Exetat Mathématique 2018_Pédagogie

1. On donne dans l'ensemble \(\mathbb{R}\) des réels deux fonctions f et g définies par \( f(x) = \sqrt{x} \) et \( g(x) = \frac{1}{x-2} \).
La fonction composée \( f \circ g \) définie par \( (f \circ g)(x) \) est :

Réponse correcte : c. \( \frac{1}{\sqrt{x-2}} \)

Explication détaillée :

1. Définition de la composition :
La fonction composée \( (f \circ g)(x) \) signifie que l'on applique la fonction \( f \) au résultat de la fonction \( g(x) \).
C'est-à-dire : \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \).

2. Substitution des expressions :
Nous savons que :
\( g(x) = \frac{1}{x-2} \)
\( f(x) = \sqrt{x} \)

En remplaçant \( x \) dans la fonction \( f \) par l'expression de \( g(x) \), nous obtenons :
\[ (f \circ g)(x) = f\left(\frac{1}{x-2}\right) = \sqrt{\frac{1}{x-2}} \]

3. Simplification algébrique :
En utilisant la propriété des racines carrées \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) :
\[ (f \circ g)(x) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x-2}} \]
Puisque \( \sqrt{1} = 1 \), l'expression devient :
\[ (f \circ g)(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}} \]

Conclusion :
La fonction composée est \( \frac{1}{\sqrt{x-2}} \), ce qui correspond exactement à l'assertion c.

2. On donne dans l'ensemble \(\mathbb{R}\) des réels deux fonctions f et g définies par \( f(x) = \sqrt{x} \) et \( g(x) = \frac{1}{x-2} \).
La fonction composée \( fog \) est continue dans l'intervalle :

Réponse correcte : d. \( ]2, +\infty[ \)

Explication détaillée :

1. Expression de la fonction composée :
D'après l'énoncé, \( f(x) = \sqrt{x} \) et \( g(x) = \frac{1}{x-2} \).
La fonction composée est :
\[ (fog)(x) = f(g(x)) = \sqrt{\frac{1}{x-2}} = \frac{1}{\sqrt{x-2}} \]

2. Condition de continuité :
La fonction \( (fog)(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}} \) est continue sur tout son domaine de définition car elle est composée de fonctions élémentaires (racine carrée et quotient) continues sur leurs domaines respectifs.
Pour que l'expression soit définie et continue dans \mathbb{R}, il faut que la quantité sous la racine soit strictement positive (car elle est au dénominateur) :
\[ x - 2 > 0 \]

3. Résolution de l'inéquation :
\[ x > 2 \]
Cela correspond à l'intervalle :
\[ ]2, +\infty[ \]

Conclusion :
La fonction composée \( fog \) est continue sur l'intervalle \( ]2, +\infty[ \), ce qui correspond à l'assertion d.

3. On donne dans l'ensemble \(\mathbb{R}\) des réels deux fonctions v et w. Indiquez la proposition fausse.

Réponse correcte : b. Si v et w sont impaires, alors v.w est impaire.

Explication détaillée :

Pour déterminer quelle proposition est fausse, analysons chaque cas en utilisant les définitions :
- Une fonction f est paire si \( f(-x) = f(x) \).
- Une fonction f est impaire si \( f(-x) = -f(x) \).

1. Analyse de la proposition a :
Si v et w sont impaires : \( \frac{v(-x)}{w(-x)} = \frac{-v(x)}{-w(x)} = \frac{v(x)}{w(x)} \).
Le rapport est bien une fonction paire. La proposition est vraie.

2. Analyse de la proposition b :
Si v et w sont impaires : \( (v \cdot w)(-x) = v(-x) \cdot w(-x) = (-v(x)) \cdot (-w(x)) = v(x) \cdot w(x) \).
Le produit de deux fonctions impaires est donc une fonction paire, et non impaire.
La proposition b est donc fausse.

3. Analyse de la proposition c :
Si v et w sont impaires : \( (v - w)(-x) = v(-x) - w(-x) = -v(x) - (-w(x)) = -(v(x) - w(x)) \).
La différence est impaire. La proposition est vraie.

4. Analyse de la proposition d :
Si v est paire et w est impaire : \( (v \circ w)(-x) = v(w(-x)) = v(-w(x)) \).
Comme v est paire, \( v(-w(x)) = v(w(x)) \).
La composée est paire. La proposition est vraie.

5. Analyse de la proposition e :
Si v est impaire et w est paire : \( (v \circ w)(-x) = v(w(-x)) \).
Comme w est paire, \( w(-x) = w(x) \), donc \( v(w(-x)) = v(w(x)) \).
La composée est paire. La proposition est vraie.

Conclusion :
La seule proposition mathématiquement incorrecte (fausse) est la b.

4. On donne dans l'ensemble \(\mathbb{R}\) des réels la fonction h définie par : \( h(x) = \frac{(2x-1)^{2}}{2x+1} \) qui admet une dérivée première notée h'(x). L'expression \( h'(-1) \) vaut :

Réponse correcte : d. \( -6 \)

Explication détaillée :

1. Calcul de la dérivée h'(x) :
La fonction est de la forme \( \frac{u}{v} \) avec :
\( u = (2x-1)^{2} \implies u' = 2 \cdot 2 \cdot (2x-1) = 4(2x-1) \)
\( v = 2x+1 \implies v' = 2 \)

En utilisant la formule \( h'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^{2}} \) :
\[ h'(x) = \frac{4(2x-1)(2x+1) - 2(2x-1)^{2}}{(2x+1)^{2}} \]

2. Substitution de x par -1 :
Il est plus simple de remplacer \( x \) par -1 directement dans l'expression de la dérivée :
- Pour \( u' \): \( 4(2(-1)-1) = 4(-3) = -12 \)
- Pour \( v \): \( 2(-1)+1 = -1 \)
- Pour \( u \): \( (2(-1)-1)^{2} = (-3)^{2} = 9 \)
- Pour \( v' \): \( 2 \)

Calculons le numérateur :
\[ \text{Numérateur} = (-12)(-1) - 2(9) = 12 - 18 = -6 \]

Calculons le dénominateur :
\[ \text{Dénominateur} = (v)^{2} = (-1)^{2} = 1 \]

3. Résultat final :
\[ h'(-1) = \frac{-6}{1} = -6 \]

Conclusion :
La valeur de \( h'(-1) \) est -6, ce qui correspond à l'assertion d.

5. On donne dans l'ensemble \(\mathbb{R}\) des réels une fonction k définie par : \( k(x) = \frac{x^{2}+1}{1-x^{2}} \)
La fonction k possède une asymptote horizontale d'équation :

Réponse correcte : e. \( y = -1 \)

Explication détaillée :

1. Définition de l'asymptote horizontale :
Une fonction admet une asymptote horizontale d'équation \( y = L \) si la limite de la fonction quand \( x \) tend vers \( \pm\infty \) est égale à une constante réelle \( L \).
\[ L = \lim_{x \to \pm\infty} k(x) \]

2. Calcul de la limite à l'infini :
La fonction est une fraction rationnelle : \( k(x) = \frac{x^{2}+1}{1-x^{2}} \).
Pour calculer la limite à l'infini d'une fraction rationnelle, on prend le rapport des termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :
\[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^{2}+1}{1-x^{2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^{2}}{-x^{2}} \]

3. Simplification :
\[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^{2}}{-x^{2}} = \lim_{x \to \pm\infty} (-1) = -1 \]

Conclusion :
La limite étant \(-1\), la droite d'équation \( y = -1 \) est l'asymptote horizontale à la courbe de la fonction \( k \). Cela correspond à l'assertion e.

6. On donne dans l'ensemble \(\mathbb{R}\) des réels une fonction f définie par : \( f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2 \)
Le point maximum de f(x) a pour coordonnées :

Réponse correcte : a. \( (0, 2) \)

Explication détaillée :

1. Calcul de la dérivée première \( f'(x) \) :
La fonction est \( f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2 \).
Sa dérivée est :
\[ f'(x) = 3x^{2} - 6x \]

2. Recherche des points critiques :
On cherche les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f'(x) = 0 \) :
\[ 3x^{2} - 6x = 0 \]
\[ 3x(x - 2) = 0 \]
Les solutions sont \( x = 0 \) et \( x = 2 \).

3. Détermination de la nature des points (Maximum/Minimum) :
Utilisons la dérivée seconde \( f''(x) \) :
\[ f''(x) = 6x - 6 \]
* Pour \( x = 0 \) : \( f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \). Puisque \( f''(0) < 0 \), il s'agit d'un maximum local.
* Pour \( x = 2 \) : \( f''(2) = 6(2) - 6 = 6 \). Puisque \( f''(2) > 0 \), il s'agit d'un minimum local.

4. Calcul des coordonnées du point maximum :
L'abscisse du maximum est \( x = 0 \). Calculons l'ordonnée correspondante en remplaçant dans \( f(x) \) :
\[ f(0) = (0)^{3} - 3(0)^{2} + 2 = 2 \]

Conclusion :
Les coordonnées du point maximum sont \( (0, 2) \). Cela correspond à l'assertion a.

7. On donne dans l'ensemble \(\mathbb{R}\) des réels une fonction g définie par : \( g(x) = \frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x+4} \)
Lorsque x tend vers \( +\infty \), la limite de g(x) vaut :

Réponse correcte : d. \( 1 \)

Explication détaillée :

1. Analyse de la limite :
On cherche à calculer \( L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x+4} \).
En remplaçant directement \( x \) par \( +\infty \), on obtient une forme indéterminée du type \( \frac{\infty}{\infty} \).

2. Transformation de l'expression :
Pour lever l'indétermination à l'infini, on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Au numérateur :
\[ \sqrt{x^{2}+4} = \sqrt{x^{2}(1 + \frac{4}{x^{2}})} = |x|\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} \]
Comme \( x \) tend vers \( +\infty \), on a \( |x| = x \).
Donc : \( \sqrt{x^{2}+4} = x\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} \)

Au dénominateur :
\[ x + 4 = x(1 + \frac{4}{x}) \]

3. Calcul de la limite :
L'expression devient :
\[ L = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{x(1 + \frac{4}{x})} \]
En simplifiant par \( x \) (car \( x \neq 0 \)) :
\[ L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}} \]

4. Passage à la limite :
Comme \( \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x^{2}} = 0 \) et \( \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x} = 0 \), nous avons :
\[ L = \frac{\sqrt{1 + 0}}{1 + 0} = \frac{\sqrt{1}}{1} = 1 \]

Conclusion :
La limite de la fonction \( g(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \) est 1. Cela correspond à l'assertion d.

8. On donne dans l'ensemble \(\mathbb{R}\) des réels, la fonction h définie par : \( h(x) = \frac{x^{2}-9}{x^{2}-5x+6} \).
Lorsque x tend vers 3, la limite de h(x) vaut :

Réponse correcte : e. \( 6 \)

Explication détaillée :

1. Analyse de la limite :
On cherche à calculer \( L = \lim_{x \to 3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}-5x+6} \).
En remplaçant directement \( x \) par 3 :
Numérateur : \( 3^{2} - 9 = 9 - 9 = 0 \)
Dénominateur : \( 3^{2} - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \)
On obtient la forme indéterminée \( \frac{0}{0} \).

2. Levée de l'indétermination par factorisation :
- Le numérateur est une différence de deux carrés :
\( x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
- Pour le dénominateur \( x^{2}-5x+6 \), cherchons deux nombres dont le produit est 6 et la somme est 5. Ces nombres sont 2 et 3.
\( x^{2} - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) \)

3. Simplification de la fonction :
Pour \( x \neq 3 \), nous pouvons simplifier l'expression par \( (x - 3) \) :
\[ h(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-2)} = \frac{x+3}{x-2} \]

4. Calcul de la limite :
Maintenant, nous pouvons passer à la limite en remplaçant \( x \) par 3 dans l'expression simplifiée :
\[ L = \lim_{x \to 3} \frac{x+3}{x-2} = \frac{3+3}{3-2} = \frac{6}{1} = 6 \]

Conclusion :
La limite de \( h(x) \) quand \( x \) tend vers 3 est égale à 6. Cela correspond à l'assertion e.