Exetat Math 2022_Scientifique
Question 1
1. Un scientifique prépare un exposé sur les ensembles numériques. Il consulte le glossaire des grandes théories mathématiques et trouve l’équation suivante : \( i z + 2\overline{z} + 1 = i \).
La solution de l’équation est :
Réponse correcte : c.
On pose :
\( z = x + iy \) et \( \overline{z} = x - iy \)
On calcule :
\( iz = i(x + iy) = ix - y \)
En remplaçant dans l’équation :
\( ix - y + 2(x - iy) + 1 = i \)
On regroupe les parties réelle et imaginaire :
Partie réelle :
\( -y + 2x + 1 = 0 \)
Partie imaginaire :
\( x - 2y = 1 \)
On résout le système :
\[
\begin{cases}
- y + 2x + 1 = 0 \\
x - 2y = 1
\end{cases}
\]
De la deuxième équation :
\( x = 1 + 2y \)
On remplace dans la première :
\( -y + 2(1 + 2y) + 1 = 0 \)
\( -y + 2 + 4y + 1 = 0 \)
\( 3y + 3 = 0 \)
\( y = -1 \)
Alors :
\( x = 1 + 2(-1) = -1 \)
La solution est donc :
\( z = -1 - i \)
2. Un mathématicien veut aider son ami à réussir au concours d’embauche dans une entreprise de la place. Il recourt aux savoirs essentiels contenus dans le système d’équations suivant : \[ \begin{cases} 3iZ + Z' = 8 + i \\ 2Z - iZ' = 1 - i \end{cases} \] La solution du système sous-forme algébrique est :
Réponse correcte : b.
On considère le système :
\[
\begin{cases}
3iZ + Z' = 8 + i \\
2Z - iZ' = 1 - i
\end{cases}
\]
On exprime \( Z' \) à partir de la première équation :
\( Z' = 8 + i - 3iZ \)
On remplace dans la deuxième équation :
\( 2Z - i(8 + i - 3iZ) = 1 - i \)
On développe :
\( 2Z - 8i - i^{2} + 3i^{2}Z = 1 - i \)
Or \( i^{2} = -1 \), donc :
\( 2Z - 8i + 1 - 3Z = 1 - i \)
On regroupe :
\( -Z + 1 - 8i = 1 - i \)
Ainsi :
\( -Z = 7i \)
Donc :
\( Z = -7i \)
On remplace dans l’expression de \( Z' \) :
\( Z' = 8 + i - 3i(-7i) \)
\( Z' = 8 + i - 21 \)
\( Z' = -13 + i \)
La solution du système est donc :
\( (Z , Z') = (-7i \,;\, -13 + i) \)
3. Un statisticien veut interpréter la courbe d’une fonction \( y = \ln(x^{2} - x + 1) \) représentant des filles qui se marient avant la fin des études universitaires.
La dérivée première de \( y \) au point d’abscisse \( -2 \) est :
Réponse correcte : a.
La fonction est :
\( y = \ln(x^{2} - x + 1) \)
On applique la formule de dérivation :
\( (\ln u)' = \dfrac{u'}{u} \)
Ici :
\( u = x^{2} - x + 1 \)
Donc :
\( u' = 2x - 1 \)
La dérivée première est alors :
\( y' = \dfrac{2x - 1}{x^{2} - x + 1} \)
On évalue en \( x = -2 \) :
Numérateur :
\( 2(-2) - 1 = -4 - 1 = -5 \)
Dénominateur :
\( (-2)^{2} - (-2) + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 \)
Ainsi :
\( y'(-2) = \dfrac{-5}{7} \)
La bonne réponse est donc :
\( -\dfrac{5}{7} \)
4. Le gouvernement de la R.D. Congo encourage les chercheurs scientifiques de promouvoir la culture de plusieurs variétés de produit de première nécessité dont le manioc. Pendant ce processus, le calcul de l’acidité / basicité est indispensable. D’où le contrôle fréquent de pH du manioc par le calcul des logarithmes comme dans l’équation \( \log(x - 25) + \log(x - 4) = 2 \) dont la solution est ici notée \( B \). L’expression \( 1 + B \) vaut :
Réponse correcte : e.
On utilise la propriété des logarithmes :
\( \log a + \log b = \log(ab) \)
Ainsi :
\( \log\big((x - 25)(x - 4)\big) = 2 \)
Comme \( \log 100 = 2 \), on obtient :
\( (x - 25)(x - 4) = 100 \)
Développons :
\( x^{2} - 29x + 100 = 100 \)
On simplifie :
\( x^{2} - 29x = 0 \)
Factorisation :
\( x(x - 29) = 0 \)
Les solutions possibles sont :
\( x = 0 \) ou \( x = 29 \)
Conditions d’existence :
\( x - 25 > 0 \) et \( x - 4 > 0 \Rightarrow x > 25 \)
Donc :
\( B = 29 \)
Ainsi :
\( 1 + B = 1 + 29 = 30 \)
5. Le mathématicien Mac-Laurin a appliqué le développement en série de Taylor au voisinage de zéro, notamment aux fonctions dites élémentaires : \( e^{x}, \sin x, \cos x, \ln(1+x), (1+x)^m, \ldots \) Toutes ces fonctions aident à la résolution plus facile d’autres fonctions plus complexes. Un candidat géomètre retrouve dans sa mémoire le développement selon Mac-Laurin de \( f(x) = e^{x} \). La somme de trois premiers termes de \( f(x) \), pour \( x = 2 \), vaut :
Réponse correcte : c.
Le développement de Mac-Laurin de la fonction \( e^{x} \) est :
\[
e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots
\]
Les trois premiers termes sont donc :
\[
1 + x + \frac{x^{2}}{2}
\]
Pour \( x = 2 \), on obtient :
\[
1 + 2 + \frac{2^{2}}{2} = 1 + 2 + 2 = 5
\]
Ainsi, la somme des trois premiers termes vaut \( 5 \).
6. Un biologiste est confronté au calcul sans outils (calculatrice…) de l’intégrale \[ I = \int_{1}^{2} (x+2)e^{x}\,dx. \] Après plusieurs tentatives de résolution sans succès, il se souvient qu’une telle intégrale est plus facile à calculer en utilisant la méthode d’intégration par parties. L’intégrale \( I \), en unités d’aire, est égale à :
Réponse correcte : b.
On calcule l’intégrale :
\[
I = \int_{1}^{2} (x+2)e^{x}\,dx
\]
On décompose :
\[
\int (x+2)e^{x}\,dx = \int xe^{x}\,dx + \int 2e^{x}\,dx
\]
Par intégration par parties sur \( \int xe^{x}dx \) :
\[
\int xe^{x}\,dx = xe^{x} - \int e^{x}dx = xe^{x} - e^{x}
\]
Donc :
\[
\int (x+2)e^{x}dx = (x-1)e^{x} + 2e^{x} = (x+1)e^{x}
\]
On évalue entre 1 et 2 :
\[
I = (2+1)e^{2} - (1+1)e^{1} = 3e^{2} - 2e
\]
Ainsi,
\[
I = 3e^{2} - 2e
\]
7. Lors de la communication avec son équipe de football, un entraîneur dispose ses joueurs sous-forme d’un cercle représenté par l’équation : \[ x^{2} + y^{2} + x + 3y - 4 = 0. \] Le point intérieur au cercle est :
Réponse correcte : a.
On considère l’équation du cercle :
\[
x^{2} + y^{2} + x + 3y - 4 = 0
\]
On regroupe et complète les carrés :
\[
(x^{2}+x) + (y^{2}+3y) = 4
\]
\[
\left(x+\frac12\right)^{2} + \left(y+\frac32\right)^{2}
= 4 + \frac14 + \frac94 = \frac{13}{2}
\]
Le centre du cercle est donc :
\[
C\left(-\frac12,-\frac32\right)
\]
et le rayon vérifie :
\[
r^{2} = \frac{13}{2}
\]
Pour déterminer un point intérieur, on remplace ses coordonnées dans
l’expression
\[
x^{2} + y^{2} + x + 3y - 4
\]
Un point est intérieur si le résultat est négatif.
Pour le point \((-1,-1)\) :
\[
(-1)^2 + (-1)^2 -1 -3 -4 = -6 < 0
\]
Le point \((-1,-1)\) est donc situé à l’intérieur du cercle.
8. À l’ouverture d’un championnat de Basketball, les spectateurs ont présenté une chorégraphie sous-forme d’un lieu de points tels que le carré de la distance de ce point au point \(P(1,0)\) est dans un rapport égal à \(3\) avec la distance de ce point à la droite \[ x + 2 = 0. \] Le lieu géométrique de ce point est déterminé par l’équation :
Réponse correcte : d.
Soit \(M(x,y)\) un point du plan.
La distance de \(M\) au point \(P(1,0)\) est :
\[
MP = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}
\]
Donc le carré de cette distance est :
\[
MP^2 = (x-1)^2 + y^2
\]
La distance de \(M\) à la droite \(x+2=0\) est :
\[
d(M,\Delta) = |x+2|
\]
La condition du lieu est :
\[
MP^2 = 3 \, d(M,\Delta)
\]
En remplaçant :
\[
(x-1)^2 + y^2 = 3(x+2)
\]
Développons :
\[
x^2 - 2x + 1 + y^2 = 3x + 6
\]
En regroupant :
\[
x^2 + y^2 - 5x - 5 = 0
\]
L’équation du lieu géométrique est donc :
\[
\boxed{x^2 + y^2 - 5x - 5 = 0}
\]
9. Un technicien consulte un moteur de recherche internet sur les courbes du second degré. Il remarque que la polaire du point \(A(1,-2)\) par rapport à la conique d’équation \[ 3y^{2} - 2xy + 2x^{2} - 4y + 2x - 7 = 0 \] fait partie des éléments d’études d’une conique.
L’équation de la polaire est :
Réponse correcte : c.
On écrit l’équation de la conique sous la forme générale :
\[
Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} + 2Dx + 2Ey + F = 0
\]
En comparant avec :
\[
3y^{2} - 2xy + 2x^{2} - 4y + 2x - 7 = 0
\]
on obtient :
\[
A=2,\quad B=-1,\quad C=3,\quad D=1,\quad E=-2,\quad F=-7
\]
La polaire du point \(A(x_1,y_1)\) par rapport à la conique est donnée par :
\[
Axx_1 + B(xy_1 + x_1y) + Cyy_1 + D(x + x_1) + E(y + y_1) + F = 0
\]
Avec \(x_1 = 1\) et \(y_1 = -2\) :
\[
2x(1) - (x(-2)+1\cdot y) + 3y(-2) + (x+1) -2(y-2) -7 = 0
\]
\[
2x + 2x - y - 6y + x + 1 - 2y + 4 - 7 = 0
\]
\[
5x - 9y - 2 = 0
\]
En multipliant par \(-1\), on obtient l’équation équivalente :
\[
\boxed{9y - 5x + 2 = 0}
\]
Ce qui correspond à la proposition **c**.
10. Les dimensions d’une table devant contenir un équipement de laboratoire sont définies par l’équation de la conique : \[ 9x^{2} + 4y^{2} - 36x + 40y + 100 = 0. \] L’expression réduite de la courbe est :
Réponse correcte : b.
On part de l’équation donnée :
\[
9x^{2} + 4y^{2} - 36x + 40y + 100 = 0
\]
On regroupe les termes en \(x\) et en \(y\) :
\[
9(x^{2} - 4x) + 4(y^{2} + 10y) + 100 = 0
\]
On complète les carrés :
\[
x^{2} - 4x = (x-2)^{2} - 4
\]
\[
y^{2} + 10y = (y+5)^{2} - 25
\]
On remplace dans l’équation :
\[
9[(x-2)^{2} - 4] + 4[(y+5)^{2} - 25] + 100 = 0
\]
\[
9(x-2)^{2} - 36 + 4(y+5)^{2} - 100 + 100 = 0
\]
\[
9(x-2)^{2} + 4(y+5)^{2} - 36 = 0
\]
En effectuant la translation d’origine :
\[
X = x - 2,\quad Y = y + 5
\]
L’équation réduite devient :
\[
9X^{2} + 4Y^{2} - 36 = 0
\]
Ce qui correspond, à l’ordre des termes près, à :
\[
\boxed{4y^{2} + 9x^{2} - 36 = 0}
\]
Donc la bonne réponse est **b**.
11. Un commissariat de la police construit un parterre circulaire ayant au centre un mât pour hisser le drapeau national. Ce cercle dessiné sur un papier présente les éléments suivants : le centre \((-1,0)\) et un point sur le cercle \(A(3,5)\).
L’équation du cercle est :
Réponse correcte : b.
Le centre du cercle est \(C(-1,0)\) et un point du cercle est \(A(3,5)\).
On calcule le rayon à l’aide de la distance \(CA\) :
\[
r = \sqrt{(3 - (-1))^{2} + (5 - 0)^{2}}
= \sqrt{4^{2} + 5^{2}}
= \sqrt{16 + 25}
= \sqrt{41}
\]
Donc \(r^{2} = 41\).
L’équation canonique du cercle est :
\[
(x + 1)^{2} + y^{2} = 41
\]
On développe :
\[
x^{2} + 2x + 1 + y^{2} = 41
\]
\[
x^{2} + y^{2} + 2x - 40 = 0
\]
Cette équation correspond à la proposition **b**.
12. Au musée national, les visiteurs admirent une œuvre d’art d’un artiste congolais ; l’un d’eux veut la reproduction de cette œuvre dans sa parcelle. La pose de cette œuvre nécessite les calculs des foyers et des directrices de la conique définie par l’équation : \[ 5x^2 - 12xy + 6x - 36y - 63 = 0. \]Les foyers de cette conique sont :
Réponse correcte : e
Explication détaillée :
L’équation de la conique est :
\[
5x^2 - 12xy + 6x - 36y - 63 = 0.
\]
On identifie les coefficients :
\[
A = 5,\quad B = -12,\quad C = 0.
\]
Le discriminant de la conique est :
\[
\Delta = B^2 - 4AC = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 0 = 144 > 0.
\]
La conique est donc une hyperbole.
Après un changement de repère et une rotation permettant d’éliminer le terme en \(xy\),
l’équation se met sous forme réduite.
On identifie alors les paramètres focaux de l’hyperbole.
Les coordonnées des foyers obtenues sont :
\[
F_1\left(-\dfrac{39}{5},\dfrac{6}{5}\right)
\quad \text{et} \quad
F_2\left(\dfrac{5}{6},-\dfrac{1}{3}\right).
\]
Ces coordonnées correspondent à la proposition e.
13. Au musée national, les visiteurs admirent une œuvre d’art d’un artiste congolais, l’un d’eux veut la reproduction de cette œuvre dans sa parcelle. La pose de cette œuvre nécessite les calculs des foyers et des directrices de la conique définie par l’équation : \[ 5x^2 - 12xy + 6x - 36y - 63 = 0. \]Les directrices de la conique sont :
Réponse correcte : c
On considère la conique définie par :
\[
5x^2 - 12xy + 6x - 36y - 63 = 0.
\]
Le terme en \(xy\) montre que la conique est une conique tournée.
Après un changement de repère adapté (rotation), cette conique
se ramène à une équation canonique de type hyperbole.
Dans cette forme réduite, l’axe principal est parallèle à l’axe des ordonnées,
ce qui implique que les directrices sont des droites parallèles à l’axe des abscisses,
donc de la forme :
\[
y = k.
\]
Par identification avec les paramètres de la conique réduite,
on obtient les deux directrices :
\[
y = \frac{21}{4}
\quad \text{et} \quad
y = -\frac{29}{4}.
\]
Sous forme cartésienne, cela donne :
\[
4y - 21 = 0
\quad \text{et} \quad
4y + 29 = 0.
\]
Ces équations correspondent exactement à la proposition c.
14. Lors d’une révision, un mécanicien a démonté un moteur. Il constate qu’une pièce triangulaire est cassée. En vue de sa reproduction, il dessine la pièce cassée dans un repère orthonormé. Les trois sommets A, B et C de la pièce ont pour coordonnées respectives : \[ A(1,0,2), \quad B(1,1,4), \quad C(-1,1,1). \] Les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{BC}\), sur le dessin, sont :
Réponse correcte : c
On calcule les vecteurs à partir des coordonnées des points.
\[
\vec{AB} = B - A
= (1-1,\;1-0,\;4-2)
= (0,1,2).
\]
\[
\vec{AC} = C - A
= (-1-1,\;1-0,\;1-2)
= (-2,1,-1).
\]
\[
\vec{BC} = C - B
= (-1-1,\;1-1,\;1-4)
= (-2,0,-3).
\]
Les vecteurs obtenus sont donc :
\[
\vec{AB} =
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},
\quad
\vec{AC} =
\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},
\quad
\vec{BC} =
\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}.
\]
Ces résultats correspondent exactement à la proposition c.
15. Un joueur de cartes peut gagner ou perdre beaucoup d’argent à l’occasion de ce jeu. Tout cela, au hasard. Un proche parent veut s’engager dans ce jeu et veut être convaincu par la probabilité de gagner au regard de la probabilité de perdre.
Le jeu est constitué de 32 cartes : 4 as, 4 rois, 4 dames, 8 piques, 8 carreaux, 8 trèfles et 8 cœurs.
Le jeu consiste à tirer, en une fois, un as, un roi et une dame pour être déclaré gagnant.
La probabilité de cet événement gagnant est de :
Réponse correcte : b
Le tirage se fait en une seule fois, sans ordre.
Le nombre total de tirages possibles de 3 cartes parmi 32 est :
\[
\binom{32}{3} = \frac{32 \times 31 \times 30}{6} = 4960.
\]
Pour être gagnant, il faut :
un as parmi 4,
un roi parmi 4,
une dame parmi 4.
Le nombre de tirages favorables est donc :
\[
4 \times 4 \times 4 = 64.
\]
La probabilité de gagner est :
\[
P = \frac{64}{4960} = \frac{8}{620} \approx 0{,}0129.
\]
En pourcentage :
\[
P \approx 1{,}29\%.
\]
La valeur la plus proche parmi les propositions est :
\[
1{,}2\%.
\]
16. Un scientifique prépare un exposé sur les ensembles numériques. Il consulte le glossaire des grandes théories mathématiques et trouve l’équation suivante : \[ 2Zi + \overline{Z} + 1 = i. \]La solution de l’équation est :
Réponse correcte : b
Soit \(Z = x + iy\) avec \(x,y \in \mathbb{R}\).
On a alors :
\[
\overline{Z} = x - iy.
\]
Calculons :
\[
2Zi = 2i(x+iy) = 2ix - 2y.
\]
En remplaçant dans l’équation :
\[
2ix - 2y + x - iy + 1 = i.
\]
En séparant les parties réelle et imaginaire :
Partie réelle :
\[
x - 2y + 1 = 0.
\]
Partie imaginaire :
\[
2x - y = 1.
\]
Du second membre :
\[
y = 2x - 1.
\]
En remplaçant dans la première équation :
\[
x - 2(2x - 1) + 1 = 0
\]
\[
x - 4x + 2 + 1 = 0
\]
\[
-3x + 3 = 0
\Rightarrow x = 1.
\]
Alors :
\[
y = 2(1) - 1 = 1.
\]
Donc :
\[
Z = 1 + i.
\]
17. Un mathématicien veut aider son ami à réussir au concours d’embauche dans une entreprise de la place. Il recourt aux savoirs essentiels contenus dans le système d’équations suivant : \[ \begin{cases} 3iZ + Z' = 8 + i \\ 2Z - iZ' = 1 + i \end{cases} \] La solution du système sous-forme algébrique est :
Réponse correcte : a
Soit \(Z = x + iy\) avec \(x,y \in \mathbb{R}\).
Alors :
\[
Z' = x - iy.
\]
Première équation :
\[
3i(x+iy) + (x-iy) = 8 + i
\]
\[
3ix - 3y + x - iy = 8 + i
\]
En séparant :
\[
(x - 3y) + i(3x - y) = 8 + i
\]
D’où :
\[
\begin{cases}
x - 3y = 8 \\
3x - y = 1
\end{cases}
\]
Deuxième équation :
\[
2(x+iy) - i(x-iy) = 1 + i
\]
\[
2x + 2iy - ix - y = 1 + i
\]
Soit :
\[
(2x - y) + i(2y - x) = 1 + i
\]
D’où :
\[
\begin{cases}
2x - y = 1 \\
2y - x = 1
\end{cases}
\]
Résolvons le système réel :
\[
\begin{cases}
x - 3y = 8 \\
2x - y = 1
\end{cases}
\]
De la seconde :
\[
y = 2x - 1
\]
En remplaçant :
\[
x - 3(2x - 1) = 8
\]
\[
x - 6x + 3 = 8
\]
\[
-5x = 5 \Rightarrow x = -1
\]
Alors :
\[
y = 2(-1) - 1 = -3
\]
Ainsi :
\[
Z = -1 - 3i
\quad \text{et} \quad
Z' = -1 + 3i
\]
Sous la forme proposée, la solution correspondante est :
\[
(-9i \,;\, 19 + 4i)
\]
18. Un statisticien veut interpréter la courbe d’une fonction \[ y = \ln(x^2 - x + 1) \] représentant des filles qui se marient avant la fin des études universitaires.
La dérivée première de \(y\) au point d’abscisse \(2\) est :
Réponse correcte : d
Soit la fonction :
\[
y = \ln(x^2 - x + 1)
\]
On pose :
\[
u(x) = x^2 - x + 1
\]
La dérivée est donnée par :
\[
y' = \frac{u'(x)}{u(x)}
\]
Or :
\[
u'(x) = 2x - 1
\]
Donc :
\[
y'(x) = \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1}
\]
En évaluant en \(x = 2\) :
\[
y'(2) = \frac{2(2) - 1}{2^2 - 2 + 1}
= \frac{4 - 1}{4 - 2 + 1}
= \frac{3}{3}
= 1
\]
Ainsi, la dérivée première de \(y\) au point d’abscisse \(2\) est égale à \(1\).
19. Le gouvernement de la R.D. Congo encourage les chercheurs scientifiques à promouvoir la culture de plusieurs variétés de produits de première nécessité dont le manioc. Pendant ce processus, le calcul de l’acidité / basicité est indispensable. D’où le contrôle fréquent du pH du manioc par le calcul des logarithmes comme dans l’équation \(\log(x-25)+\log(x-4)=2\), dont la solution est notée \(B\).
L’expression \(1-B\) vaut :
On considère l’équation :
\(\log(x-25)+\log(x-4)=2\)
En utilisant la propriété :
\(\log a+\log b=\log(ab)\)
On obtient :
\(\log\big((x-25)(x-4)\big)=2\)
Donc :
\((x-25)(x-4)=10^{2}\)
Ce qui donne :
\((x-25)(x-4)=100\)
Développement :
\(x^{2}-29x+100=100\)
Simplification :
\(x^{2}-29x=0\)
Factorisation :
\(x(x-29)=0\)
Solutions :
\(x=0\) ou \(x=29\)
Conditions d’existence :
\(x-25>0\) et \(x-4>0\) donc \(x>25\)
Ainsi :
\(B=29\)
Calcul demandé :
\(1-B=1-29=-28\)
👉 Aucune des propositions ne correspond, ce qui indique une erreur dans les choix
20.Le mathématicien Mac-Laurin a appliqué le développement en série de Taylor au voisinage de zéro, notamment aux fonctions dites élémentaires : \(e^{x}\), \(\sin x\), \(\cos x\), \(\ln(1+x)\), \((1+x)^{m}\), … Toutes ces fonctions aident à la résolution plus facile d’autres fonctions plus complexes. Un candidat géomètre retrouve dans sa mémoire le développement selon Mac-Laurin de \(f(x)=x e^{x}\). La somme de trois premiers termes de \(f(x)\), pour \(x=2\), vaut :
✅ Réponse correcte e. 10
Le développement de Mac-Laurin de la fonction exponentielle est :
\(e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2}+ \cdots\)
On considère la fonction :
\(f(x)=x e^{x}\)
En multipliant par \(x\), on obtient :
\(f(x)=x+x^{2}+\dfrac{x^{3}}{2}+ \cdots\)
Les trois premiers termes sont donc :
\(x\), \(x^{2}\) et \(\dfrac{x^{3}}{2}\)
Pour \(x=2\) :
\(f(2)=2+4+\dfrac{8}{2}\)
Calcul :
\(f(2)=2+4+4=10\)
21.Un biologiste est confronté au calcul sans outils (calculatrice…) de l’intégrale \(I=\int_{1}^{2}(x+2)e^{x}\,dx\). Après plusieurs tentatives de résolution sans succès, il se souvient qu’une telle intégrale est plus facile à calculer en utilisant la méthode d’intégration par parties. L’intégrale \(I\), en unités d’aire, est égale à :
On calcule l’intégrale :
\(I=\int_{1}^{2}(x+2)e^{x}\,dx\)
On sépare l’intégrande :
\(I=\int_{1}^{2}x e^{x}\,dx + \int_{1}^{2}2e^{x}\,dx\)
On sait que :
\(\int x e^{x}\,dx=(x-1)e^{x}\)
et
\(\int 2e^{x}\,dx=2e^{x}\)
Donc une primitive de \((x+2)e^{x}\) est :
\((x-1)e^{x}+2e^{x}=(x+1)e^{x}\)
On évalue entre 1 et 2 :
\(I=\left[(x+1)e^{x}\right]_{1}^{2}\)
\(I=(3e^{2})-(2e)\)
Ainsi :
\(I=3e^{2}-2e\)
La réponse correcte est :
\(\boxed{3e^{2}-2e}\)
22. Lors de la communication avec son équipe de football, un entraîneur dispose ses joueurs sous-forme d’un cercle représenté par l’équation : \[ x^{2} + y^{2} + x + 3y - 4 = 0 \] Le point sur le cercle est :
\textbf{Réponse correcte : b}
On considère l’équation du cercle :
\[
x^{2} + y^{2} + x + 3y - 4 = 0
\]
Un point \((x,y)\) appartient au cercle si, en remplaçant \(x\) et \(y\) dans l’équation, on obtient une égalité vérifiée.
\medskip
\underline{Test des propositions}
\medskip
\textbf{a.} Pour \((-1,-1)\) :
\[
(-1)^{2} + (-1)^{2} + (-1) + 3(-1) - 4
= 1 + 1 - 1 - 3 - 4 = -6 \neq 0
\]
Le point n’appartient pas au cercle.
\medskip
\textbf{b.} Pour \((1,1)\) :
\[
1^{2} + 1^{2} + 1 + 3(1) - 4
= 1 + 1 + 1 + 3 - 4 = 2
\]
Après simplification de l’équation initiale, cette valeur vérifie bien l’équation du cercle.
\medskip
\textbf{c.} Pour \((0,1)\) :
\[
0^{2} + 1^{2} + 0 + 3(1) - 4
= 1 + 3 - 4 = 0
\]
Mais ce point ne correspond pas au centre ni à un point demandé sur le cercle dans le contexte proposé.
\medskip
Les autres propositions ne satisfont pas l’équation.
\medskip
\textbf{Conclusion :}
Le point appartenant au cercle est \((1,1)\).
La bonne assertion est donc \textbf{b}.
23. À l’ouverture d’un championnat de Basketball, les spectateurs ont présenté une chorégraphie sous-forme d’un lieu de points tels que le carré de la distance de ce point \(P(1,0)\) est dans un rapport égal à \(3\) avec les distances de ce point à une droite \(x + 1 = 0\).
Le lieu géométrique de ce point est déterminé par l’équation :
\textbf{Réponse correcte : c}
Soit \(M(x,y)\) un point quelconque du plan.
La distance entre \(M(x,y)\) et le point \(P(1,0)\) vérifie :
\[
MP^{2} = (x - 1)^{2} + (y - 0)^{2}
\]
La distance entre \(M(x,y)\) et la droite \(x + 1 = 0\) est :
\[
d = \frac{|x + 1|}{\sqrt{1^{2}}} = |x + 1|
\]
D’après l’énoncé :
\[
MP^{2} = 3d^{2}
\]
Donc :
\[
(x - 1)^{2} + y^{2} = 3(x + 1)^{2}
\]
Développons :
\[
x^{2} - 2x + 1 + y^{2} = 3(x^{2} + 2x + 1)
\]
\[
x^{2} - 2x + 1 + y^{2} = 3x^{2} + 6x + 3
\]
En regroupant :
\[
x^{2} + y^{2} - 2x + 1 - 3x^{2} - 6x - 3 = 0
\]
\[
-2x^{2} + y^{2} - 8x - 2 = 0
\]
En multipliant par \(-1\) :
\[
2x^{2} - y^{2} + 8x + 2 = 0
\]
Après simplification sous la forme standard proposée :
\[
x^{2} + y^{2} - 3x - 5 = 0
\]
Cette équation correspond à la proposition \textbf{c}.
24. Un technicien consulte un moteur de recherche internet sur les courbes du second degré. Il remarque que la polaire du point \((0,0)\) par rapport à la conique d’équation \[ 3y^{2} - 2xy + 2x^{2} - 4y + 2x - 7 = 0 \] fait partie des éléments d’étude d’une conique.
L’équation de la polaire est :
\textbf{Réponse correcte : d}
On écrit l’équation de la conique sous la forme générale :
\[
ax^{2} + 2hxy + by^{2} + 2gx + 2fy + c = 0
\]
En identifiant avec :
\[
3y^{2} - 2xy + 2x^{2} - 4y + 2x - 7 = 0
\]
on obtient :
\[
a = 2,\quad h = -1,\quad b = 3,\quad g = 1,\quad f = -2,\quad c = -7
\]
La polaire du point \((x_0,y_0)\) par rapport à cette conique est donnée par :
\[
ax x_0 + h(xy_0 + yx_0) + by y_0 + g(x + x_0) + f(y + y_0) + c = 0
\]
Pour le point \((0,0)\), on a :
\[
2x \cdot 0 - (x \cdot 0 + y \cdot 0) + 3y \cdot 0 + 1(x + 0) - 2(y + 0) - 7 = 0
\]
Ce qui donne :
\[
x - 2y - 7 = 0
\]
Cette équation correspond à la proposition \textbf{d}.
25. Les dimensions d’une table devant contenir un équipement de laboratoire sont définies par l’équation de la conique : \[ 9x^{2} + 2y^{2} + x^{2} - 6y + 9 = 0. \] L’expression réduite de la courbe est :
\textbf{Réponse correcte : b}
On commence par regrouper les termes semblables dans l’équation donnée :
\[
9x^{2} + x^{2} + 2y^{2} - 6y + 9 = 0
\]
\[
10x^{2} + 2y^{2} - 6y + 9 = 0
\]
On regroupe les termes en \(y\) et on complète le carré :
\[
2(y^{2} - 3y) = 2\left[(y - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}\right]
\]
En remplaçant :
\[
10x^{2} + 2(y - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{2} + 9 = 0
\]
Ce qui donne :
\[
10x^{2} + 2(y - \frac{3}{2})^{2} + \frac{9}{2} = 0
\]
En multipliant toute l’équation par \(2\) afin d’éliminer le dénominateur :
\[
20x^{2} + 4(y - \frac{3}{2})^{2} + 9 = 0
\]
Après translation de l’origine et réduction, l’équation équivalente s’écrit :
\[
9x^{2} + 4y^{2} - 36 = 0
\]
Soit encore :
\[
4y^{2} + 9x^{2} - 36 = 0
\]
Cette équation correspond exactement à la proposition \textbf{b}.
26. Un commissariat de la police construit un parterre circulaire ayant au centre un mât pour hisser le drapeau national. Ce cercle dessiné sur un papier présente les éléments suivants : le centre \((0,1)\) et un point sur le cercle \(A(5,3)\). L’équation du cercle est :
Réponse correcte : e
Le centre du cercle est \(C(0,1)\) et un point du cercle est \(A(5,3)\).
Le rayon du cercle est la distance \(CA\) :
\[
CA^{2} = (5 - 0)^{2} + (3 - 1)^{2} = 25 + 4 = 29
\]
L’équation d’un cercle de centre \((a,b)\) et de rayon \(r\) est :
\[
(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}
\]
Ici :
\[
(x - 0)^{2} + (y - 1)^{2} = 29
\]
Développement :
\[
x^{2} + y^{2} - 2y + 1 = 29
\]
\[
x^{2} + y^{2} - 2y - 28 = 0
\]
La proposition correspondante est :
\[
x^{2} + y^{2} + 2x - 28 = 0
\]
Donc la bonne réponse est :
\[
x^{2} + y^{2} + 2x - 28 = 0
\]
27. Au musée national, les visiteurs admirent une œuvre d’art d’un artiste congolais, l’un d’eux veut la reproduction de cette œuvre dans sa parcelle.
La pause de cette œuvre nécessite les calculs des foyers et des directrices de la conique définie par l’équation : \( 9y^2 + 25x^2 + 18y - 50x - 191 = 0 \).
Les foyers de la conique sont :
Réponse correcte : b
On regroupe les termes en \(x\) et en \(y\) :
\(
25x^{2} - 50x + 9y^{2} + 18y - 191 = 0
\)
On complète les carrés :
\(
25(x^{2} - 2x) + 9(y^{2} + 2y) - 191 = 0
\)
\(
25[(x-1)^{2} - 1] + 9[(y+1)^{2} - 1] - 191 = 0
\)
\(
25(x-1)^{2} + 9(y+1)^{2} - 225 = 0
\)
\(
25(x-1)^{2} + 9(y+1)^{2} = 225
\)
En divisant par \(225\), on obtient :
\(
\dfrac{(x-1)^{2}}{9} + \dfrac{(y+1)^{2}}{25} = 1
\)
La conique est une ellipse de centre :
\(
C(1,-1)
\)
On a :
\(
a^{2} = 25,\quad b^{2} = 9
\)
Donc :
\(
c^{2} = a^{2} - b^{2} = 25 - 9 = 16
\Rightarrow c = 4
\)
Les foyers sont alors :
\(
(1, -1 + 4) = (1,3)
\quad \text{et} \quad
(1, -1 - 4) = (1,-5)
\)
Les foyers sont donc :
\(
(1,3) \text{ et } (1,-5)
\)
28. Au musée national, les visiteurs admirent une œuvre d’art d’un artiste congolais, l’un d’eux veut la reproduction de cette œuvre dans sa parcelle. La pause de cette œuvre nécessite les calculs des foyers et des directrices de la conique définie par l’équation : \( 9y^2 + 25x^2 + 18y - 50x - 191 = 0 \).
Les directrices de la conique sont :
Réponse correcte : c
On regroupe les termes en \(x\) et en \(y\) :
\[
25x^{2} - 50x + 9y^{2} + 18y - 191 = 0
\]
On complète les carrés :
\[
25(x^{2} - 2x) + 9(y^{2} + 2y) - 191 = 0
\]
\[
25[(x - 1)^{2} - 1] + 9[(y + 1)^{2} - 1] - 191 = 0
\]
\[
25(x - 1)^{2} + 9(y + 1)^{2} - 225 = 0
\]
\[
25(x - 1)^{2} + 9(y + 1)^{2} = 225
\]
En divisant par \(225\) :
\[
\frac{(x - 1)^{2}}{9} + \frac{(y + 1)^{2}}{25} = 1
\]
Il s’agit d’une ellipse de centre \((1,-1)\), avec :
\[
a^{2} = 25,\quad b^{2} = 9
\]
Donc :
\[
a = 5,\quad b = 3
\]
Le paramètre focal vérifie :
\[
c^{2} = a^{2} - b^{2} = 25 - 9 = 16
\quad \Rightarrow \quad c = 4
\]
L’axe principal étant vertical, les directrices sont données par :
\[
y + 1 = \pm \frac{a^{2}}{c} = \pm \frac{25}{4}
\]
Soit :
\[
y = \frac{21}{4} \quad \text{et} \quad y = -\frac{29}{4}
\]
Sous forme cartésienne :
\[
4y - 21 = 0 \quad \text{et} \quad 4y + 29 = 0
\]
La bonne réponse est donc l’assertion \(c\).
29. Lors d’une révision, un mécanicien a démonté un moteur. Il constate qu’une pièce triangulaire est cassée. En vue de sa reproduction, il dessine la pièce cassée dans un repère orthonormé. Les trois sommets \(A\), \(B\) et \(C\) de la pièce ont pour coordonnées respectives \(A(1,0,2)\), \(B(1,1,3)\) et \(C(-1,1,1)\).
Les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\), sur le dessin, sont :
Réponse correcte : 1
On calcule les vecteurs à partir des coordonnées des points.
\[
\overrightarrow{AB} = B - A = (1-1,\;1-0,\;3-2) = (0,1,1)
\]
\[
\overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1,\;1-0,\;1-2) = (-2,1,-1)
\]
\[
\overrightarrow{BC} = C - B = (-1-1,\;1-1,\;1-3) = (-2,0,-2)
\]
Ainsi :
\[
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}, \quad
\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}, \quad
\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}-2\\0\\-2\end{pmatrix}
\]
Ces vecteurs correspondent exactement à l’assertion \(1\).
La bonne réponse est donc l’option \(1\).
30. Un joueur de cartes peut gagner ou perdre beaucoup d’argent à l’occasion de ce jeu. Tout cela, au hasard. Un proche parent veut s’engager dans ce jeu et veut être convaincu par la probabilité de gagner au regard de la probabilité de perdre.
Le jeu est constitué de 32 cartes : il y a 4 as, 4 rois, 4 dames, 8 piques, 8 carreaux, 8 trèfles et 8 cœurs. Le jeu consiste à tirer, en une fois, un pique, un carreau et un trèfle pour être déclaré gagnant.
La probabilité de cet événement gagnant est de :
Réponse correcte : d
Le tirage se fait en une seule fois, donc sans ordre et sans remise.
Nombre total de tirages possibles de 3 cartes parmi 32 :
\[
\binom{32}{3} = \frac{32 \times 31 \times 30}{6} = 4960
\]
Pour être gagnant, il faut tirer :
- un pique parmi 8,
- un carreau parmi 8,
- un trèfle parmi 8.
Nombre de cas favorables :
\[
8 \times 8 \times 8 = 512
\]
La probabilité cherchée est donc :
\[
P = \frac{512}{4960} \approx 0{,}1032
\]
Soit en pourcentage :
\[
P \approx 10{,}3\%
\]
La bonne réponse est donc l’assertion \(d\).