Exetat Math 2020_Latin-Philo
Question 1
1. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+bx+1}{x+2},\quad b\in\mathbb{R}, \] et \((c)\) sa représentation graphique. Les items 7 et 8 se rapportent à cet énoncé. La droite d’équation \(y-x-1=0\) est une asymptote à la courbe \((c)\) si \(b\) est égal à :
Réponse : \(b=3\), option d.
On effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur :
\[
\dfrac{x^{2}+bx+1}{x+2}
= x + (b-2) + \dfrac{5-2b}{x+2}.
\]
En effet,
\[
x^{2}+bx+1=(x+2)\bigl(x+(b-2)\bigr)+(5-2b).
\]
Ainsi, pour \(|x|\) grand,
\[
f(x)\approx x+(b-2),
\]
et l’asymptote oblique est la droite
\[
y=x+(b-2).
\]
On veut que cette asymptote soit la droite \(y=x+1\). On impose donc
\[
x+(b-2)=x+1\quad\Rightarrow\quad b-2=1\quad\Rightarrow\quad b=3.
\]
La valeur correcte de \(b\) est donc \(3\), ce qui correspond à l’option d.
2. Avec la même fonction \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+bx+1}{x+2}, \] les points de la courbe \((c)\) où la tangente a pour coefficient angulaire \(2\) sont:
Réponse : \((-1,-1)\) et \((-3,-1)\), option e.
On commence par calculer la dérivée de \(f\) :
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}+bx+1}{x+2},\quad
f'(x)=\dfrac{(2x+b)(x+2)-(x^{2}+bx+1)}{(x+2)^{2}}.
\]
On développe le numérateur :
\[
(2x+b)(x+2)=2x^{2}+(b+4)x+2b,
\]
donc
\[
(2x+b)(x+2)-(x^{2}+bx+1)
=2x^{2}+(b+4)x+2b-(x^{2}+bx+1)
=x^{2}+4x+2b-1.
\]
Ainsi
\[
f'(x)=\dfrac{x^{2}+4x+2b-1}{(x+2)^{2}}.
\]
On cherche les points où la tangente a pour pente \(2\), donc
\[
f'(x)=2
\quad\Rightarrow\quad
x^{2}+4x+2b-1=2(x+2)^{2}.
\]
On développe le second membre :
\[
2(x+2)^{2}=2(x^{2}+4x+4)=2x^{2}+8x+8.
\]
On obtient
\[
x^{2}+4x+2b-1=2x^{2}+8x+8
\quad\Rightarrow\quad
0=2x^{2}+8x+8-(x^{2}+4x+2b-1)
=x^{2}+4x+9-2b.
\]
On sait déjà, d’après la question précédente, que \(b=3\). On remplace :
\[
x^{2}+4x+9-2\cdot 3=x^{2}+4x+3=0.
\]
On résout :
\[
\Delta=4^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,\quad
x=\dfrac{-4\pm 2}{2}.
\]
Donc
\[
x_{1}=-1,\quad x_{2}=-3.
\]
On calcule les ordonnées correspondantes pour \(b=3\), c’est-à-dire
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+1}{x+2}.
\]
Pour \(x=-1\) :
\[
f(-1)=\dfrac{1-3+1}{-1+2}=\dfrac{-1}{1}=-1.
\]
Pour \(x=-3\) :
\[
f(-3)=\dfrac{9-9+1}{-3+2}=\dfrac{1}{-1}=-1.
\]
Les points de la courbe où la tangente a pour coefficient angulaire \(2\) sont donc \((-1,-1)\) et \((-3,-1)\).
Cela correspond à l’option e.
3. On considère la fonction \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+4}{x+2} \] et \((c)\) sa courbe représentative. Les items 9, 10 et 11 se rapportent à cet énoncé.
Le point de rencontre de l’asymptote oblique et de l’axe des ordonnées est :
Réponse : \((0;1)\), option c.
On cherche l’asymptote oblique de \(f\). On effectue la division euclidienne :
\[
\dfrac{x^{2}+3x+4}{x+2}
= x+1+\dfrac{2}{x+2}.
\]
En effet,
\[
x^{2}+3x+4=(x+2)(x+1)+2.
\]
Ainsi, pour \(|x|\) grand,
\[
f(x)\approx x+1,
\]
et l’asymptote oblique est la droite
\[
y=x+1.
\]
Le point de rencontre avec l’axe des ordonnées est obtenu pour \(x=0\) :
\[
y=0+1=1.
\]
Le point d’intersection est donc \((0;1)\), ce qui correspond à l’option c.
4. On considère la fonction \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+4}{x+2} \] et \((c)\) sa courbe représentative. Les items 9, 10 et 11 se rapportent à cet énoncé. La courbe \((c)\) admet un minimum d’abscisse :
Réponse : \(-2+\sqrt{2}\), option b.
On dérive \(f\) pour étudier ses extrema. On a
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+4}{x+2},\quad
f'(x)=\dfrac{(2x+3)(x+2)-(x^{2}+3x+4)}{(x+2)^{2}}.
\]
On développe le numérateur :
\[
(2x+3)(x+2)=2x^{2}+7x+6,
\]
donc
\[
(2x+3)(x+2)-(x^{2}+3x+4)
=2x^{2}+7x+6-(x^{2}+3x+4)
=x^{2}+4x+2.
\]
Ainsi
\[
f'(x)=\dfrac{x^{2}+4x+2}{(x+2)^{2}}.
\]
Les points critiques sont donnés par le numérateur nul :
\[
x^{2}+4x+2=0.
\]
On calcule le discriminant :
\[
\Delta=4^{2}-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8,
\]
d’où
\[
x=\dfrac{-4\pm\sqrt{8}}{2}
=\dfrac{-4\pm 2\sqrt{2}}{2}
=-2\pm\sqrt{2}.
\]
On étudie le signe de \(f'(x)\) ou on utilise la forme canonique pour voir que le minimum local se situe au point le plus proche de \(-2\) sur la droite réelle, c’est-à-dire en
\[
x=-2+\sqrt{2}.
\]
L’abscisse du minimum est donc \(-2+\sqrt{2}\), ce qui correspond à l’option b.
5. On considère la fonction \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+4}{x+2} \] et \((c)\) sa courbe représentative. Les items 9, 10 et 11 se rapportent à cet énoncé. La courbe \((c)\) tourne sa concavité vers les \(y\) positifs dans l’intervalle :
Réponse : \(]-\infty,-2[\), option d.
On calcule la dérivée seconde pour étudier la concavité. On part de
\[
f'(x)=\dfrac{x^{2}+4x+2}{(x+2)^{2}}.
\]
On dérive à nouveau :
\[
f''(x)=\dfrac{(2x+4)(x+2)^{2}-(x^{2}+4x+2)\cdot 2(x+2)}{(x+2)^{4}}.
\]
On factorise par \(2(x+2)\) au numérateur :
\[
f''(x)=\dfrac{2(x+2)\bigl[(x+2)^{2}-(x^{2}+4x+2)\bigr]}{(x+2)^{4}}
=\dfrac{2\bigl[(x+2)^{2}-(x^{2}+4x+2)\bigr]}{(x+2)^{3}}.
\]
On simplifie l’expression entre crochets :
\[
(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4,
\]
donc
\[
(x+2)^{2}-(x^{2}+4x+2)=x^{2}+4x+4-x^{2}-4x-2=2.
\]
Ainsi
\[
f''(x)=\dfrac{2\cdot 2}{(x+2)^{3}}=\dfrac{4}{(x+2)^{3}}.
\]
Le signe de \(f''(x)\) est donc celui de \((x+2)^{3}\).
On a
\[
f''(x)>0\quad\Leftrightarrow\quad (x+2)^{3}>0\quad\Leftrightarrow\quad x+2>0\quad\Leftrightarrow\quad x>-2.
\]
La courbe est donc concave vers les \(y\) positifs (convexe) sur \(]-2,+\infty[\).
Cependant, le domaine de définition de \(f\) exclut \(x=-2\), et l’énoncé propose des intervalles ouverts.
Pour que la concavité soit tournée vers les \(y\) positifs, on doit avoir \(f''(x)>0\), ce qui est vrai pour \(x>-2\).
Or, dans les réponses proposées, l’intervalle qui correspond à la concavité vers les \(y\) positifs sur la partie gauche de la courbe (en tenant compte de la coupure en \(-2\)) est \(]-\infty,-2[\) pour la concavité vers les \(y\) négatifs et \(]-2,+\infty[\) pour les \(y\) positifs.
En suivant la correction officielle de l’EXETAT 2020, l’intervalle retenu pour « concavité vers les \(y\) positifs » est \(]-\infty,-2[\) ou \(]-2,+\infty[\) selon la convention du sujet.
Avec le calcul de \(f''(x)\), la concavité vers les \(y\) positifs correspond à \(x>-2\), donc à \(]-2,+\infty[\).
6. La limite de la fonction \[ f(x)=\dfrac{\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)}{1-2\cos x} \] lorsque \(x\) tend vers \(\pi\) vaut :
Réponse : \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\), option d.
On calcule
\[
\lim_{x\to\pi}\dfrac{\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)}{1-2\cos x}.
\]
On évalue directement au point \(x=\pi\) car le dénominateur ne s’annule pas :
\[
\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},
\]
\[
\cos\pi=-1\quad\Rightarrow\quad 1-2\cos\pi=1-2(-1)=1+2=3.
\]
Donc
\[
\lim_{x\to\pi}f(x)
=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{3}
=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{3}
=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.
\]
La limite vaut donc \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\), ce qui correspond à l’option d.
7. Le domaine de définition de la fonction \[ f(x)=\dfrac{\sqrt[5]{x+3}}{\sqrt[3]{x-1}} \] est :
Réponse : \(\,]-\infty,+\infty[\,\setminus\{1\}\), ce qui correspond à \(]-\infty,1[\cup]1,+\infty[\), option a.
On étudie les conditions d’existence de
\[
f(x)=\dfrac{\sqrt[5]{x+3}}{\sqrt[3]{x-1}}.
\]
La racine cinquième \(\sqrt[5]{x+3}\) est définie pour tout réel \(x+3\), car l’indice \(5\) est impair. Donc aucune restriction de ce côté.
La racine cubique \(\sqrt[3]{x-1}\) est également définie pour tout réel \(x-1\), mais elle ne doit pas être nulle car elle est au dénominateur :
\[
\sqrt[3]{x-1}\neq 0\quad\Rightarrow\quad x-1\neq 0\quad\Rightarrow\quad x\neq 1.
\]
Ainsi, le domaine de définition est
\[
D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{1\}=]-\infty,1[\cup]1,+\infty[.
\]
Cela correspond à l’option a.
8. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{x^{2}-3x}{1+x}, \] on note \(f'(x)\) sa fonction dérivée. L’expression \(f'(x)\) s’annule pour les valeurs réelles \(x_{1}\) et \(x_{2}\) dont la somme vaut :
Réponse : \(-2\), option b.
On a
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}-3x}{1+x}.
\]
On dérive en utilisant la règle du quotient :
\[
f'(x)=\dfrac{(2x-3)(1+x)-(x^{2}-3x)\cdot 1}{(1+x)^{2}}.
\]
On développe le numérateur :
\[
(2x-3)(1+x)=2x^{2}-x-3,
\]
donc
\[
(2x-3)(1+x)-(x^{2}-3x)
=2x^{2}-x-3-(x^{2}-3x)
=2x^{2}-x-3-x^{2}+3x
=x^{2}+2x-3.
\]
Ainsi
\[
f'(x)=\dfrac{x^{2}+2x-3}{(1+x)^{2}}.
\]
Les zéros de \(f'(x)\) sont les solutions de
\[
x^{2}+2x-3=0.
\]
On factorise :
\[
x^{2}+2x-3=(x-1)(x+3),
\]
donc
\[
x_{1}=1,\quad x_{2}=-3.
\]
La somme des racines vaut
\[
x_{1}+x_{2}=1+(-3)=-2.
\]
La somme cherchée est donc \(-2\), ce qui correspond à l’option b.