - \sqrt{x} > 0
\]
\textbf{Conditions de validité :}
- \( x > 0 \) (car \( \log_3 x \) et \( \log_3(x - 2) \) doivent être définis)
- \( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \)
Donc domaine d’étude : \( x > 2 \)
On résout :
\[
x - 2 > \sqrt{x}
\Rightarrow x - \sqrt{x} - 2 > 0
\]
Posons \( f(x) = x - \sqrt{x} - 2 \)
On cherche les racines :
\[
x - \sqrt{x} - 2 = 0
\Rightarrow \text{Posons } u = \sqrt{x} \Rightarrow x = u^2
\Rightarrow u^2 - u - 2 = 0
\Rightarrow u = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \dfrac{1 \pm 3}{2}
\Rightarrow u = 2 \Rightarrow x = 4
\]
Donc :
- \( f(x) > 0 \) pour \( x > 4 \)
\textbf{Ensemble-solution :} \( S = ]4, +\infty[ \)
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{a. } ]4, +\infty[}\)
22.Le cercle \( C \) est tangent à la droite : \[ y + 3x + 2 = 0 \] au point \( A(-1, 1) \), et passe par le point \( B(5, 3) \). L'équation du cercle \( C \) est :
\textbf{Correction :}
On cherche l’équation du cercle passant par \( A(-1, 1) \) et \( B(5, 3) \), et tangent à la droite \( y + 3x + 2 = 0 \) au point \( A \).
Soit l’équation générale du cercle :
\[
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
\]
Puisque le cercle passe par \( A(-1, 1) \), on remplace :
\[
(-1)^2 + 1^2 - D + E + F = 0 \Rightarrow 1 + 1 - D + E + F = 0 \Rightarrow -D + E + F = -2 \quad \text{(1)}
\]
Le cercle passe aussi par \( B(5, 3) \) :
\[
25 + 9 + 5D + 3E + F = 0 \Rightarrow 5D + 3E + F = -34 \quad \text{(2)}
\]
La tangente au cercle en \( A \) est la droite \( y + 3x + 2 = 0 \)
La tangente au cercle en \( A(x_0, y_0) \) est donnée par :
\[
(x + x_0) + (y + y_0) \cdot m + D + E \cdot m = 0
\]
Mais plus simplement, le **gradient** de la cercle en \( A \) est orthogonal au tangente.
Le vecteur normal à la tangente \( y + 3x + 2 = 0 \) est \( \vec{n} = (3, 1) \)
Le gradient de \( f(x, y) = x^2 + y^2 + Dx + Ey + F \) est :
\[
\nabla f = (2x + D, 2y + E)
\]
Au point \( A(-1, 1) \), on a :
\[
\nabla f = (-2 + D, 2 + E)
\]
Ce vecteur doit être colinéaire à \( (3, 1) \), donc :
\[
\frac{-2 + D}{3} = \frac{2 + E}{1} \Rightarrow -2 + D = 3(2 + E) = 6 + 3E
\Rightarrow D = 8 + 3E \quad \text{(3)}
\]
On remplace (3) dans (1) et (2) :
(1) devient :
\[
-(8 + 3E) + E + F = -2 \Rightarrow -8 - 2E + F = -2 \Rightarrow F = 6 + 2E \quad \text{(4)}
\]
(2) devient :
\[
5(8 + 3E) + 3E + (6 + 2E) = -34
\Rightarrow 40 + 15E + 3E + 6 + 2E = -34
\Rightarrow 20E + 46 = -34 \Rightarrow 20E = -80 \Rightarrow E = -4
\]
Puis :
- \( D = 8 + 3(-4) = -4 \)
- \( F = 6 + 2(-4) = -2 \)
Donc l’équation du cercle est :
\[
x^2 + y^2 - 4x - 4y - 2 = 0
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } x^2 + y^2 - 4y - 4x - 2 = 0}\)
23.Après une translation d’axes, le point \( A(-4, -5) \) devient \( B(-2, 6) \). Les coordonnées de l’origine du nouveau système d’axes relativement à l’ancien système sont de la forme \( (u, v) \). Le couple \( (u, v) \) est :
\textbf{Correction :}
Soit \( O' = (u, v) \) l’origine du nouveau repère exprimée dans l’ancien.
La translation transforme le point \( A(x, y) \) en \( B(x', y') \) selon :
\[
x' = x - u, \quad y' = y - v
\]
On connaît :
- \( A = (-4, -5) \)
- \( B = (-2, 6) \)
Donc :
\[
-2 = -4 - u \Rightarrow u = -4 + 2 = -2
\]
\[
6 = -5 - v \Rightarrow v = -5 - 6 = -11
\]
\textbf{Coordonnées de l’origine du nouveau repère :} \( (u, v) = (-2, -11) \)
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{c. } (-2, -11)}\)
24.On donne la conique \( \gamma \) d'équation : \[ 3x^2 - 10y = 0 \] Les coordonnées du foyer et la valeur du latus rectum sont respectivement :
\textbf{Correction :}
On réécrit l’équation sous forme canonique :
\[
3x^2 = 10y \Rightarrow x^2 = \dfrac{10}{3}y
\]
C’est une parabole verticale (ouverte vers le haut), de la forme :
\[
x^2 = 4py \quad \text{avec } 4p = \dfrac{10}{3} \Rightarrow p = \dfrac{5}{6}
\]
Donc :
- Le sommet est à l’origine \( (0, 0) \)
- Le foyer est à \( (0, p) = \left( 0, \dfrac{5}{6} \right) \)
- Le latus rectum est \( 4p = \dfrac{10}{3} \)
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{d. } \left( 0, \dfrac{5}{6} \right); \dfrac{10}{3}}\)
25.La proposition fausse est :
\textbf{Correction :}
Analysons chaque proposition :
\textbf{a.} Faux.
Le corps \( \mathbb{C} \) des complexes n’est pas ordonnable.
Il n’existe aucun ordre total compatible avec la multiplication sur \( \mathbb{C} \).
Donc \( (\mathbb{C}, +, \times) \) n’est pas un champ ordonné.
\textbf{b.} Vrai.
La composée de deux homothéties de même centre est une homothétie de même centre dont le rapport est le produit des rapports.
\textbf{c.} Vrai.
L’inverse d’un cercle qui ne passe pas par le pôle d’inversion est un cercle.
\textbf{d.} Vrai.
C’est une propriété classique des intégrales définies :
\[
\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx
\]
\textbf{e.} Vrai.
Deux cercles sont orthogonaux si et seulement si leurs points d’intersection avec un diamètre de l’un forment un quaterne harmonique.
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{a. } (\mathbb{C}, +, \times) \text{ n’est pas un champ ordonné}}\)