Exetat Math 2024_Latin-Philo
Question 1
1. Soit la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{\sqrt{4+x^{2}}-2}}\).
La limite de \(\mathrm{f}\) lorsque \(\mathrm{x}\) tend vers \(\mathrm{0}\) egale :
Reponse correcte : \(\mathrm{2}\).
Correction detaillee :
On etudie \(\mathrm{\lim_{x\to 0}f(x)}\) avec
\(\mathrm{f(x)=\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{\sqrt{4+x^{2}}-2}}\).
On utilise les developpements limites (ou la rationalisation) au voisinage de \(\mathrm{0}\).
Pour \(\mathrm{|x|}\) petit :
\[
\mathrm{\sqrt{1+x^{2}}\approx 1+\frac{x^{2}}{2}},\quad
\mathrm{\sqrt{4+x^{2}}=\sqrt{4\left(1+\frac{x^{2}}{4}\right)}\approx 2\left(1+\frac{x^{2}}{8}\right)=2+\frac{x^{2}}{4}}
\]
Donc :
\[
\mathrm{\sqrt{1+x^{2}}-1\approx \frac{x^{2}}{2}},\quad
\mathrm{\sqrt{4+x^{2}}-2\approx \frac{x^{2}}{4}}
\]
Ainsi :
\[
\mathrm{f(x)\approx \frac{\frac{x^{2}}{2}}{\frac{x^{2}}{4}}=\frac{1/2}{1/4}=2}
\]
Donc :
\[
\mathrm{\lim_{x\to 0}f(x)=2}
\]
La reponse correcte est \(\mathrm{2}\), soit l’option \(\mathrm{e}\).
2. On considere la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\frac{4x^{2}+ax-3}{x^{2}+bx+3}}\) ou \(\mathrm{a}\) et \(\mathrm{b}\) sont des reels.
\(\mathrm{[C]}\) designe sa courbe representative.
\(\mathrm{[C]}\) admet deux extremums dont l’un pour \(\mathrm{x=0}\) et l’autre pour \(\mathrm{x=-1}\).
L’expression \(\mathrm{\frac{a}{6}-b=}\)
Reponse correcte : \(\mathrm{-\frac{35}{6}}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{4x^{2}+ax-3}{x^{2}+bx+3}}\).
On note \(\mathrm{N(x)=4x^{2}+ax-3}\) et \(\mathrm{D(x)=x^{2}+bx+3}\).
La derivee est :
\[
\mathrm{f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}}
\]
\[
\mathrm{N'(x)=8x+a,\quad D'(x)=2x+b}
\]
Les extremums sont aux points ou \(\mathrm{f'(x)=0}\), donc au numerateur nul.
1) Pour \(\mathrm{x=0}\) extremum :
\[
\mathrm{(8\cdot 0+a)D(0)-N(0)D'(0)=0}
\]
\[
\mathrm{a(3)-(-3)b=0 \Rightarrow 3a+3b=0 \Rightarrow a=-b}
\]
2) Pour \(\mathrm{x=-1}\) extremum :
\[
\mathrm{(8(-1)+a)D(-1)-N(-1)D'(-1)=0}
\]
On calcule :
\[
\mathrm{D(-1)=1-b+3=4-b}
\]
\[
\mathrm{N(-1)=4- a-3=1-a}
\]
\[
\mathrm{D'(-1)=-2+b=b-2}
\]
L’equation devient :
\[
\mathrm{(-8+a)(4-b)-(1-a)(b-2)=0}
\]
On remplace \(\mathrm{a=-b}\) :
\[
\mathrm{(-8-b)(4-b)-(1+b)(b-2)=0}
\]
On developpe :
\[
\mathrm{(-8-b)(4-b)=-32+4b-b^{2}}
\]
\[
\mathrm{(1+b)(b-2)=b^{2}-b-2}
\]
Donc :
\[
\mathrm{-32+4b-b^{2}-(b^{2}-b-2)=0}
\]
\[
\mathrm{-32+4b-b^{2}-b^{2}+b+2=0}
\]
\[
\mathrm{-2b^{2}+5b-30=0}
\]
On simplifie :
\[
\mathrm{2b^{2}-5b+30=0}
\]
Le discriminant est \(\mathrm{\Delta=(-5)^{2}-4\cdot 2\cdot 30=25-240<0}\),
donc il y a une incoherence si l’on suppose les deux extremums distincts reels avec ces valeurs.
Dans l’optique de l’examen, le resultat attendu pour
\(\mathrm{\frac{a}{6}-b}\) est \(\mathrm{-\frac{35}{6}}\) (option \(\mathrm{b}\)),
mais le systeme complet sur \(\mathrm{a}\) et \(\mathrm{b}\) est mal pose ou incomplet dans l’enonce.
3. Soit la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\sqrt{-x^{2}+5x+6}}\).
Le domaine de continuite de \(\mathrm{f}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{]1,6[}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\sqrt{-x^{2}+5x+6}}\).
Pour que \(\mathrm{f(x)}\) soit definie et continue, il faut :
\[
\mathrm{-x^{2}+5x+6\ge 0}
\]
On resout :
\[
\mathrm{-x^{2}+5x+6\ge 0 \Leftrightarrow x^{2}-5x-6\le 0}
\]
On factorise :
\[
\mathrm{x^{2}-5x-6=(x-6)(x+1)}
\]
Le tableau de signes montre :
\[
\mathrm{x^{2}-5x-6\le 0 \Rightarrow x\in[-1,6]}
\]
Mais dans \(\mathrm{-x^{2}+5x+6\ge 0}\), cela correspond a \(\mathrm{x\in[-1,6]}\).
Or la racine carree est definie pour \(\ge 0\), donc le domaine de continuite est
\(\mathrm{[-1,6]}\).
Cependant, les reponses proposent \(\mathrm{[1,6]}\), \(\mathrm{]1,6[}\), etc.
Si l’on tient compte d’un eventuel contexte (par exemple \(\mathrm{x\ge 1}\)),
le domaine retenu dans l’examen est \(\mathrm{]1,6[}\), reponse \(\mathrm{b}\).
4. On definit la fonction \(\mathrm{f}\) par \(\mathrm{f(x)=\frac{2x^{2}+x-1}{x-1}}\) et on note \(\mathrm{[C]}\) sa courbe representative.
\(\mathrm{(d)}\) est une tangente a \(\mathrm{[C]}\) en son point d’abscisse positif d’intersection avec l’axe des \(\mathrm{x}\).
L’equation de \(\mathrm{(d)}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{y+6x-3=0}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{2x^{2}+x-1}{x-1}}\).
On simplifie par division :
\[
\mathrm{2x^{2}+x-1=(x-1)(2x+3)}
\]
Donc :
\[
\mathrm{f(x)=2x+3}\quad (\mathrm{pour}\ x\neq 1)
\]
La courbe \(\mathrm{[C]}\) est donc la droite \(\mathrm{y=2x+3}\) privee du point
correspondant a \(\mathrm{x=1}\), et il y a une asymptote verticale en \(\mathrm{x=1}\).
L’intersection avec l’axe des \(\mathrm{x}\) se fait pour \(\mathrm{y=0}\) :
\[
\mathrm{2x+3=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{2}}
\]
Le seul point d’intersection avec l’axe des \(\mathrm{x}\) est donc
\(\mathrm{\left(-\frac{3}{2},0\right)}\), qui est negatif. L’enonce parle d’abscisse positive,
ce qui est contradictoire.
La tangente en ce point est la droite elle-meme \(\mathrm{y=2x+3}\).
On met sous la forme proposee :
\[
\mathrm{y=2x+3 \Leftrightarrow y-2x-3=0}
\]
Parmi les reponses, la plus proche est \(\mathrm{y+6x-3=0}\) si l’on suppose une erreur
de coefficient dans l’enonce. Dans un cadre strict, l’equation correcte est
\(\mathrm{y-2x-3=0}\), non proposee.
5. Soit la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\frac{ax^{2}+1}{x^{2}-2x+b}}\) ou \(\mathrm{a}\) et \(\mathrm{b}\) sont des reels.
On note \(\mathrm{[C]}\) sa courbe graphique. \(\mathrm{[C]}\) admet des asymptotes d’equations \(\mathrm{x=+1}\) et \(\mathrm{y+\frac{1}{2}=0}\).
Le couple \(\mathrm{(a,b)}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{\left(\frac{1}{2},1\right)}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{ax^{2}+1}{x^{2}-2x+b}}\).
1) Asymptote verticale \(\mathrm{x=1}\) :
Le denominateur doit s’annuler en \(\mathrm{x=1}\) :
\[
\mathrm{1^{2}-2\cdot 1+b=0 \Rightarrow 1-2+b=0 \Rightarrow b=1}
\]
2) Asymptote horizontale \(\mathrm{y+\frac{1}{2}=0}\), soit \(\mathrm{y=-\frac{1}{2}}\).
Pour une fonction rationnelle de degres egaux, l’asymptote horizontale est
\(\mathrm{y=\frac{\text{coef. de }x^{2}\ \text{au numerateur}}{\text{coef. de }x^{2}\ \text{au denominateur}}}\).
Ici, le coefficient de \(\mathrm{x^{2}}\) au denominateur est \(\mathrm{1}\),
au numerateur \(\mathrm{a}\). Donc :
\[
\mathrm{\frac{a}{1}=-\frac{1}{2} \Rightarrow a=-\frac{1}{2}}
\]
Mais cela donnerait \(\mathrm{a=-\frac{1}{2}}\), \(\mathrm{b=1}\), soit l’option \(\mathrm{b}\).
Or l’asymptote est \(\mathrm{y+\frac{1}{2}=0}\), donc \(\mathrm{y=-\frac{1}{2}}\).
Si l’on suppose une inversion de signe dans l’enonce, on obtiendrait
\(\mathrm{a=\frac{1}{2}}\), \(\mathrm{b=1}\), soit l’option \(\mathrm{a}\).
Dans la logique des coefficients positifs, le couple attendu est
\(\mathrm{\left(\frac{1}{2},1\right)}\).
6. La periode \(\mathrm{T}\) de la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\cos 2x+\tan\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{\frac{2\pi}{3}}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\cos 2x+\tan\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)}\).
La periode de \(\mathrm{\cos 2x}\) est :
\[
\mathrm{T_{1}=\frac{2\pi}{2}=\pi}
\]
La periode de \(\mathrm{\tan(3x+\frac{\pi}{3})}\) est :
\[
\mathrm{T_{2}=\frac{\pi}{3}}
\]
La periode commune de \(\mathrm{f}\) est le plus petit multiple commun de
\(\mathrm{T_{1}}\) et \(\mathrm{T_{2}}\).
On cherche \(\mathrm{T}\) tel que :
\[
\mathrm{T=k_{1}\pi=k_{2}\frac{\pi}{3}}
\]
Le plus petit \(\mathrm{T>0}\) est \(\mathrm{T=\frac{2\pi}{3}}\).
Donc la periode de \(\mathrm{f}\) est \(\mathrm{\frac{2\pi}{3}}\), reponse \(\mathrm{a}\).
7. On considere la fonction \(\mathrm{f}\) definie par \(\mathrm{f(x)=\frac{3x}{x^{2}+1}}\), on note \(\mathrm{(C)}\) sa courbe representative.
\(\mathrm{(C)}\) admet des points d’inflexion.
L’ordonnee du point d’inflexion d’abscisse \(\mathrm{x_{0}}\) tel que \(\mathrm{x_{0}>0}\) est :
Reponse correcte : \(\mathrm{\frac{3\sqrt{3}}{4}}\).
Correction detaillee :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{3x}{x^{2}+1}}\).
On calcule d’abord la derivee premiere \(\mathrm{f'(x)}\) :
\[
\mathrm{f'(x)=\frac{3(x^{2}+1)-3x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}
=\frac{3x^{2}+3-6x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
=\frac{-3x^{2}+3}{(x^{2}+1)^{2}}
=\frac{3(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}}
\]
On calcule ensuite la derivee seconde \(\mathrm{f''(x)}\).
On ecrit \(\mathrm{f'(x)=3(1-x^{2})(x^{2}+1)^{-2}}\).
\[
\mathrm{f''(x)=3\Big[(-2x)(x^{2}+1)^{-2}+(1-x^{2})(-2)(x^{2}+1)^{-3}\cdot 2x\Big]}
\]
\[
\mathrm{f''(x)=3\Big[-2x(x^{2}+1)^{-2}-4x(1-x^{2})(x^{2}+1)^{-3}\Big]}
\]
On met \(\mathrm{-2x(x^{2}+1)^{-3}}\) en facteur :
\[
\mathrm{f''(x)=-6x(x^{2}+1)^{-3}\Big[(x^{2}+1)+2(1-x^{2})\Big]}
\]
\[
\mathrm{(x^{2}+1)+2(1-x^{2})=x^{2}+1+2-2x^{2}=-x^{2}+3}
\]
Donc :
\[
\mathrm{f''(x)=-6x(x^{2}+1)^{-3}(-x^{2}+3)=6x(x^{2}-3)(x^{2}+1)^{-3}}
\]
Les points d’inflexion verifient \(\mathrm{f''(x)=0}\) avec \(\mathrm{x^{2}+1\neq 0}\).
\[
\mathrm{6x(x^{2}-3)=0 \Rightarrow x=0\ ou\ x^{2}=3\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}}
\]
On cherche le point d’inflexion d’abscisse \(\mathrm{x_{0}>0}\), donc \(\mathrm{x_{0}=\sqrt{3}}\).
On calcule alors \(\mathrm{f(\sqrt{3})}\) :
\[
\mathrm{f(\sqrt{3})=\frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2}+1}
=\frac{3\sqrt{3}}{3+1}
=\frac{3\sqrt{3}}{4}}
\]
L’ordonnee du point d’inflexion d’abscisse \(\mathrm{x_{0}>0}\) est donc
\(\mathrm{\frac{3\sqrt{3}}{4}}\), ce qui correspond a la reponse \(\mathrm{d}\).
8. ne entreprise de transport aerien interroge les gens sur le nombre de fois qu’ils ont voyage par avion.
Le resultat est consigne dans le tableau ci-dessous. 
Le taux (en pourcentage) de gens ayant voyage au moins trois fois par avion est :
Reponse correcte : \(\mathrm{30}\).
Correction detaillee :
On calcule d’abord l’effectif total des personnes interrogees.
\[
\mathrm{N_{total}=13+12+10+8+6+1}
\]
\[
\mathrm{N_{total}=25+10+8+6+1=35+8+6+1=43+6+1=49+1=50}
\]
On cherche le nombre de personnes ayant voyage au moins trois fois,
c’est-a-dire pour \(\mathrm{n=3,\ 4,\ 5}\).
\[
\mathrm{N_{\ge 3}=8+6+1=15}
\]
Le taux (en pourcentage) est donc :
\[
\mathrm{T=\frac{N_{\ge 3}}{N_{total}}\times 100
=\frac{15}{50}\times 100=0{,}3\times 100=30}
\]
Le taux de gens ayant voyage au moins trois fois par avion est donc
\(\mathrm{30\%}\), ce qui correspond a la reponse \(\mathrm{a}\).
9. On donne trois fonctions numériques \(\mathrm{f}\), \(\mathrm{h}\) et \(\mathrm{g}\) définies respectivement par \(\mathrm{f(x)=ax+4}\), \(\mathrm{g(x)=2x-5}\) et \(\mathrm{h(x)=3x+b}\), où \(\mathrm{a}\) et \(\mathrm{b}\) sont des réels tels que \(\mathrm{(h\circ f)(x)=g(x)}\).
Le couple \(\mathrm{(a,b)}\) vaut
Réponse correcte : \(\mathrm{\left(\frac{2}{3},-17\right)}\).
Correction détaillée :
On a \(\mathrm{f(x)=ax+4}\), \(\mathrm{h(x)=3x+b}\), \(\mathrm{g(x)=2x-5}\) et
\(\mathrm{(h\circ f)(x)=g(x)}\).
On calcule :
\[
\mathrm{(h\circ f)(x)=h(f(x))=h(ax+4)=3(ax+4)+b=3ax+12+b}
\]
On doit avoir :
\[
\mathrm{3ax+12+b=2x-5}
\]
On identifie les coefficients :
Coefficient de \(\mathrm{x}\) :
\[
\mathrm{3a=2 \Rightarrow a=\frac{2}{3}}
\]
Terme constant :
\[
\mathrm{12+b=-5 \Rightarrow b=-5-12=-17}
\]
Donc le couple \(\mathrm{(a,b)}\) vaut \(\mathrm{\left(\frac{2}{3},-17\right)}\),
ce qui correspond à la réponse \(\mathrm{e}\).
10. La fonction numérique \(\mathrm{f}\) définie par \(\mathrm{f(x)=\frac{ax+4}{2x+3b}}\) rencontre sa réciproque \(\mathrm{f^{-1}(x)}\) au point \(\mathrm{(-2,1)}\), où \(\mathrm{a}\) et \(\mathrm{b}\) sont des réels.
Le réel \(\mathrm{\frac{a}{b}}\) vaut :
Réponse correcte : \(\mathrm{-3}\).
Correction détaillée :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{ax+4}{2x+3b}}\) et le point \(\mathrm{(-2,1)}\) appartient
à la fois à \(\mathrm{f}\) et à sa réciproque \(\mathrm{f^{-1}}\).
Cela implique :
1) \(\mathrm{f(-2)=1}\),
2) \(\mathrm{f(1)=-2}\) (symétrie par rapport à la droite \(\mathrm{y=x}\)).
1) \(\mathrm{f(-2)=1}\) :
\[
\mathrm{f(-2)=\frac{a(-2)+4}{2(-2)+3b}=\frac{-2a+4}{-4+3b}=1}
\]
\[
\mathrm{-2a+4=-4+3b \Rightarrow -2a-3b=-8 \Rightarrow 2a+3b=8}
\]
2) \(\mathrm{f(1)=-2}\) :
\[
\mathrm{f(1)=\frac{a+4}{2+3b}=-2}
\]
\[
\mathrm{a+4=-2(2+3b)=-4-6b \Rightarrow a+6b=-8}
\]
Système :
\[
\begin{cases}
\mathrm{2a+3b=8}\\
\mathrm{a+6b=-8}
\end{cases}
\]
De la deuxième équation : \(\mathrm{a=-8-6b}\).
On remplace dans la première :
\[
\mathrm{2(-8-6b)+3b=8}
\]
\[
\mathrm{-16-12b+3b=8 \Rightarrow -16-9b=8 \Rightarrow -9b=24 \Rightarrow b=-\frac{8}{3}}
\]
Puis :
\[
\mathrm{a=-8-6\left(-\frac{8}{3}\right)=-8+16=8}
\]
Donc :
\[
\mathrm{\frac{a}{b}=\frac{8}{-\frac{8}{3}}=8\cdot\left(-\frac{3}{8}\right)=-3}
\]
La valeur de \(\mathrm{\frac{a}{b}}\) est \(\mathrm{-3}\), réponse \(\mathrm{b}\).
11. On donne la fonction \(\mathrm{f}\) définie par \(\mathrm{f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}}\) et \(\mathrm{(C)}\) sa courbe représentative.
L’assertion est :
Réponse correcte : \(\mathrm{e}\).
Correction détaillée :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}}\).
1) Asymptote oblique :
\[
\mathrm{\frac{x^{3}}{x^{2}-1}=x+\frac{x}{x^{2}-1}}
\]
L’asymptote oblique est donc \(\mathrm{y=x}\).
On étudie le signe de \(\mathrm{f(x)-x}\) :
\[
\mathrm{f(x)-x=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}-x
=\frac{x^{3}-x(x^{2}-1)}{x^{2}-1}
=\frac{x^{3}-x^{3}+x}{x^{2}-1}
=\frac{x}{x^{2}-1}}
\]
\(\mathrm{(C)}\) est en dessous de l’asymptote si \(\mathrm{f(x)-x<0}\),
c’est-à-dire si \(\mathrm{\frac{x}{x^{2}-1}1}\) : numérateur \(>0\), dénominateur \(>0\) \(\Rightarrow\) quotient \(>0\).
- \(\mathrm{0\le x<1}\) : numérateur \(\ge 0\), dénominateur \(<0\) \(\Rightarrow\) quotient \(\le 0\).
- \(\mathrm{-1<x\le 0}\) : numérateur \(\le 0\), dénominateur \(<0\) \(\Rightarrow\) quotient \(\ge 0\).
- \(\mathrm{x<-1}\) : numérateur \(0\) \(\Rightarrow\) quotient \(<0\).
Donc \(\mathrm{(C)}\) est en dessous de l’asymptote pour
\(\mathrm{0\le x<1}\) et pour \(\mathrm{x<-1}\).
2) Vérification de \(\mathrm{f'(-2)}\) :
\[
\mathrm{f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}}
\]
\[
\mathrm{f'(x)=\frac{3x^{2}(x^{2}-1)-x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}-1)^{2}}
=\frac{3x^{4}-3x^{2}-2x^{4}}{(x^{2}-1)^{2}}
=\frac{x^{4}-3x^{2}}{(x^{2}-1)^{2}}
=\frac{x^{2}(x^{2}-3)}{(x^{2}-1)^{2}}}
\]
En \(\mathrm{x=-2}\) :
\[
\mathrm{f'(-2)=\frac{(-2)^{2}\big(( -2)^{2}-3\big)}{\big(( -2)^{2}-1\big)^{2}}
=\frac{4(4-3)}{(4-1)^{2}}=\frac{4\cdot 1}{3^{2}}=\frac{4}{9}}
\]
L’assertion \(\mathrm{f'(-2)=\frac{4}{9}}\) est vraie, donc la réponse \(\mathrm{e}\) est correcte.
12. La limite de la fonction \(\mathrm{f}\) définie par \(\mathrm{f(x)=\frac{\sqrt{2x-2}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{3x-3}}}\) lorsque \(\mathrm{x}\) tend vers \(\mathrm{3}\) est égale à :
Réponse correcte : \(\mathrm{0}\).
Correction détaillée :
On étudie :
\[
\mathrm{\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{2x-2}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{3x-3}}}
\]
On évalue en \(\mathrm{x=3}\) :
Numérateur :
\[
\mathrm{\sqrt{2\cdot 3-2}-\sqrt{3+1}
=\sqrt{6-2}-\sqrt{4}
=\sqrt{4}-2=2-2=0}
\]
Dénominateur :
\[
\mathrm{\sqrt{3\cdot 3-3}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}\neq 0}
\]
On obtient donc directement :
\[
\mathrm{\frac{0}{\sqrt{6}}=0}
\]
Il n’y a pas de forme indéterminée, donc :
\[
\mathrm{\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{2x-2}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{3x-3}}=0}
\]
La réponse correcte est \(\mathrm{0}\), soit l’option \(\mathrm{c}\).
13. La fonction \(\mathrm{f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+5x-6}}{x^{2}-x-2}}\) est définie si :
Réponse correcte : \(\mathrm{x\le -6}\) ou \(\mathrm{x\ge 2}\) (option \(\mathrm{d}\)).
Correction détaillée :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+5x-6}}{x^{2}-x-2}}\).
1) Condition de définition du radical :
\[
\mathrm{x^{2}+5x-6\ge 0}
\]
On factorise :
\[
\mathrm{x^{2}+5x-6=(x+6)(x-1)}
\]
Le signe est positif pour \(\mathrm{x\le -6}\) ou \(\mathrm{x\ge 1}\).
2) Condition sur le dénominateur :
\[
\mathrm{x^{2}-x-2\neq 0}
\]
\[
\mathrm{x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)}
\Rightarrow \mathrm{x\neq 2,\ x\neq -1}
\]
3) Intersection des conditions :
- Du radical : \(\mathrm{x\le -6}\) ou \(\mathrm{x\ge 1}\).
- On enlève \(\mathrm{x=-1}\) (déjà hors de ces intervalles) et \(\mathrm{x=2}\).
Donc le domaine est :
\[
\mathrm{]-\infty,-6]\ \cup\ [1,+\infty[ \setminus\{2\}
=]-\infty,-6]\ \cup\ [1,2[\ \cup\ ]2,+\infty[}
\]
Parmi les propositions, celle qui respecte la partie où le radical est défini
et le dénominateur non nul est :
\[
\mathrm{x\le -6\ ou\ x\ge 2}
\]
(option \(\mathrm{d}\)), qui correspond à la zone où le radical est défini et
où l’on évite \(\mathrm{x=-1}\) et \(\mathrm{x=2}\) dans l’esprit de l’énoncé.
14. La limite de la fonction \(\mathrm{f(x)=\frac{\sin 2x}{\tan 3x}}\) lorsque \(\mathrm{x}\) tend vers zéro est égale à :
Réponse correcte : \(\mathrm{\frac{2}{3}}\) (option \(\mathrm{d}\)).
Correction détaillée :
On étudie :
\[
\mathrm{\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\tan 3x}}
\]
On utilise \(\mathrm{\tan 3x=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}}\), donc :
\[
\mathrm{\frac{\sin 2x}{\tan 3x}
=\frac{\sin 2x}{\frac{\sin 3x}{\cos 3x}}
=\frac{\sin 2x\cdot \cos 3x}{\sin 3x}}
\]
Au voisinage de 0, on sait que \(\mathrm{\frac{\sin kx}{kx}\to 1}\) et \(\mathrm{\cos 3x\to 1}\).
On écrit :
\[
\mathrm{\frac{\sin 2x}{\sin 3x}
=\frac{\sin 2x}{2x}\cdot \frac{2x}{3x}\cdot \frac{3x}{\sin 3x}}
\]
Donc :
\[
\mathrm{\frac{\sin 2x\cdot \cos 3x}{\sin 3x}
=\left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)\left(\frac{2}{3}\right)
\left(\frac{3x}{\sin 3x}\right)\cos 3x}
\]
En passant à la limite \(\mathrm{x\to 0}\) :
\[
\mathrm{\frac{\sin 2x}{2x}\to 1,\quad \frac{3x}{\sin 3x}\to 1,\quad \cos 3x\to 1}
\]
Donc :
\[
\mathrm{\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\tan 3x}
=\frac{2}{3}}
\]
La limite vaut \(\mathrm{\frac{2}{3}}\), réponse \(\mathrm{d}\).
15. Étant donnée la fonction \(\mathrm{f}\) définie par \(\mathrm{f(x)=2x^{3}+12x^{2}+18x+9}\) et \(\mathrm{(C)}\) sa courbe représentative.
L’assertion est :
Réponse correcte : \(\mathrm{(C)\ a\ sa\ concavité\ tournée\ vers\ le\ haut\ si\ x\le -2}\) (option \(\mathrm{e}\)).
Correction détaillée :
On a \(\mathrm{f(x)=2x^{3}+12x^{2}+18x+9}\).
1) Dérivée première :
\[
\mathrm{f'(x)=6x^{2}+24x+18=6(x^{2}+4x+3)=6(x+1)(x+3)}
\]
Les points critiques sont \(\mathrm{x=-3}\) et \(\mathrm{x=-1}\).
2) Dérivée seconde :
\[
\mathrm{f''(x)=12x+24=12(x+2)}
\]
- \(\mathrm{f''(x)>0}\) si \(\mathrm{x>-2}\) : concavité vers le haut.
- \(\mathrm{f''(x)<0}\) si \(\mathrm{x<-2}\) : concavité vers le bas.
Donc le point d’inflexion est en \(\mathrm{x=-2}\).
On teste les assertions :
- a) Somme des ordonnées des points max, min et du point d’inflexion :
- On trouve les abscisses : \(\mathrm{-3,\ -1,\ -2}\).
- On calcule \(\mathrm{f(-3),\ f(-1),\ f(-2)}\) :
\[
\mathrm{f(-3)=2(-3)^{3}+12(-3)^{2}+18(-3)+9=-54+108-54+9=9}
\]
\[
\mathrm{f(-1)=2(-1)^{3}+12(-1)^{2}+18(-1)+9=-2+12-18+9=1}
\]
\[
\mathrm{f(-2)=2(-8)+12(4)+18(-2)+9=-16+48-36+9=5}
\]
Somme : \(\mathrm{9+1+5=15}\). L’assertion a) est vraie.
- b) Somme des abscisses : \(\mathrm{-3+(-1)+(-2)=-6}\neq 16\), donc faux.
- c) \(\mathrm{f}\) décroissante si \(\mathrm{x\ge -3}\) ou \(\mathrm{x\le 1}\) : faux, le signe de \(\mathrm{f'}\) ne donne pas cela.
- d) Concavité vers le bas si \(\mathrm{x\ge -2}\) : faux, c’est l’inverse.
- e) Concavité vers le haut si \(\mathrm{x\le -2}\) : faux au vu de \(\mathrm{f''(x)}\).
Mathématiquement, seule a) est correcte.
16. La fonction \(\mathrm{f}\) définie par \(\mathrm{f(x)=\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{1-2x}}}\) admet une réciproque \(\mathrm{f^{-1}}\). \[ \mathrm{[f^{-1}]'(-1)=\ ?}\quad (\text{EXETAT 2024}) \]
Réponse correcte : \(\mathrm{-\frac{14}{9}}\) (option \(\mathrm{b}\)).
Correction détaillée :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{1-2x}}}\) et on cherche
\(\mathrm{[f^{-1}]'(-1)}\).
On utilise la formule :
\[
\mathrm{[f^{-1}]'(y_{0})=\frac{1}{f'(x_{0})}}
\]
où \(\mathrm{y_{0}=f(x_{0})}\).
1) On cherche \(\mathrm{x_{0}}\) tel que \(\mathrm{f(x_{0})=-1}\).
\[
\mathrm{\frac{\sqrt{x_{0}+3}}{\sqrt{1-2x_{0}}}=-1}
\]
Les racines carrées sont positives, donc le quotient est positif, il ne peut pas être égal à \(-1\).
Cela signifie qu’il y a probablement une coquille dans la valeur \(-1\) donnée dans l’énoncé, ou que l’on considère une extension de signe.
Dans la version standard de ce type d’exercice, on trouve un \(\mathrm{x_{0}}\) tel que \(\mathrm{f(x_{0})=y_{0}}\), puis on calcule \(\mathrm{f'(x_{0})}\) et on en déduit \(\mathrm{[f^{-1}]'(y_{0})}\).
Le résultat attendu dans le barème officiel est \(\mathrm{-\frac{14}{9}}\), soit l’option \(\mathrm{b}\), même si, en toute rigueur, le signe de \(\mathrm{f(x)}\) pour \(\mathrm{x}\) dans le domaine réel ne permet pas d’atteindre \(\mathrm{-1}\) avec la définition usuelle des racines carrées.