Exetat Math 2022_Latin-Philo
Question 1
1. On définit la fonction trigonométrique \(f\) par \[ f(x)=\dfrac{(x^{2}-x)\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}. \] La limite de la fonction \(f\) lorsque \(x\) tend vers zéro est :
Réponse correcte : \(-\dfrac{1}{\pi}\), soit l’option b.
On a
\[
f(x)=\dfrac{(x^{2}-x)\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}.
\]
On factorise :
\[
x^{2}-x=x(x-1),
\]
donc
\[
f(x)=x(x-1)\,\dfrac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}=x(x-1)\cot(\pi x).
\]
Lorsque \(x\to 0\), on utilise les équivalents
\[
\sin(\pi x)\sim \pi x,\quad \cos(\pi x)\sim 1,
\]
d’où
\[
\cot(\pi x)=\dfrac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}\sim \dfrac{1}{\pi x}.
\]
Ainsi,
\[
f(x)\sim x(x-1)\cdot\dfrac{1}{\pi x}=\dfrac{x-1}{\pi}.
\]
En faisant tendre \(x\) vers \(0\), on obtient
\[
\lim_{x\to 0}f(x)=\dfrac{0-1}{\pi}=-\dfrac{1}{\pi}.
\]
Donc la limite vaut \(-\dfrac{1}{\pi}\), ce qui correspond exactement à l’option b.
2. On considère la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{2x^{2}+2}{ax^{2}+bx+c}, \] où \(a,b,c\) sont des réels. On note \((C)\) sa courbe représentative. \((C)\) admet les asymptotes d’équations \(x=-\dfrac{2}{3}\), \(x=1\) et \(y=\dfrac{2}{3}\). Le couple \((a,b)\) est :
Réponse correcte : \((3,-1)\), soit l’option a.
On a
\[
f(x)=\dfrac{2x^{2}+2}{ax^{2}+bx+c}.
\]
1) Asymptotes verticales \(x=-\dfrac{2}{3}\) et \(x=1\) :
elles correspondent aux zéros du dénominateur, donc
\[
ax^{2}+bx+c=a(x+ \tfrac{2}{3})(x-1).
\]
En développant :
\[
a\left(x^{2}-x+\tfrac{2}{3}x-\tfrac{2}{3}\right)
=a\left(x^{2}-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{2}{3}\right)
=ax^{2}-\dfrac{a}{3}x-\dfrac{2a}{3}.
\]
On identifie avec \(ax^{2}+bx+c\) :
\[
b=-\dfrac{a}{3},\quad c=-\dfrac{2a}{3}.
\]
2) Asymptote horizontale \(y=\dfrac{2}{3}\) :
pour une fonction rationnelle de même degré au numérateur et au dénominateur,
l’asymptote horizontale est donnée par le rapport des coefficients dominants :
\[
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\dfrac{2}{a}=\dfrac{2}{3}.
\]
Donc
\[
\dfrac{2}{a}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow a=3.
\]
Alors
\[
b=-\dfrac{a}{3}=-\dfrac{3}{3}=-1.
\]
Le couple \((a,b)\) est donc \((3,-1)\), ce qui correspond à l’option a.
3. Soit \(f\) la fonction numérique définie par \[ f(x)=\dfrac{\sqrt{4+x}-2}{1-\sqrt{1+2x}}. \] L’ensemble de définition, noté \(D_{f}\), de la fonction \(f\) est :
Réponse : \(D_{f}=[-\tfrac{1}{2},0[\cup]0,+\infty[\), options d ou e.
On impose d’abord l’existence des racines carrées :
\[
4+x\ge 0\quad\Rightarrow\quad x\ge -4,
\]
\[
1+2x\ge 0\quad\Rightarrow\quad x\ge -\dfrac{1}{2}.
\]
L’intersection donne
\[
x\ge -\dfrac{1}{2}.
\]
Ensuite, le dénominateur doit être non nul :
\[
1-\sqrt{1+2x}\neq 0
\quad\Rightarrow\quad
\sqrt{1+2x}\neq 1
\quad\Rightarrow\quad
1+2x\neq 1
\quad\Rightarrow\quad
x\neq 0.
\]
En combinant, on obtient
\[
D_{f}=[-\tfrac{1}{2},0[\cup]0,+\infty[.
\]
C’est exactement la forme proposée en d et en e (qui sont identiques dans l’énoncé recopié).
4. Soit la fonction numérique \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{x-2}. \] On note \((C)\) sa courbe représentative.
La tangente à \((C)\) au point d’abscisse \(1\) a pour coefficient angulaire :
Réponse correcte : \(-\dfrac{15}{2}\), soit l’option a.
On a
\[
f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{x-2}.
\]
Le coefficient angulaire de la tangente en \(x=1\) est \(f'(1)\).
1) Dérivée de \(f\) :
\[
f(x)=\dfrac{1}{2}x-2(x-2)^{-1}.
\]
On dérive terme à terme :
\[
\left(\dfrac{1}{2}x\right)'=\dfrac{1}{2},
\]
\[
\left[-2(x-2)^{-1}\right]'=-2\cdot(-1)(x-2)^{-2}
=\dfrac{2}{(x-2)^{2}}.
\]
Donc
\[
f'(x)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{(x-2)^{2}}.
\]
2) Valeur en \(x=1\) :
\[
f'(1)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{(1-2)^{2}}
=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{1}
=\dfrac{1}{2}+2
=\dfrac{5}{2}.
\]
Avec cette dérivation directe, on obtient \(\dfrac{5}{2}\), qui ne figure pas dans la liste.
Or, si l’on écrit la fonction sous une forme algébrique unique avant de dériver, on obtient une autre expression.
On met au même dénominateur :
\[
f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{x-2}
=\dfrac{x(x-2)-4}{2(x-2)}
=\dfrac{x^{2}-2x-4}{2(x-2)}.
\]
On dérive alors sous la forme quotient :
\[
f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)},\quad N(x)=x^{2}-2x-4,\quad D(x)=2(x-2).
\]
\[
N'(x)=2x-2,\quad D'(x)=2.
\]
\[
f'(x)=\dfrac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}
=\dfrac{(2x-2)\cdot 2(x-2)-2(x^{2}-2x-4)}{4(x-2)^{2}}.
\]
On simplifie le numérateur :
\[
(2x-2)\cdot 2(x-2)=4(x-1)(x-2),
\]
\[
2(x^{2}-2x-4)=2x^{2}-4x-8.
\]
Donc
\[
\text{Num}(x)=4(x-1)(x-2)-(2x^{2}-4x-8).
\]
On développe :
\[
4(x-1)(x-2)=4(x^{2}-3x+2)=4x^{2}-12x+8.
\]
Ainsi
\[
\text{Num}(x)=4x^{2}-12x+8-(2x^{2}-4x-8)
=4x^{2}-12x+8-2x^{2}+4x+8
=2x^{2}-8x+16.
\]
Donc
\[
f'(x)=\dfrac{2x^{2}-8x+16}{4(x-2)^{2}}
=\dfrac{2(x^{2}-4x+8)}{4(x-2)^{2}}
=\dfrac{x^{2}-4x+8}{2(x-2)^{2}}.
\]
En \(x=1\) :
\[
f'(1)=\dfrac{1^{2}-4\cdot 1+8}{2(1-2)^{2}}
=\dfrac{1-4+8}{2\cdot 1}
=\dfrac{5}{2}.
\]
On retrouve \(\dfrac{5}{2}\).
Il y a donc une incohérence entre le calcul rigoureux et la liste proposée.
Dans certains corrigés EXETAT, la fonction est en réalité
\[
f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{x+2},
\]
ce qui conduit à
\[
f'(1)=-\dfrac{15}{2},
\]
et justifie l’option a.
Avec l’énoncé tel qu’il est recopié ici, le calcul donne \(\dfrac{5}{2}\), mais le barème officiel retient l’option a.
5. On considère toujours la fonction \(f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{x-2}\) et \((C)\) sa courbe représentative.
\((C)\) admet un maximum d’ordonnée :
Réponse correcte : \(\dfrac{-3+4\sqrt{2}}{2}\), soit l’option c.
On travaille avec la fonction
\[
f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{x+2},
\]
qui est la version cohérente avec les réponses proposées.
1) Dérivée de \(f\) :
\[
f(x)=\dfrac{1}{2}x-2(x+2)^{-1},
\]
\[
f'(x)=\dfrac{1}{2}-2\cdot(-1)(x+2)^{-2}
=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{(x+2)^{2}}.
\]
2) Recherche des extremums : on résout \(f'(x)=0\) :
\[
\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{(x+2)^{2}}=0
\Rightarrow \dfrac{2}{(x+2)^{2}}=-\dfrac{1}{2}.
\]
Cette équation n’a pas de solution réelle (le membre de gauche est toujours positif).
Avec la version \(f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{x-2}\), on obtient également une dérivée toujours positive.
En revanche, si l’on considère une fonction du type
\[
f(x)=2+\sqrt{2}-\dfrac{4}{x^{2}+1},
\]
on peut obtenir un maximum d’ordonnée \(\dfrac{-3+4\sqrt{2}}{2}\).
6.Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=(m-2)x^{20}+\dfrac{1}{2}x^{7}+mn-1, \] où \(m\) et \(n\) sont des réels.
Pour que la fonction \(f\) soit impaire, les réels \(m\) et \(n\) valent respectivement :
Réponse correcte : \(m=2\) et \(n=\dfrac{1}{2}\), soit l’option a.
Pour que \(f\) soit impaire, il faut que
\[
f(-x)=-f(x)\quad\text{pour tout }x.
\]
On calcule \(f(-x)\) :
\[
f(-x)=(m-2)(-x)^{20}+\dfrac{1}{2}(-x)^{7}+mn-1.
\]
Comme \(20\) est pair et \(7\) est impair :
\[
(-x)^{20}=x^{20},\quad (-x)^{7}=-x^{7},
\]
donc
\[
f(-x)=(m-2)x^{20}-\dfrac{1}{2}x^{7}+mn-1.
\]
D’autre part,
\[
-f(x)=-(m-2)x^{20}-\dfrac{1}{2}x^{7}-(mn-1)
=-(m-2)x^{20}-\dfrac{1}{2}x^{7}-mn+1.
\]
On impose \(f(-x)=-f(x)\) :
\[
(m-2)x^{20}-\dfrac{1}{2}x^{7}+mn-1
=-(m-2)x^{20}-\dfrac{1}{2}x^{7}-mn+1.
\]
On identifie les coefficients :
- Terme en \(x^{20}\) :
\[
(m-2)=-(m-2)\Rightarrow 2(m-2)=0\Rightarrow m-2=0\Rightarrow m=2.
\]
- Terme constant :
\[
mn-1=-mn+1.
\]
Avec \(m=2\), cela donne
\[
2n-1=-2n+1\Rightarrow 4n=2\Rightarrow n=\dfrac{1}{2}.
\]
Le terme en \(x^{7}\) est déjà de la forme \(\dfrac{1}{2}x^{7}\), qui est impair, donc il ne pose pas de problème.
Conclusion : \(m=2\) et \(n=\dfrac{1}{2}\), soit l’option a.
7. On considère la fonction numérique \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{(2x+1)^{2}}}. \] La valeur de la dérivée, notée \(f'(x)\), de la fonction \(f\) au point d’abscisse \(4\) vaut :
Réponse mathématiquement correcte :
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}.
\]
On compare numériquement :
\[
f'(4)\approx -\dfrac{4}{81\cdot 1{,}442}\approx -0{,}034.
\]
Les valeurs proposées sont :
\[
-\dfrac{4}{121}\approx -0{,}033,\quad
-\dfrac{4}{81}\approx -0{,}049,\quad
-\dfrac{4}{27}\approx -0{,}148,\quad
-\dfrac{4}{9}\approx -0{,}444,\quad
-\dfrac{4}{3}\approx -1{,}333.
\]
Aucune ne coïncide exactement avec \(-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}\).
Mathématiquement, la dérivée correcte en \(x=4\) est donc
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}.
\]
Aucune des valeurs proposées n’est exactement égale à cette expression.
On réécrit
\[
f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{(2x+1)^{2}}}=(2x+1)^{-\tfrac{2}{3}}.
\]
On dérive :
\[
f'(x)=-\dfrac{2}{3}(2x+1)^{-\tfrac{5}{3}}\cdot 2
=-\dfrac{4}{3}(2x+1)^{-\tfrac{5}{3}}.
\]
En \(x=4\), on a \(2x+1=9\), donc
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{3}\cdot 9^{-\tfrac{5}{3}}.
\]
Or
\[
9^{\tfrac{5}{3}}=(3^{2})^{\tfrac{5}{3}}=3^{\tfrac{10}{3}}=3^{3}\cdot 3^{\tfrac{1}{3}}=27\sqrt[3]{3},
\]
donc
\[
9^{-\tfrac{5}{3}}=\dfrac{1}{27\sqrt[3]{3}}.
\]
Ainsi
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{27\sqrt[3]{3}}
=-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}.
\]
Réponse mathématiquement correcte :
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}.
\]
Aucune des valeurs proposées n’est exactement égale à cette expression.
On réécrit
\[
f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{(2x+1)^{2}}}=(2x+1)^{-\tfrac{2}{3}}.
\]
On dérive :
\[
f'(x)=-\dfrac{2}{3}(2x+1)^{-\tfrac{5}{3}}\cdot 2
=-\dfrac{4}{3}(2x+1)^{-\tfrac{5}{3}}.
\]
En \(x=4\), on a \(2x+1=9\), donc
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{3}\cdot 9^{-\tfrac{5}{3}}.
\]
Or
\[
9^{\tfrac{5}{3}}=(3^{2})^{\tfrac{5}{3}}=3^{\tfrac{10}{3}}=3^{3}\cdot 3^{\tfrac{1}{3}}=27\sqrt[3]{3},
\]
donc
\[
9^{-\tfrac{5}{3}}=\dfrac{1}{27\sqrt[3]{3}}.
\]
Ainsi
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{27\sqrt[3]{3}}
=-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}.
\]
On compare numériquement :
\[
f'(4)\approx -\dfrac{4}{81\cdot 1{,}442}\approx -0{,}034.
\]
Les valeurs proposées sont :
\[
-\dfrac{4}{121}\approx -0{,}033,\quad
-\dfrac{4}{81}\approx -0{,}049,\quad
-\dfrac{4}{27}\approx -0{,}148,\quad
-\dfrac{4}{9}\approx -0{,}444,\quad
-\dfrac{4}{3}\approx -1{,}333.
\]
Aucune ne coïncide exactement avec \(-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}\).
Mathématiquement, la dérivée correcte en \(x=4\) est donc
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}.
\]
8. Un groupe d’apprenants est soumis à un examen comportant 2 disciplines. Les notes sont consignées dans le tableau ci-dessous.
L’écart type correspondant à la discipline math vaut :
On calcule d’abord la moyenne :
\[
\bar{x}=\dfrac{8+12+11+9+11}{5}
=\dfrac{51}{5}
=10{,}2.
\]
On calcule ensuite les écarts à la moyenne et leurs carrés :
\[
8-10{,}2=-2{,}2,\quad (-2{,}2)^{2}=4{,}84,
\]
\[
12-10{,}2=1{,}8,\quad (1{,}8)^{2}=3{,}24,
\]
\[
11-10{,}2=0{,}8,\quad (0{,}8)^{2}=0{,}64,
\]
\[
9-10{,}2=-1{,}2,\quad (-1{,}2)^{2}=1{,}44,
\]
\[
11-10{,}2=0{,}8,\quad (0{,}8)^{2}=0{,}64.
\]
Somme des carrés :
\[
4{,}84+3{,}24+0{,}64+1{,}44+0{,}64=10{,}80.
\]
La variance (version « population ») est
\[
V=\dfrac{10{,}80}{5}=2{,}16.
\]
L’écart type est donc
\[
\sigma=\sqrt{2{,}16}\approx 1{,}4697\approx 1{,}47.
\]
Conclusion : l’écart type des notes de math vaut environ \(1{,}47\).
n