Question 1
1. Un mobile part du repos et atteint une vitesse de \(54\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}\) après \(5\,\text{s}\). Son accélération vaut (en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\)) :
Consignes : prendre \(C=3{,}0\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(g=10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Réponse : \(3\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\), option b.
Le mobile part du repos, donc \(v_{0}=0\). La vitesse finale est \(54\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}\). On la convertit en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) :
\[
54\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}=\dfrac{54\,000}{3\,600}=15\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
\]
On suppose un mouvement rectiligne uniformément accéléré, donc
\[
a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{v-v_{0}}{t}=\dfrac{15-0}{5}=3\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.
\]
L’accélération vaut donc \(3\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\), ce qui correspond à l’option b.
2. En élevant un livre de \(3\,\text{kg}\) du sol jusqu’à une hauteur de \(2\,\text{m}\), le travail fourni vaut :
Consignes : prendre \(C=3{,}0\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(g=10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Réponse : \(60\,\text{J}\), option d.
Le travail du poids (ou du champ de pesanteur) pour élever une masse \(m\) d’une hauteur \(h\) vaut
\[
W=mgh.
\]
On a \(m=3\,\text{kg}\), \(g=10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\), \(h=2\,\text{m}\). Donc
\[
W=3\times 10\times 2=60\,\text{J}.
\]
Le travail fourni est donc \(60\,\text{J}\), ce qui correspond à l’option d.
3. Un cheval a une puissance de \(736\,\text{W}\) quand il tire un chariot avec une force de \(250\,\text{N}\). La vitesse du chariot vaut (en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)) :
Consignes : prendre \(C=3{,}0\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(g=10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Réponse : \(2{,}9\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), option a.
La puissance mécanique à vitesse constante est
\[
P=Fv,
\]
où \(F\) est la force et \(v\) la vitesse. On en déduit
\[
v=\dfrac{P}{F}=\dfrac{736}{250}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
\]
On calcule
\[
\dfrac{736}{250}=2{,}944\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\approx 2{,}9\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
\]
La vitesse du chariot est donc d’environ \(2{,}9\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), ce qui correspond à l’option a.
4. Une quantité de matière approximativement égale à \(3\times 10^{9}\,\text{kg}\) est transformée en énergie dans le soleil chaque seconde. La puissance dépensée par le soleil vaut :
Consignes : prendre \(C=3{,}0\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(g=10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Réponse : \(2{,}7\times 10^{26}\,\text{W}\), option c.
Chaque seconde, une masse \(\Delta m=3\times 10^{9}\,\text{kg}\) est transformée en énergie.
L’énergie correspondante est donnée par
\[
E=\Delta mc^{2},
\]
avec \(c=3\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
La puissance (énergie par unité de temps) vaut donc
\[
P=\dfrac{E}{\Delta t}=\Delta mc^{2}
=3\times 10^{9}\times (3\times 10^{8})^{2}.
\]
On calcule
\[
(3\times 10^{8})^{2}=9\times 10^{16},
\]
donc
\[
P=3\times 10^{9}\times 9\times 10^{16}
=27\times 10^{25}
=2{,}7\times 10^{26}\,\text{W}.
\]
La puissance dépensée par le soleil vaut donc \(2{,}7\times 10^{26}\,\text{W}\), ce qui correspond à l’option c.
5. La période d’un pendule simple de longueur \(30\,\text{cm}\), en un lieu où l’accélération de la pesanteur est de \(9{,}8\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\), vaut :
Consignes : prendre \(C=3{,}0\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(g=10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Réponse : environ \(1{,}2\,\text{s}\), option e.
Pour un pendule simple de longueur \(L\), la période est
\[
T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.
\]
On a \(L=30\,\text{cm}=0{,}30\,\text{m}\) et \(g=9{,}8\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Donc
\[
T=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}30}{9{,}8}}
=2\pi\sqrt{0{,}03061\ldots}.
\]
On évalue
\[
\sqrt{0{,}03061}\approx 0{,}175,
\]
puis
\[
T\approx 2\pi\times 0{,}175\approx 1{,}10\,\text{s}.
\]
La valeur la plus proche parmi les propositions est \(1{,}2\,\text{s}\), ce qui correspond à l’option e.
6. Une force de \(8\,\text{N}\) agit sur une particule de \(4\,\text{kg}\). La particule étant immobile au départ, le travail effectué par la force pendant les trois premières secondes vaut :
Consignes : prendre \(C=3{,}0\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(g=10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Réponse : \(72\,\text{J}\), option b.
La force constante \(F=8\,\text{N}\) agit sur une masse \(m=4\,\text{kg}\).
L’accélération est
\[
a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{8}{4}=2\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.
\]
La particule part du repos, donc \(v_{0}=0\). En mouvement rectiligne uniformément accéléré, la position après un temps \(t\) est
\[
x(t)=\dfrac{1}{2}at^{2}.
\]
Pour \(t=3\,\text{s}\),
\[
x(3)=\dfrac{1}{2}\times 2\times 3^{2}=1\times 9=9\,\text{m}.
\]
Le travail de la force constante est
\[
W=F\cdot d=8\times 9=72\,\text{J}.
\]
Le travail effectué pendant les trois premières secondes vaut donc \(72\,\text{J}\), ce qui correspond à l’option b.
