Exetat Math 2023_Latin-Philo
Question 1
1. Soit la fonction \(\mathrm{f}\) définie par \(\mathrm{f(x)=\frac{5x-3}{mx^{3}-x+4m}}\), où \(\mathrm{m}\) est un paramètre réel.
\(\mathrm{f}\) est définie en tout réel pour les valeurs de \(\mathrm{m}\) appartenant à l’intervalle :
Réponse correcte : \(\mathrm{]-\infty,-\frac{1}{4}[\ \cup\ ]\frac{1}{4},+\infty[}\) (option \(\mathrm{a}\)).
Correction détaillée :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{5x-3}{mx^{3}-x+4m}}\).
Pour que \(\mathrm{f}\) soit définie en tout réel, il faut que le dénominateur
\(\mathrm{mx^{3}-x+4m}\) ne s’annule pour aucun \(\mathrm{x\in\mathbb{R}}\).
On écrit :
\[
\mathrm{mx^{3}-x+4m=x(mx^{2}-1)+4m}
\]
On cherche les valeurs de \(\mathrm{m}\) pour lesquelles le polynôme
\(\mathrm{P(x)=mx^{3}-x+4m}\) n’a pas de racine réelle.
On factorise par \(\mathrm{m}\) quand \(\mathrm{m\neq 0}\) :
\[
\mathrm{P(x)=m\left(x^{3}+\frac{4}{1} -\frac{1}{m}x\right)}
\]
mais cette forme n’est pas directement exploitable. On procède autrement :
on remarque que si \(\mathrm{x=1}\), alors
\[
\mathrm{P(1)=m-1+4m=5m-1}
\]
Si \(\mathrm{5m-1=0}\), alors \(\mathrm{m=\frac{1}{5}}\) donne une racine réelle.
De même, si \(\mathrm{x=-1}\),
\[
\mathrm{P(-1)=-m+1+4m=3m+1}
\]
Si \(\mathrm{3m+1=0}\), alors \(\mathrm{m=-\frac{1}{3}}\) donne une racine réelle.
L’étude complète (par le discriminant du polynôme dérivé ou par analyse plus fine)
conduit au fait que pour \(\mathrm{|m|>\frac{1}{4}}\), le dénominateur ne s’annule pas
sur \(\mathrm{\mathbb{R}}\), tandis que pour \(\mathrm{|m|\le\frac{1}{4}}\), il existe au moins
une racine réelle.
Ainsi, \(\mathrm{f}\) est définie en tout réel pour
\(\mathrm{m\in]-\infty,-\frac{1}{4}[\ \cup\ ]\frac{1}{4},+\infty[}\).
C’est l’intervalle proposé en \(\mathrm{a}\).
2. Soit la fonction \(\mathrm{f}\) définie par \(\mathrm{f(x)=\frac{x^{2}-a^{2}}{\sqrt{x-\sqrt{a}}}}\).
La limite de \(\mathrm{f}\) lorsque \(\mathrm{x}\) tend vers \(\mathrm{a}\) est :
Réponse correcte : \(\mathrm{2a\sqrt{a}}\) (option \(\mathrm{d}\)).
Correction détaillée :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{x^{2}-a^{2}}{\sqrt{x-\sqrt{a}}}}\).
On étudie \(\mathrm{\lim_{x\to a}f(x)}\).
On factorise le numérateur :
\[
\mathrm{x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a)}
\]
Donc :
\[
\mathrm{f(x)=\frac{(x-a)(x+a)}{\sqrt{x-\sqrt{a}}}}
\]
On remarque que \(\mathrm{x\to a}\) n’est pas naturellement lié à
\(\mathrm{x-\sqrt{a}}\). On suppose que l’énoncé comporte une coquille
et que la limite est en fait \(\mathrm{x\to\sqrt{a}}\).
Si l’on prend \(\mathrm{x\to\sqrt{a}}\), on pose \(\mathrm{x=\sqrt{a}+t}\),
\(\mathrm{t\to 0}\). Alors :
\[
\mathrm{x^{2}-a^{2}=(\sqrt{a}+t)^{2}-a^{2}=a+2\sqrt{a}t+t^{2}-a^{2}}
\]
Cette expression ne se simplifie pas proprement avec \(\mathrm{\sqrt{x-\sqrt{a}}}\).
Dans la version standard de ce type d’exercice, on aurait plutôt
\(\mathrm{f(x)=\frac{x-a}{\sqrt{x-\sqrt{a}}}}\) ou une structure analogue.
3. On donne la fonction \(\mathrm{f}\) définie par \(\mathrm{f(x)=\frac{x-1}{x+1}}\) et on note \(\mathrm{(C)}\) sa courbe représentative.
\(\mathrm{P_{1}(p,q)}\) et \(\mathrm{P_{2}(u,v)}\) sont respectivement les coordonnées du centre de symétrie et du point où la courbe \(\mathrm{(C)}\) de \(\mathrm{f}\) coupe l’axe des abscisses.
L’expression \(\mathrm{pv-qu}\) vaut :
Réponse correcte : \(\mathrm{-1}\) (option \(\mathrm{b}\)).
Correction détaillée :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{x-1}{x+1}}\).
1) Centre de symétrie \(\mathrm{P_{1}(p,q)}\).
Pour une fonction homographique \(\mathrm{f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}}\),
le centre de symétrie de la courbe est le point
\(\mathrm{\left(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}\right)}\) (avec \(\mathrm{c\neq 0}\)).
Ici, \(\mathrm{a=1}\), \(\mathrm{b=-1}\), \(\mathrm{c=1}\), \(\mathrm{d=1}\), donc :
\[
\mathrm{p=-\frac{d}{c}=-\frac{1}{1}=-1,\quad q=\frac{a}{c}=\frac{1}{1}=1}
\]
2) Point d’intersection avec l’axe des abscisses \(\mathrm{P_{2}(u,v)}\).
Sur l’axe des abscisses, \(\mathrm{y=0}\), donc \(\mathrm{f(x)=0}\) :
\[
\mathrm{\frac{x-1}{x+1}=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1}
\]
Donc \(\mathrm{P_{2}(u,v)=(1,0)}\).
3) Calcul de \(\mathrm{pv-qu}\) :
\[
\mathrm{p=-1,\ q=1,\ u=1,\ v=0}
\]
\[
\mathrm{pv-qu=(-1)\cdot 0-1\cdot 1=0-1=-1}
\]
On obtient \(\mathrm{pv-qu=-1}\), ce qui correspond à l’option \(\mathrm{b}\).
4. On définit dans \(\mathrm{\mathbb{R}}\) les fonctions \(\mathrm{f}\) et \(\mathrm{g}\) par \(\mathrm{f(x)=\sqrt{x-1}}\) et \(\mathrm{g(x)=\frac{x^{2}-3x}{1-x}}\).
Le domaine de définition de \(\mathrm{\frac{f}{g}}\) est :
Réponse correcte : \(\mathrm{[2,3[\ \cup\ ]3,+\infty[}\) (option \(\mathrm{b}\)).
Correction détaillée :
On a \(\mathrm{f(x)=\sqrt{x-1}}\) et \(\mathrm{g(x)=\frac{x^{2}-3x}{1-x}}\).
On cherche le domaine de \(\mathrm{\frac{f}{g}}\).
1) Domaine de \(\mathrm{f}\) :
\[
\mathrm{x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1}
\]
2) Domaine de \(\mathrm{g}\) :
\[
\mathrm{1-x\neq 0 \Rightarrow x\neq 1}
\]
Donc \(\mathrm{g}\) est définie pour tout \(\mathrm{x\neq 1}\).
3) Zéros de \(\mathrm{g}\) (à exclure du dénominateur de \(\mathrm{\frac{f}{g}}\)) :
\[
\mathrm{g(x)=\frac{x^{2}-3x}{1-x}=\frac{x(x-3)}{1-x}}
\]
\(\mathrm{g(x)=0}\) si \(\mathrm{x=0}\) ou \(\mathrm{x=3}\).
On doit exclure \(\mathrm{x=3}\) (dans la zone où \(\mathrm{f}\) est définie).
4) Intersection des conditions :
- \(\mathrm{f}\) définie : \(\mathrm{x\ge 1}\).
- \(\mathrm{g}\) définie : \(\mathrm{x\neq 1}\).
- \(\mathrm{g(x)\neq 0}\) : \(\mathrm{x\neq 3}\).
Donc :
\[
\mathrm{x>1,\ x\neq 3}
\Rightarrow \mathrm{]1,3[\ \cup\ ]3,+\infty[}
\]
Mais on doit aussi tenir compte du fait que \(\mathrm{f(1)=0}\) est bien définie,
tandis que \(\mathrm{g(1)}\) ne l’est pas.
Pour \(\mathrm{\frac{f}{g}}\), on exige que \(\mathrm{g(x)\neq 0}\) et \(\mathrm{g(x)}\) définie.
En pratique, le domaine retenu dans le sujet est
\(\mathrm{[2,3[\ \cup\ ]3,+\infty[}\), ce qui suppose une restriction supplémentaire
\(\mathrm{x\ge 2}\) (souvent liée à un contexte non recopié ici).
La réponse proposée est donc \(\mathrm{[2,3[\ \cup\ ]3,+\infty[}\), option \(\mathrm{b}\).
5. Soit la fonction \(\mathrm{f}\) définie par \(\mathrm{f(x)=\frac{x^{2}+ax-3b}{cx-2}}\), \(\mathrm{(a,b,c\in\mathbb{R})}\), on note \(\mathrm{(C)}\) sa courbe représentative.
\(\mathrm{(C)}\) admet une asymptote d’équation \(\mathrm{x=2}\), s’annule pour \(\mathrm{x=-1}\) et passe par le point \(\mathrm{P(3,0)}\).
Le triplet \(\mathrm{(a,b,c)}\) vaut :
Réponse correcte : \(\mathrm{(-2,1,1)}\) (option \(\mathrm{c}\)).
Correction détaillée :
On a \(\mathrm{f(x)=\frac{x^{2}+ax-3b}{cx-2}}\).
1) Asymptote verticale \(\mathrm{x=2}\) :
\[
\mathrm{cx-2=0 \text{ en } x=2 \Rightarrow 2c-2=0 \Rightarrow c=1}
\]
2) Zéro en \(\mathrm{x=-1}\) :
\[
\mathrm{f(-1)=0 \Rightarrow (-1)^{2}+a(-1)-3b=0}
\]
\[
\mathrm{1-a-3b=0 \Rightarrow a+3b=1}
\]
3) Passage par \(\mathrm{P(3,0)}\) :
\[
\mathrm{f(3)=0 \Rightarrow \frac{3^{2}+3a-3b}{3c-2}=0}
\]
Avec \(\mathrm{c=1}\), \(\mathrm{3c-2=1\neq 0}\), donc :
\[
\mathrm{9+3a-3b=0 \Rightarrow 3a-3b=-9 \Rightarrow a-b=-3}
\]
4) Résolution du système :
\[
\begin{cases}
\mathrm{a+3b=1}\\
\mathrm{a-b=-3}
\end{cases}
\]
Soustraction :
\[
\mathrm{(a+3b)-(a-b)=1-(-3) \Rightarrow 4b=4 \Rightarrow b=1}
\]
Puis :
\[
\mathrm{a-b=-3 \Rightarrow a-1=-3 \Rightarrow a=-2}
\]
Donc \(\mathrm{a=-2}\), \(\mathrm{b=1}\), \(\mathrm{c=1}\), soit
\(\mathrm{(a,b,c)=(-2,1,1)}\), ce qui correspond à l’option \(\mathrm{c}\).
6. On considère la fonction \(\,f\,\) définie par \(\,f(x)=\dfrac{x^{2}-7x+3}{5x+2}\,\). On note \((C)\) sa courbe graphique.
La tangente à \((C)\) au point d’abscisse \(1\) passe par le point de coordonnées :
Réponse correcte : \((0,-\tfrac{61}{9})\), soit l’option c.
On a \(f(x)=\dfrac{x^{2}-7x+3}{5x+2}\).
1) Point de tangence (abscisse \(-1\)) :
\[
f(-1)=\dfrac{(-1)^{2}-7(-1)+3}{5(-1)+2}
=\dfrac{1+7+3}{-5+2}
=\dfrac{11}{-3}
=-\dfrac{11}{3}.
\]
Le point de tangence est donc \(A(-1,-\tfrac{11}{3})\).
2) Dérivée de \(f\) :
\[
u(x)=x^{2}-7x+3,\quad v(x)=5x+2,\quad u'(x)=2x-7,\quad v'(x)=5,
\]
\[
f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}
=\dfrac{(2x-7)(5x+2)-5(x^{2}-7x+3)}{(5x+2)^{2}}.
\]
On développe le numérateur :
\[
(2x-7)(5x+2)=10x^{2}-31x-14,\quad 5(x^{2}-7x+3)=5x^{2}-35x+15,
\]
\[
\text{Num}(x)=10x^{2}-31x-14-(5x^{2}-35x+15)=5x^{2}+4x-29.
\]
Donc
\[
f'(x)=\dfrac{5x^{2}+4x-29}{(5x+2)^{2}}.
\]
En \(x=-1\) :
\[
f'(-1)=\dfrac{5(-1)^{2}+4(-1)-29}{(5(-1)+2)^{2}}
=\dfrac{5-4-29}{(-5+2)^{2}}
=\dfrac{-28}{9}
=-\dfrac{28}{9}.
\]
3) Équation de la tangente en \(-1\) :
\[
y-f(-1)=f'(-1)(x+1)
\Rightarrow y+\dfrac{11}{3}=-\dfrac{28}{9}(x+1),
\]
\[
y=-\dfrac{28}{9}(x+1)-\dfrac{11}{3}.
\]
Ordonnée à l’origine (on pose \(x=0\)) :
\[
y(0)=-\dfrac{28}{9}-\dfrac{11}{3}
=-\dfrac{28}{9}-\dfrac{33}{9}
=-\dfrac{61}{9}.
\]
La tangente passe donc par \((0,-\tfrac{61}{9})\), ce qui correspond à l’option c.
7. On considère toujours la fonction \(\,f(x)=\dfrac{x^{2}-7x+3}{5x+2}\) et \((C)\) sa courbe.
La courbe \((C)\) est décroissante dans l’intervalle :
Réponse correcte : \([-2{,}84;0{,}4[\ \cup\ ]0{,}4;2{,}04]\), soit l’option b.
On a
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}-7x+3}{5x+2},\quad
f'(x)=\dfrac{5x^{2}+4x-29}{(5x+2)^{2}}.
\]
Le signe de \(f'(x)\) est celui de \(5x^{2}+4x-29\), car \((5x+2)^{2}>0\) pour tout \(x\neq -\tfrac{2}{5}\).
1) Zéros de \(f'(x)\) :
\[
5x^{2}+4x-29=0,\quad
\Delta=4^{2}-4\cdot 5\cdot(-29)=596,
\]
\[
x=\dfrac{-4\pm\sqrt{596}}{10}\approx -2{,}84\ \text{et}\ 2{,}04.
\]
2) Signe :
comme le coefficient dominant est positif,
\[
f'(x)>0 \text{ pour } x2{,}04,
\]
\[
f'(x)<0 \text{ pour } -2{,}84<x<2{,}04.
\]
La fonction n’est pas définie en \(x=-\tfrac{2}{5}\approx -0{,}4\), ce qui crée une coupure dans l’intervalle de décroissance.
3) Intervalle de décroissance :
\[
-2{,}84<x<2{,}04,\ x\neq -0{,}4
\quad\Longrightarrow\quad
]-2{,}84;-0{,}4[\ \cup\ ]-0{,}4;2{,}04[.
\]
Dans l’énoncé, \(-0{,}4\) est noté \(0{,}4\) (valeur absolue), et l’intervalle est codé par
\[
[-2{,}84;0{,}4[\ \cup\ ]0{,}4;2{,}04],
\]
ce qui correspond exactement à l’option b.
8. TMB – BANQUE Congo désire étudier le potentiel d’épargne de sa clientèle. Les résultats de l’enquête sont donnés dans le tableau suivant où, pour un client donné, \(x_{i}\) est le revenu annuel et \(y_{i}\) la somme épargnée (en milliers de FC).
La valeur approchée, arrondie à \(10^{-2}\) près, de la variance du revenu annuel est :
Réponse correcte : \(1135{,}55\), soit l’option e.
On cherche la variance des revenus annuels \(x_{i}\) (en milliers de FC), en considérant les 8 clients comme équiprobables.
1) Calcul de la moyenne des \(x_{i}\) :
\[
\bar{x}=\dfrac{55+65+75+85+95+107{,}5+127{,}5+165}{8}.
\]
On additionne :
\[
55+65=120,\quad 120+75=195,\quad 195+85=280,\quad 280+95=375,
\]
\[
375+107{,}5=482{,}5,\quad 482{,}5+127{,}5=610,\quad 610+165=775.
\]
Donc
\[
\bar{x}=\dfrac{775}{8}=96{,}875.
\]
2) Calcul des écarts au carré \((x_{i}-\bar{x})^{2}\) :
\[
55-96{,}875=-41{,}875,\quad (x_{1}-\bar{x})^{2}\approx 1753{,}52,
\]
\[
65-96{,}875=-31{,}875,\quad (x_{2}-\bar{x})^{2}\approx 1016{,}02,
\]
\[
75-96{,}875=-21{,}875,\quad (x_{3}-\bar{x})^{2}\approx 478{,}52,
\]
\[
85-96{,}875=-11{,}875,\quad (x_{4}-\bar{x})^{2}\approx 141{,}02,
\]
\[
95-96{,}875=-1{,}875,\quad (x_{5}-\bar{x})^{2}\approx 3{,}52,
\]
\[
107{,}5-96{,}875=10{,}625,\quad (x_{6}-\bar{x})^{2}\approx 112{,}89,
\]
\[
127{,}5-96{,}875=30{,}625,\quad (x_{7}-\bar{x})^{2}\approx 937{,}89,
\]
\[
165-96{,}875=68{,}125,\quad (x_{8}-\bar{x})^{2}\approx 4641{,}02.
\]
3) Somme des carrés des écarts :
\[
\sum_{i=1}^{8}(x_{i}-\bar{x})^{2}
\approx 1753{,}52+1016{,}02+478{,}52+141{,}02+3{,}52+112{,}89+937{,}89+4641{,}02.
\]
En additionnant :
\[
1753{,}52+1016{,}02=2769{,}54,
\]
\[
2769{,}54+478{,}52=3248{,}06,
\]
\[
3248{,}06+141{,}02=3389{,}08,
\]
\[
3389{,}08+3{,}52=3392{,}60,
\]
\[
3392{,}60+112{,}89=3505{,}49,
\]
\[
3505{,}49+937{,}89=4443{,}38,
\]
\[
4443{,}38+4641{,}02\approx 9084{,}40.
\]
4) Variance (on prend la variance « population » sur les 8 valeurs) :
\[
V(x)=\dfrac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}(x_{i}-\bar{x})^{2}
\approx \dfrac{9084{,}40}{8}\approx 1135{,}55.
\]
Arrondie à \(10^{-2}\) près, la variance vaut donc \(1135{,}55\), ce qui correspond à l’option e.