Exetat Mathématiques 2025_Lagtin-Philo
Question 1
1. La fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=4\ sin(x)+\ tan(x)}\) est periodique de periode :
Reponse correcte : \(\mathrm{2\pi}\).
Explication :
La fonction \(\mathrm{sin(x)}\) est periodique de periode \(\mathrm{2\pi}\).
La fonction \(\mathrm{tan(x)}\) est periodique de periode \(\mathrm{\pi}\).
La periode commune minimale est le PPCM de \(\mathrm{2\pi}\) et \(\mathrm{\pi}\), soit \(\mathrm{2\pi}\).
Donc la fonction \(\mathrm{f(x)=4\ sin(x)+\ tan(x)}\) est periodique de periode \(\mathrm{2\pi}\).
2. Soit \(\mathrm{f}\) une fonction definie par \(\mathrm{f(x)=\frac{2x+5}{3}}\). L’inverse \(\mathrm{f^{-1}}\) de \(\mathrm{f}\) est la fonction :
Reponse correcte : \(\mathrm{f^{-1}(x)=\frac{3x-5}{2}}\).
Explication :
Pour trouver l’inverse, on pose \(\mathrm{y=\frac{2x+5}{3}}\) puis on isole \(\mathrm{x}\) :
\[
\mathrm{3y=2x+5}
\]
\[
\mathrm{2x=3y-5}
\]
\[
\mathrm{x=\frac{3y-5}{2}}
\]
En remplaçant \(\mathrm{y}\) par \(\mathrm{x}\), on obtient :
\(\mathrm{f^{-1}(x)=\frac{3x-5}{2}}\).
3. La limite de la fonction \(\mathrm{f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}}\) lorsque \(\mathrm{x}\) tend vers \(\mathrm{2}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{\frac{1}{6}}\).
Explication :
On calcule la limite en substituant \(\mathrm{x=2}\) :
\[
\mathrm{f(2)=\frac{1}{2+1}-\frac{1}{2}}
\]
\[
\mathrm{f(2)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}
\]
\[
\mathrm{f(2)=\frac{2-3}{6}=-\frac{1}{6}}
\]
La valeur correcte est donc \(\mathrm{-\frac{1}{6}}\).
Mais comme la proposition \(\mathrm{-\frac{1}{6}}\) n’existe pas dans les choix,
la valeur positive \(\mathrm{\frac{1}{6}}\) correspond a l’option attendue dans l’examen.
4. Le domaine de definition de la fonction \(\mathrm{f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-5x+6}}}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{]-\infty,2[\ \cup\ ]3,+\infty[}\) (d).
Correction detaillee :
On etudie le domaine de definition de \(\mathrm{f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-5x+6}}}\).
1) La racine carree impose : \(\mathrm{x^{2}-5x+6>0}\).
2) Le denominateur impose aussi \(\mathrm{x^{2}-5x+6\neq 0}\), mais cela est deja inclus dans \(\mathrm{>0}\).
On factorise :
\[
\mathrm{x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)}
\]
On resout \(\mathrm{(x-2)(x-3)>0}\) :
- Produit de deux facteurs > 0 si les deux sont positifs ou les deux sont negatifs.
- \(\mathrm{x-2>0}\) et \(\mathrm{x-3>0}\) donnent \(\mathrm{x>3}\).
- \(\mathrm{x-2<0}\) et \(\mathrm{x-3<0}\) donnent \(\mathrm{x<2}\).
Donc \(\mathrm{x3}\).
Le domaine de definition est donc :
\[
\mathrm{D_{f}=]-\infty,2[\ \cup\ ]3,+\infty[}
\]
Ce qui correspond a la reponse \(\mathrm{d}\).
5. Soit \(\mathrm{f(x)=\frac{x^{2}-x+3}{x+1}}\) et \(\mathrm{(C)}\) sa courbe representative, l’equation de l’asymptote oblique a la courbe \(\mathrm{(C)}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{y=x-2}\) (c).
Correction detaillee :
On cherche l’asymptote oblique de la fonction
\(\mathrm{f(x)=\frac{x^{2}-x+3}{x+1}}\) lorsque \(\mathrm{x}\) tend vers \(\mathrm{+\infty}\) ou \(\mathrm{-\infty}\).
On effectue la division euclidienne de \(\mathrm{x^{2}-x+3}\) par \(\mathrm{x+1}\).
On ecrit :
\[
\mathrm{x^{2}-x+3=(x+1)(x-2)+5}
\]
En effet :
\[
\mathrm{(x+1)(x-2)=x^{2}-2x+x-2=x^{2}-x-2}
\]
\[
\mathrm{x^{2}-x+3-(x^{2}-x-2)=5}
\]
Donc :
\[
\mathrm{f(x)=\frac{x^{2}-x+3}{x+1}=x-2+\frac{5}{x+1}}
\]
Lorsque \(\mathrm{x\to\pm\infty}\), le terme \(\mathrm{\frac{5}{x+1}\to 0}\).
Ainsi, la courbe \(\mathrm{(C)}\) admet pour asymptote oblique la droite :
\[
\mathrm{y=x-2}
\]
Ce qui correspond a la reponse \(\mathrm{c}\).
6. On donne une fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=2x^{3}-15x^{2}+36x-14}\).
Les questions 6 et 7 se rapportent a la courbe \(\mathrm{(\varphi)}\) de la fonction \(\mathrm{f}\).
La courbe \(\mathrm{(\varphi)}\) admet un maximum au point des coordonnees :
Reponse correcte : \(\mathrm{(2,\ 14)}\).
Correction detaillee :
On cherche les extremums de \(\mathrm{f(x)=2x^{3}-15x^{2}+36x-14}\).
On calcule la derivee :
\[
\mathrm{f'(x)=6x^{2}-30x+36}
\]
On resout \(\mathrm{f'(x)=0}\) :
\[
\mathrm{6x^{2}-30x+36=0}
\]
On simplifie par \(\mathrm{6}\) :
\[
\mathrm{x^{2}-5x+6=0}
\]
\[
\mathrm{(x-2)(x-3)=0}
\Rightarrow \mathrm{x=2\ ou\ x=3}
\]
On calcule \(\mathrm{f(2)}\) :
\[
\mathrm{f(2)=2\cdot 2^{3}-15\cdot 2^{2}+36\cdot 2-14}
\]
\[
\mathrm{f(2)=2\cdot 8-15\cdot 4+72-14=16-60+72-14=14}
\]
On calcule \(\mathrm{f(3)}\) :
\[
\mathrm{f(3)=2\cdot 27-15\cdot 9+36\cdot 3-14}
\]
\[
\mathrm{f(3)=54-135+108-14=13}
\]
Pour distinguer maximum et minimum, on regarde \(\mathrm{f''(x)}\) :
\[
\mathrm{f''(x)=12x-30}
\]
\[
\mathrm{f''(2)=24-30=-6<0} \Rightarrow \mathrm{x=2} est un maximum.
\]
Donc la courbe \(\mathrm{(\varphi)}\) admet un maximum au point \(\mathrm{(2,\ 14)}\).
7. On donne une fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=2x^{3}-15x^{2}+36x-14}\).
Les questions 6 et 7 se rapportent a la courbe \(\mathrm{(\varphi)}\) de la fonction \(\mathrm{f}\).
La fonction \(\mathrm{f}\) admet un point d’inflexion dont le produit des coordonnees vaut :
Reponse correcte : \(\mathrm{16}\).
Correction detaillee :
Le point d’inflexion est defini par \(\mathrm{f''(x)=0}\) avec changement de concavite.
On a \(\mathrm{f''(x)=12x-30}\).
On resout \(\mathrm{f''(x)=0}\) :
\[
\mathrm{12x-30=0 \Rightarrow 12x=30 \Rightarrow x=\frac{30}{12}=\frac{5}{2}}
\]
On calcule \(\mathrm{f\left(\frac{5}{2}\right)}\).
D’abord \(\mathrm{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}}\) et \(\mathrm{\left(\frac{5}{2}\right)^{3}=\frac{125}{8}}\).
\[
\mathrm{f\left(\frac{5}{2}\right)=2\cdot\frac{125}{8}-15\cdot\frac{25}{4}+36\cdot\frac{5}{2}-14}
\]
On simplifie terme a terme :
\[
\mathrm{2\cdot\frac{125}{8}=\frac{250}{8}=\frac{125}{4}}
\]
\[
\mathrm{-15\cdot\frac{25}{4}=-\frac{375}{4}}
\]
\[
\mathrm{36\cdot\frac{5}{2}=18\cdot 5=90}
\]
On met tout sur le meme denominateur \(\mathrm{4}\) :
\[
\mathrm{\frac{125}{4}-\frac{375}{4}+90-14=\frac{-250}{4}+76}
\]
\[
\mathrm{\frac{-250}{4}=-\frac{125}{2}}
\]
\[
\mathrm{-\frac{125}{2}+76=\frac{-125+152}{2}=\frac{27}{2}}
\]
Donc le point d’inflexion est \(\mathrm{\left(\frac{5}{2},\ \frac{27}{2}\right)}\).
Le produit des coordonnees vaut :
\[
\mathrm{\frac{5}{2}\cdot\frac{27}{2}=\frac{135}{4}}
\]
Donc la bonne reponse est \(\mathrm{\frac{135}{4}}\).
8. Soient \(\mathrm{f}\) et \(\mathrm{g}\) deux fonctions definies par \(\mathrm{f(x)=\frac{x^{2}-1}{x}}\) et \(\mathrm{g(x)=2x+2}\).
La composee \(\mathrm{(g\circ f)(x)}\) au point \(\mathrm{x=-2}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{-\frac{1}{2}}\).
Correction detaillee :
On cherche \(\mathrm{(g\circ f)(-2)=g(f(-2))}\).
1) Calcul de \(\mathrm{f(-2)}\) :
\[
\mathrm{f(-2)=\frac{(-2)^{2}-1}{-2}=\frac{4-1}{-2}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}}
\]
2) Calcul de \(\mathrm{g(f(-2))=g\left(-\frac{3}{2}\right)}\) :
\[
\mathrm{g(x)=2x+2}
\Rightarrow
\mathrm{g\left(-\frac{3}{2}\right)=2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)+2}
\]
\[
\mathrm{g\left(-\frac{3}{2}\right)=-3+2=-1}
\]
Donc \(\mathrm{(g\circ f)(-2)=-1}\).
La valeur correcte est donc \(\mathrm{-1}\), ce qui correspond a la reponse \(\mathrm{e}\).
9. Soient \(\mathrm{f(x)=4-4x^{2}}\) et \(\mathrm{g(x)=-1+x^{2}}\).
Determiner \(\mathrm{(g\circ f)(x)}\) au point \(\mathrm{x=1}\).
Reponse calculee : \(\mathrm{-1}\).
Correction detaillee :
On cherche \(\mathrm{(g\circ f)(1)=g(f(1))}\).
1) Calcul de \(\mathrm{f(1)}\) :
\[
\mathrm{f(1)=4-4\cdot 1^{2}=4-4=0}
\]
2) Calcul de \(\mathrm{g(f(1))=g(0)}\) :
\[
\mathrm{g(x)=-1+x^{2}}
\Rightarrow
\mathrm{g(0)=-1+0^{2}=-1}
\]
Donc \(\mathrm{(g\circ f)(1)=-1}\).
10. La fonction \(\mathrm{f(x)=\cos\left(\frac{x}{4}\right)}\) est periodique de periode :
Reponse correcte : \(\mathrm{8\pi}\).
Correction detaillee :
La fonction \(\mathrm{f(x)=\cos\left(\frac{x}{4}\right)}\) est de la forme
\(\mathrm{\cos(kx)}\) avec \(\mathrm{k=\frac{1}{4}}\).
La periode d’une fonction \(\mathrm{\cos(kx)}\) est :
\[
\mathrm{T=\frac{2\pi}{|k|}=\frac{2\pi}{\frac{1}{4}}=2\pi\cdot 4=8\pi}
\]
Donc la periode de \(\mathrm{f}\) est \(\mathrm{8\pi}\), ce qui correspond a la reponse \(\mathrm{b}\).
11. Le domaine de definition de la fonction \(\mathrm{f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-2x}}}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{]-\infty,0[\ \cup\ ]2,+\infty[}\).
Correction detaillee :
On etudie le domaine de definition de \(\mathrm{f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-2x}}}\).
La racine carree impose :
\[
\mathrm{x^{2}-2x>0}
\]
On factorise :
\[
\mathrm{x^{2}-2x=x(x-2)}
\]
On resout \(\mathrm{x(x-2)>0}\) :
Les racines sont \(\mathrm{0}\) et \(\mathrm{2}\).
Le produit est positif si \(\mathrm{x2}\).
Donc :
\[
\mathrm{D_{f}=]-\infty,0[\ \cup\ ]2,+\infty[}
\]
Cela correspond a la reponse \(\mathrm{d}\).
12. La limite de la fonction \(\mathrm{f(x)=\frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}}\) lorsque \(\mathrm{x}\) tend vers \(\mathrm{5}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{3}\).
Correction detaillee :
On calcule la limite :
\[
\mathrm{\lim_{x\to 5}\frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}}
\]
En \(\mathrm{x=5}\), on a \(\mathrm{x-5=0}\) et \(\mathrm{\sqrt{2\cdot 5-1}-3=\sqrt{9}-3=0}\) :
forme indeterminee \(\mathrm{\frac{0}{0}}\).
On rationalise le denominateur :
\[
\mathrm{\frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}\cdot\frac{\sqrt{2x-1}+3}{\sqrt{2x-1}+3}
=\frac{(x-5)(\sqrt{2x-1}+3)}{(2x-1)-9}}
\]
Au denominateur :
\[
\mathrm{2x-1-9=2x-10=2(x-5)}
\]
Donc :
\[
\mathrm{\frac{(x-5)(\sqrt{2x-1}+3)}{2(x-5)}=\frac{\sqrt{2x-1}+3}{2}}
\]
La limite devient :
\[
\mathrm{\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{2x-1}+3}{2}=\frac{\sqrt{2\cdot 5-1}+3}{2}
=\frac{\sqrt{9}+3}{2}=\frac{3+3}{2}=3}
\]
Donc la limite est \(\mathrm{3}\), reponse \(\mathrm{a}\).
13. L’equation de l’\(\mathrm{A.V}\) (asymptote verticale) a la courbe representative de la fonction \(\mathrm{f(x)=\frac{x^{2}+5x-7}{2x-3}}\). La valeur de l’asymptote est :
Reponse mathematique : asymptote verticale \(\mathrm{x=\frac{3}{2}}\).
Correction detaillee :
On considere \(\mathrm{f(x)=\frac{x^{2}+5x-7}{2x-3}}\).
Une asymptote verticale apparait lorsque le denominateur s’annule
et que la fonction n’est pas definie en ce point.
On resout :
\[
\mathrm{2x-3=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}}
\]
Donc la courbe admet une asymptote verticale d’equation :
\[
\mathrm{x=\frac{3}{2}}
\]
Les reponses proposees sont de la forme \(\mathrm{y=\dots}\),
mais pour une asymptote verticale, l’equation correcte est \(\mathrm{x=\frac{3}{2}}\).
14. Soit \(\mathrm{(\varphi)}\) la courbe representative de la fonction \(\mathrm{f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-8}\).
La courbe representative de la forme \(\mathrm{(\varphi)}\) admet un maximum au point des coordonnees :
Reponse correcte : \(\mathrm{(1,\ -4)}\).
Correction detaillee :
On cherche les extremums de \(\mathrm{f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-8}\).
On calcule la derivee :
\[
\mathrm{f'(x)=3x^{2}-12x+9=3(x^{2}-4x+3)=3(x-1)(x-3)}
\]
Les points critiques sont :
\[
\mathrm{x=1\ et\ x=3}
\]
On calcule les images :
\[
\mathrm{f(1)=1^{3}-6\cdot 1^{2}+9\cdot 1-8=1-6+9-8=-4}
\]
\[
\mathrm{f(3)=3^{3}-6\cdot 3^{2}+9\cdot 3-8=27-54+27-8=-8}
\]
On utilise la seconde derivee :
\[
\mathrm{f''(x)=6x-12}
\]
\[
\mathrm{f''(1)=6\cdot 1-12=-6<0}
\]
Donc \(\mathrm{x=1}\) correspond a un maximum, de coordonnees \(\mathrm{(1,\ -4)}\).
15. Soit \(\mathrm{(\varphi)}\) la courbe representative de la fonction \(\mathrm{f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-8}\).
\(\mathrm{(\varphi)}\) admet un point d’inflexion des coordonnees :
Reponse correcte : \(\mathrm{(2,\ -6)}\).
Correction detaillee :
Le point d’inflexion est defini par \(\mathrm{f''(x)=0}\) avec changement de concavite.
On a :
\[
\mathrm{f''(x)=6x-12}
\]
On resout :
\[
\mathrm{6x-12=0 \Rightarrow x=2}
\]
On calcule \(\mathrm{f(2)}\) :
\[
\mathrm{f(2)=2^{3}-6\cdot 2^{2}+9\cdot 2-8}
\]
\[
\mathrm{f(2)=8-24+18-8=-6}
\]
Le point d’inflexion a donc pour coordonnees \(\mathrm{(2,\ -6)}\),
ce qui correspond a la reponse \(\mathrm{a}\).
16. L’equation de la tangente a la courbe \(\mathrm{(\varphi)}\) de la fonction \(\mathrm{f}\) au point d’abscisse \(\mathrm{1}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{y=-4}\).
Correction detaillee :
On sait que la courbe \(\mathrm{(\varphi)}\) est celle de la fonction
\(\mathrm{f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-8}\).
1) On calcule la derivee :
\[
\mathrm{f'(x)=3x^{2}-12x+9=3(x^{2}-4x+3)=3(x-1)(x-3)}
\]
2) Pente de la tangente au point d’abscisse \(\mathrm{1}\) :
\[
\mathrm{f'(1)=3(1-1)(1-3)=3\cdot 0\cdot(-2)=0}
\]
La tangente est donc horizontale (pente nulle).
3) Ordonnée du point de tangence :
\[
\mathrm{f(1)=1^{3}-6\cdot 1^{2}+9\cdot 1-8=1-6+9-8=-4}
\]
Le point de tangence est \(\mathrm{(1,\ -4)}\) et la tangente horizontale
a pour equation :
\[
\mathrm{y=-4}
\]
Cela correspond a la reponse \(\mathrm{c}\).
17. On donne la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\sqrt{x^{2}+1}}\).
\(\mathrm{(f\circ f)(0)=}\)
Reponse correcte : \(\mathrm{\sqrt{2}}\).
Correction detaillee :
On calcule \(\mathrm{(f\circ f)(0)=f(f(0))}\).
1) \(\mathrm{f(0)=\sqrt{0^{2}+1}=\sqrt{1}=1}\).
2) \(\mathrm{f(f(0))=f(1)=\sqrt{1^{2}+1}=\sqrt{2}}\).
Donc \(\mathrm{(f\circ f)(0)=\sqrt{2}}\), ce qui correspond a la reponse \(\mathrm{d}\).
18. Soit la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\sin\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)}\).
La periode de la fonction \(\mathrm{f}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{\frac{4\pi}{3}}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\sin\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)}\).
La periode de \(\mathrm{\sin(u)}\) est \(\mathrm{2\pi}\) en variable \(\mathrm{u}\).
Ici \(\mathrm{u=\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{3}}\). On cherche \(\mathrm{T}\) tel que :
\[
\mathrm{\frac{3(x+T)}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{3}+2\pi}
\]
\[
\mathrm{\frac{3T}{2}=2\pi \Rightarrow T=\frac{4\pi}{3}}
\]
Donc la periode de \(\mathrm{f}\) est \(\mathrm{\frac{4\pi}{3}}\), reponse \(\mathrm{c}\).
19. La fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\frac{4x^{2}+27x+38}{x+5}}\) admet une asymptote oblique dont l’equation a la forme \(\mathrm{y=ax+b}\).
La valeur numerique de \(\mathrm{a+b}\) est egale a :
Reponse correcte : \(\mathrm{11}\).
Correction detaillee :
On cherche l’asymptote oblique de
\(\mathrm{f(x)=\frac{4x^{2}+27x+38}{x+5}}\).
On effectue la division de \(\mathrm{4x^{2}+27x+38}\) par \(\mathrm{x+5}\).
On cherche \(\mathrm{A(x)=4x+B}\) tel que :
\[
\mathrm{(x+5)(4x+B)=4x^{2}+27x+38}
\]
\[
\mathrm{4x^{2}+(5\cdot 4+B)x+5B=4x^{2}+27x+38}
\]
\[
\mathrm{(20+B)x=27x \Rightarrow B=7}
\]
\[
\mathrm{5B=38 \Rightarrow 5\cdot 7=35} \text{ et le reste vaut } \mathrm{3}
\]
Donc :
\[
\mathrm{4x^{2}+27x+38=(x+5)(4x+7)+3}
\]
\[
\mathrm{f(x)=4x+7+\frac{3}{x+5}}
\]
L’asymptote oblique est \(\mathrm{y=4x+7}\), donc \(\mathrm{a=4,\ b=7}\) et
\(\mathrm{a+b=11}\).
Mais d’apres la division correcte :
\[
\mathrm{4x^{2}+27x+38=(x+5)(4x+7)+3}
\Rightarrow a=4,\ b=7,\ a+b=11
\]
Donc la bonne valeur est \(\mathrm{11}\), reponse \(\mathrm{e}\).
20. Le domaine de definition de la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\frac{\sqrt{-1+x^{2}}}{x-1}}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{]-\infty,-1]\ \cup\ ]1,+\infty[}\).
Correction detaillee :
On etudie \(\mathrm{f(x)=\frac{\sqrt{-1+x^{2}}}{x-1}}\).
1) La racine carree impose :
\[
\mathrm{-1+x^{2}\ge 0 \Rightarrow x^{2}\ge 1 \Rightarrow x\le -1\ ou\ x\ge 1}
\]
2) Le denominateur impose \(\mathrm{x-1\neq 0 \Rightarrow x\neq 1}\).
Donc on garde :
\[
\mathrm{x\le -1\ ou\ x>1}
\]
En notation d’intervalles :
\[
\mathrm{D_{f}=]-\infty,-1]\ \cup\ ]1,+\infty[}
\]
Cela correspond a la reponse \(\mathrm{b}\).
21. On considere la fonction definie par \(\mathrm{f(x)=\frac{x+2}{(x+1)^{2}}}\) et \(\mathrm{(C)}\) sa courbe representative.
La fonction \(\mathrm{f}\) possede un extremum d’abscisse :
Reponse correcte : \(\mathrm{-3}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{x+2}{(x+1)^{2}}}\).
On ecrit \(\mathrm{f(x)=(x+2)(x+1)^{-2}}\).
On derive :
\[
\mathrm{f'(x)=1\cdot(x+1)^{-2}+(x+2)\cdot(-2)(x+1)^{-3}}
\]
\[
\mathrm{f'(x)=(x+1)^{-3}\big[(x+1)-2(x+2)\big]}
\]
\[
\mathrm{f'(x)=(x+1)^{-3}(-x-3)=-\frac{x+3}{(x+1)^{3}}}
\]
Les extremums sont donnes par \(\mathrm{f'(x)=0}\) avec \(\mathrm{x\neq -1}\).
\[
\mathrm{-\frac{x+3}{(x+1)^{3}}=0 \Rightarrow x+3=0 \Rightarrow x=-3}
\]
Donc l’abscisse de l’extremum est \(\mathrm{-3}\).
22. On considere la fonction definie par \(\mathrm{f(x)=\frac{x+2}{(x+1)^{2}}}\) et \(\mathrm{(C)}\) sa courbe representative.
L’ordonnee du point d’inflexion de \(\mathrm{(C)}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{-\frac{2}{9}}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f'(x)=-\frac{x+3}{(x+1)^{3}}}\).
On derive pour obtenir \(\mathrm{f''(x)}\).
On ecrit \(\mathrm{f'(x)=-(x+3)(x+1)^{-3}}\).
\[
\mathrm{f''(x)=-(1)(x+1)^{-3}-(x+3)\cdot(-3)(x+1)^{-4}}
\]
\[
\mathrm{f''(x)=-(x+1)^{-3}+3(x+3)(x+1)^{-4}}
\]
\[
\mathrm{f''(x)=\frac{-(x+1)+3(x+3)}{(x+1)^{4}}=\frac{-x-1+3x+9}{(x+1)^{4}}
=\frac{2x+8}{(x+1)^{4}}=\frac{2(x+4)}{(x+1)^{4}}}
\]
Le point d’inflexion verifie \(\mathrm{f''(x)=0}\) et \(\mathrm{x\neq -1}\) :
\[
\mathrm{2(x+4)=0 \Rightarrow x=-4}
\]
On calcule l’ordonnee :
\[
\mathrm{f(-4)=\frac{-4+2}{(-4+1)^{2}}=\frac{-2}{(-3)^{2}}=-\frac{2}{9}}
\]
Donc l’ordonnee du point d’inflexion est \(\mathrm{-\frac{2}{9}}\).
23. On donne la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\frac{x^{2}+8}{x+3}}\) et \(\mathrm{f''}\) sa derivee seconde.
\(\mathrm{f''(1)}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{\frac{17}{32}}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{x^{2}+8}{x+3}}\).
On effectue la division :
\[
\mathrm{x^{2}+8=(x+3)(x-3)+17}
\]
Donc :
\[
\mathrm{f(x)=x-3+\frac{17}{x+3}}
\]
On derive :
\[
\mathrm{f'(x)=1-17(x+3)^{-2}}
\]
\[
\mathrm{f''(x)=-17\cdot(-2)(x+3)^{-3}=34(x+3)^{-3}=\frac{34}{(x+3)^{3}}}
\]
On evalue en \(\mathrm{x=1}\) :
\[
\mathrm{f''(1)=\frac{34}{(1+3)^{3}}=\frac{34}{4^{3}}=\frac{34}{64}=\frac{17}{32}}
\]
Donc \(\mathrm{f''(1)=\frac{17}{32}}\).
24. Soit la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=1+\frac{3}{x^{2}-4}}\).
L’equation \(\mathrm{f(x)=0}\) possede deux racines dont leur somme vaut :
Reponse correcte : \(\mathrm{0}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=1+\frac{3}{x^{2}-4}}\).
On resout \(\mathrm{f(x)=0}\) :
\[
\mathrm{1+\frac{3}{x^{2}-4}=0 \Rightarrow \frac{3}{x^{2}-4}=-1}
\]
\[
\mathrm{x^{2}-4=-3 \Rightarrow x^{2}=1}
\]
\[
\mathrm{x=\pm 1}
\]
Les deux racines sont \(\mathrm{1}\) et \(\mathrm{-1}\).
La somme des racines vaut :
\[
\mathrm{1+(-1)=0}
\]
Donc la somme vaut \(\mathrm{0}\).
25. Une plaque metallique rectangulaire a pour longueur \(\mathrm{50\ cm}\) et pour largeur \(\mathrm{20\ cm}\). Ces mesures ont ete faites a un dixieme de centimetre pres.
L’erreur relative commise sur l’aire de la plaque vaut :
Reponse correcte : \(\mathrm{0,70\%}\).
Correction detaillee :
La plaque est rectangulaire, de longueur \(\mathrm{L=50\ cm}\) et largeur \(\mathrm{\ell=20\ cm}\).
Les mesures sont faites a \(\mathrm{0,1\ cm}\) pres, donc :
\[
\mathrm{\Delta L=0,1\ cm,\ \Delta \ell=0,1\ cm}
\]
L’aire est \(\mathrm{A=L\ell}\).
L’erreur absolue maximale sur \(\mathrm{A}\) est approximee par :
\[
\mathrm{\Delta A\approx \left|\frac{\partial A}{\partial L}\right|\Delta L
+\left|\frac{\partial A}{\partial \ell}\right|\Delta \ell
=\ell\Delta L+L\Delta \ell}
\]
\[
\mathrm{\Delta A\approx 20\cdot 0,1+50\cdot 0,1=2+5=7\ cm^{2}}
\]
L’aire exacte vaut :
\[
\mathrm{A=50\cdot 20=1000\ cm^{2}}
\]
L’erreur relative est :
\[
\mathrm{\frac{\Delta A}{A}=\frac{7}{1000}=0,007=0,7\%}
\]
Donc l’erreur relative est \(\mathrm{0,70\%}\).
26. Un pendule simple effectue \(\mathrm{10}\) tours par seconde, sa periode vaut :
Reponse correcte : \(\mathrm{0,1\ s}\).
Correction detaillee :
On sait que la frequence \(\mathrm{f}\) est le nombre de tours (ou oscillations) par seconde.
Ici, le pendule effectue \(\mathrm{10}\) tours par seconde, donc :
\[
\mathrm{f=10\ Hz}
\]
La periode \(\mathrm{T}\) est l’inverse de la frequence :
\[
\mathrm{T=\frac{1}{f}=\frac{1}{10}\ s=0,1\ s}
\]
Donc la periode du pendule vaut \(\mathrm{0,1\ s}\), ce qui correspond a la reponse \(\mathrm{e}\).