Exetat Math 2021_Latin-Philo
Question 1
1. Une urne contient \(10\) boules dont \(5\) blanches numérotées de \(1\) à \(5\), \(3\) bleues numérotées de \(6\) à \(8\) et \(2\) vertes numérotées de \(9\) à \(10\). On tire trois boules simultanément dans l’urne. On admet que tous les tirages sont équiprobables. La probabilité de tirer \(3\) boules de numéros impairs inférieurs à \(8\) est :
Réponse : \(\dfrac{1}{30}\), option c.
Les numéros impairs inférieurs à \(8\) sont \(1,3,5,7\), soit \(4\) boules favorables parmi les \(10\) boules de l’urne.
On tire \(3\) boules simultanément, sans ordre, donc le nombre total d’issues possibles est
\[
\binom{10}{3}=\dfrac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120.
\]
Le nombre d’issues favorables (tirer \(3\) boules parmi les \(4\) impaires inférieures à \(8\)) est
\[
\binom{4}{3}=\dfrac{4\times 3\times 2}{3\times 2\times 1}=4.
\]
La probabilité cherchée est donc
\[
P=\dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}
=\dfrac{4}{120}=\dfrac{1}{30}.
\]
On obtient ainsi \(\dfrac{1}{30}\), ce qui correspond à l’option c.
2. On donne une courbe \((C)\) représentative de la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([-4,4]\). Nous admettons qu’aux points \(S_{1}\) et \(S_{2}\) les tangentes sont parallèles à l’axe des abscisses. 
\((C)\) tourne sa concavité vers les \(y\) négatifs dans l’intervalle :
Réponse : \(]0,4[\), option a.
Dire que la courbe \((C)\) « tourne sa concavité vers les \(y\) négatifs » signifie que la fonction \(f\) est concave sur l’intervalle considéré, c’est-à-dire que sa dérivée seconde \(f''(x)\) est négative sur cet intervalle.
Sur le graphique de l’EXETAT 2021, on observe que la courbe est « tournée vers le bas » (concave vers les \(y\) négatifs) sur la partie droite de l’intervalle, à partir de \(x=0\) jusqu’à \(x=4\), sans inclure \(0\) (où la tangente change de comportement).
Ainsi, l’intervalle sur lequel \((C)\) est concave vers les \(y\) négatifs est \(]0,4[\).
La bonne réponse est donc l’intervalle \(]0,4[\), ce qui correspond à l’option a.
3. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{x+\lvert x-3\rvert}{x+1}. \] Dans l’intervalle \(I=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 3\}\), elle est définie par :
Réponse : \(f(x)=\dfrac{2x-3}{x+1}\), option c.
On étudie le signe de \(x-3\) sur l’intervalle \(I=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 3\}\).
Pour tout \(x\ge 3\), on a \(x-3\ge 0\), donc
\[
\lvert x-3\rvert = x-3.
\]
Ainsi, sur \(I\),
\[
f(x)=\dfrac{x+\lvert x-3\rvert}{x+1}
=\dfrac{x+(x-3)}{x+1}
=\dfrac{2x-3}{x+1}.
\]
La forme simplifiée de \(f\) sur l’intervalle \(x\ge 3\) est donc
\[
f(x)=\dfrac{2x-3}{x+1},
\]
ce qui correspond exactement à l’option c.
4. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=6x\sqrt{x}-3x^{2}-2x \] et \((C)\) sa courbe représentative.
\(D_{f'}\) et \(D_{f''}\) sont les domaines de définition de la dérivée première et de la dérivée seconde de \(f\). On a : \[ D_{f'}\cap D_{f''}= \]
Réponse : \(]0,+\infty[\), option a.
On écrit d’abord \(f(x)\) sous forme de puissance :
\[
f(x)=6x^{3/2}-3x^{2}-2x.
\]
La racine \(\sqrt{x}\) impose \(x\ge 0\), donc
\[
D_{f}=[0,+\infty[.
\]
On dérive :
\[
f'(x)=6\cdot\dfrac{3}{2}x^{1/2}-6x-2=9x^{1/2}-6x-2,
\]
ce qui est défini pour tout \(x\ge 0\), donc
\[
D_{f'}=[0,+\infty[.
\]
On dérive encore :
\[
f''(x)=9\cdot\dfrac{1}{2}x^{-1/2}-6=\dfrac{9}{2}x^{-1/2}-6,
\]
qui n’est défini que pour \(x>0\), donc
\[
D_{f''}=]0,+\infty[.
\]
L’intersection est
\[
D_{f'}\cap D_{f''}=[0,+\infty[\cap]0,+\infty[=]0,+\infty[.
\]
On obtient donc \(]0,+\infty[\), ce qui correspond à l’option a.
5. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=6x\sqrt{x}-3x^{2}-2x \] et \((C)\) sa courbe représentative.
Avec la même fonction \(f(x)=6x\sqrt{x}-3x^{2}-2x\), la fonction \(f\) admet un point d’inflexion au point d’ordonnée (à \(10^{-2}\) près) :
Réponse : \(0{,}46\), option a.
On a déjà
\[
f''(x)=\dfrac{9}{2}x^{-1/2}-6.
\]
Un point d’inflexion correspond à un changement de signe de \(f''\) et donc à une solution de
\[
f''(x)=0.
\]
On résout :
\[
\dfrac{9}{2}x^{-1/2}-6=0
\quad\Rightarrow\quad
\dfrac{9}{2\sqrt{x}}=6
\quad\Rightarrow\quad
9=12\sqrt{x}
\quad\Rightarrow\quad
\sqrt{x}=\dfrac{3}{4}
\quad\Rightarrow\quad
x=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}.
\]
On calcule alors l’ordonnée du point :
\[
f\!\left(\dfrac{9}{16}\right)
=6\cdot\dfrac{9}{16}\cdot\dfrac{3}{4}-3\left(\dfrac{9}{16}\right)^{2}-2\cdot\dfrac{9}{16}.
\]
On simplifie terme à terme :
\[
6\cdot\dfrac{9}{16}\cdot\dfrac{3}{4}
=6\cdot\dfrac{27}{64}
=\dfrac{162}{64}
=\dfrac{81}{32},
\]
\[
-3\left(\dfrac{9}{16}\right)^{2}
=-3\cdot\dfrac{81}{256}
=-\dfrac{243}{256},
\]
\[
-2\cdot\dfrac{9}{16}
=-\dfrac{18}{16}
=-\dfrac{9}{8}
=-\dfrac{288}{256}.
\]
On met tout sur \(256\) :
\[
\dfrac{81}{32}=\dfrac{648}{256},
\]
donc
\[
f\!\left(\dfrac{9}{16}\right)
=\dfrac{648}{256}-\dfrac{243}{256}-\dfrac{288}{256}
=\dfrac{648-243-288}{256}
=\dfrac{117}{256}\approx 0{,}457.
\]
À \(10^{-2}\) près, l’ordonnée vaut donc \(0{,}46\).
La valeur proposée la plus proche est \(0{,}46\), option a.
6.Toujours avec la fonction \(f(x)=6x\sqrt{x}-3x^{2}-2x\) et sa courbe \((C)\), les abscisses du point \(P\) de la courbe \((C)\) où la tangente a pour coefficient angulaire \(-2\) sont :
Réponse : \(0\) et \(\dfrac{9}{4}\), option e.
Le coefficient angulaire de la tangente en un point d’abscisse \(x\) est donné par la dérivée \(f'(x)\).
On a
\[
f'(x)=9x^{1/2}-6x-2.
\]
On cherche les valeurs de \(x\) telles que la tangente ait pour pente \(-2\), donc
\[
f'(x)=-2.
\]
On résout :
\[
9\sqrt{x}-6x-2=-2
\quad\Rightarrow\quad
9\sqrt{x}-6x=0
\quad\Rightarrow\quad
3\sqrt{x}(3-2\sqrt{x})=0.
\]
On obtient deux possibilités :
\[
3\sqrt{x}=0\quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}=0\quad\Rightarrow\quad x=0,
\]
\[
3-2\sqrt{x}=0\quad\Rightarrow\quad 2\sqrt{x}=3\quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}=\dfrac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}.
\]
Les abscisses des points où la tangente a pour coefficient angulaire \(-2\) sont donc \(x=0\) et \(x=\dfrac{9}{4}\).
Cela correspond à la proposition \(0\) et \(\dfrac{9}{4}\), option e.
7. La limite, quand \(x\) tend vers zéro, de la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x} \] est égale à :
Réponse : \(0\).
On étudie
\[
\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x}.
\]
On utilise le développement limité de \(\cos x\) au voisinage de \(0\) :
\[
\cos x=1-\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\quad\text{quand }x\to 0.
\]
Alors
\[
1-\cos x=1-\left(1-\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\right)
=\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2}).
\]
Donc
\[
\dfrac{1-\cos x}{x}
=\dfrac{\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2})}{x}
=\dfrac{x}{2}+o(x)\xrightarrow[x\to 0]{}0.
\]
La limite cherchée est donc \(0\).
8. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+ax+b}{x-1},\quad (a,b\in\mathbb{R}), \] et \((C)\) sa représentation graphique. La courbe \((C)\) admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point de coordonnées \((2,5)\) pour les réels \(a\) et \(b\) égale à :
Réponse : \(a=1\) et \(b=-1\).
Le point \((2,5)\) appartient à la courbe \((C)\), donc
\[
f(2)=5.
\]
On calcule
\[
f(2)=\dfrac{2^{2}+2a+b}{2-1}=4+2a+b.
\]
La condition \(f(2)=5\) donne
\[
4+2a+b=5\quad\Rightarrow\quad 2a+b=1.\tag{1}
\]
La tangente en \(x=2\) est parallèle à l’axe des abscisses, donc son coefficient angulaire est nul :
\[
f'(2)=0.
\]
On dérive
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}+ax+b}{x-1},\quad
f'(x)=\dfrac{(2x+a)(x-1)-(x^{2}+ax+b)}{(x-1)^{2}}.
\]
Le numérateur vaut
\[
(2x+a)(x-1)-(x^{2}+ax+b)
=2x^{2}-2x+ax-a-x^{2}-ax-b
=x^{2}-2x-a-b.
\]
Ainsi
\[
f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x-a-b}{(x-1)^{2}}.
\]
La condition \(f'(2)=0\) impose que le numérateur s’annule en \(x=2\) :
\[
2^{2}-2\cdot 2-a-b=0
\quad\Rightarrow\quad
4-4-a-b=0
\quad\Rightarrow\quad
-a-b=0
\quad\Rightarrow\quad
a+b=0.\tag{2}
\]
On résout le système
\[
\begin{cases}
2a+b=1\\
a+b=0
\end{cases}
\]
En soustrayant la deuxième équation de la première, on obtient
\[
(2a+b)-(a+b)=a=1.
\]
Puis, d’après \((2)\),
\[
a+b=0\quad\Rightarrow\quad 1+b=0\quad\Rightarrow\quad b=-1.
\]
Les valeurs correctes sont donc \(a=1\) et \(b=-1\).