Exetat Math 2018_Latin-Philo
Question 1
1. On donne dans l’ensemble \(\mathbb{R}\) des réels deux fonctions \(f\) et \(g\) définies par \[ f(x)=\sqrt{x}\quad\text{et}\quad g(x)=\dfrac{1}{x-2}. \]La fonction composée \(f\circ g\) définie par \((f\circ g)(x)\) est :
Réponse : \((f\circ g)(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}\).
Par définition,
\[
(f\circ g)(x)=f(g(x))=f\!\left(\dfrac{1}{x-2}\right).
\]
Or \(f(u)=\sqrt{u}\), donc
\[
(f\circ g)(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x-2}}
=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}},
\]
à condition que \(x-2>0\) pour que la racine carrée soit définie dans \(\mathbb{R}\).
Cela correspond à la réponse c
2. On donne dans l’ensemble \(\mathbb{R}\) des réels deux fonctions \(f\) et \(g\) définies par \[ f(x)=\sqrt{x}\quad\text{et}\quad g(x)=\dfrac{1}{x-2}. \]La fonction composée \(f\circ g\) est continue dans l’intervalle :
Réponse : \(]2,+\infty[\).
On a
\[
(f\circ g)(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}.
\]
Pour que cette expression soit définie dans \(\mathbb{R}\), il faut
\[
x-2>0\quad\Rightarrow\quad x>2.
\]
De plus, le dénominateur \(\sqrt{x-2}\) ne doit pas être nul, ce qui exclut aussi \(x=2\).
La fonction composée est donc définie et continue sur l’intervalle
\[
]2,+\infty[.
\]
3. On donne dans l’ensemble \(\mathbb{R}\) des réels deux fonctions \(v\) et \(w\). Indiquez la proposition fausse :
Réponse : l’assertion fausse est \(v\cdot w\) impaire, donc la proposition b.
On rappelle les définitions :
\(v\) impaire signifie \(v(-x)=-v(x)\), \(w\) impaire signifie \(w(-x)=-w(x)\).
Pour le produit :
\[
(v\cdot w)(-x)=v(-x)w(-x)=(-v(x))(-w(x))=v(x)w(x),
\]
donc \(v\cdot w\) est paire, et non impaire.
Ainsi, l’affirmation « si \(v\) et \(w\) sont impaires, alors \(v\cdot w\) est impaire » est fausse.
Les autres propositions se vérifient en appliquant systématiquement les définitions de parité.
4. On donne dans l’ensemble \(\mathbb{R}\) des réels la fonction \(h\) définie par \[ h(x)=\dfrac{(2x-1)^{2}}{2x+1}, \] qui admet une dérivée première notée \(h'(x)\). L’expression \(h'(-1)\) vaut :
Réponse : \(-6\).
On pose
\[
h(x)=\dfrac{(2x-1)^{2}}{2x+1}.
\]
On dérive par la règle du quotient. Soit
\[
u(x)=(2x-1)^{2},\quad v(x)=2x+1.
\]
Alors
\[
u'(x)=2(2x-1)\cdot 2=4(2x-1),\quad v'(x)=2.
\]
La dérivée est
\[
h'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}
=\dfrac{4(2x-1)(2x+1)-2(2x-1)^{2}}{(2x+1)^{2}}.
\]
On factorise le numérateur :
\[
4(2x-1)(2x+1)-2(2x-1)^{2}
=2(2x-1)\bigl[2(2x+1)-(2x-1)\bigr]
=2(2x-1)(2x+3).
\]
Donc
\[
h'(x)=\dfrac{2(2x-1)(2x+3)}{(2x+1)^{2}}.
\]
On évalue en \(-1\) :
\[
2x-1\big|_{x=-1}=-3,\quad 2x+3\big|_{x=-1}=1,\quad 2x+1\big|_{x=-1}=-1.
\]
Ainsi
\[
h'(-1)=\dfrac{2\cdot(-3)\cdot 1}{(-1)^{2}}=-6.
\]
5. On donne dans l’ensemble \(\mathbb{R}\) des réels une fonction \(k\) définie par \[ k(x)=\dfrac{x^{2}+1}{1-x^{2}}. \] La fonction \(k\) possède une asymptote horizontale d’équation :
Réponse : \(y=-1\).
On considère
\[
k(x)=\dfrac{x^{2}+1}{1-x^{2}}.
\]
Pour étudier l’asymptote horizontale, on regarde la limite quand \(|x|\to+\infty\).
On factorise par \(x^{2}\) :
\[
k(x)=\dfrac{x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(\dfrac{1}{x^{2}}-1\right)}
=\dfrac{1+\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{1}{x^{2}}-1}.
\]
Quand \(x\to\pm\infty\), on a \(\dfrac{1}{x^{2}}\to 0\), donc
\[
\lim_{x\to\pm\infty}k(x)=\dfrac{1+0}{0-1}=-1.
\]
L’asymptote horizontale est donc la droite
\[
y=-1.
\]
6. On donne dans l’ensemble \(\mathbb{R}\) des réels une fonction \(f\) définie par \[ f(x)=x^{3}-3x^{2}+2. \] Le point maximum de \(f(x)\) a pour coordonnées :
Réponse : \((0,2)\).
On a
\[
f(x)=x^{3}-3x^{2}+2.
\]
On calcule la dérivée :
\[
f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2).
\]
Les points critiques sont \(x=0\) et \(x=2\).
On calcule la dérivée seconde :
\[
f''(x)=6x-6.
\]
Alors
\[
f''(0)=-60\quad\Rightarrow\quad x=2\ \text{est un minimum local}.
\]
On évalue \(f\) en \(0\) :
\[
f(0)=0-0+2=2.
\]
Le point maximum a donc pour coordonnées \((0,2)\).
7. On donne dans l’ensemble \(\mathbb{R}\) des réels une fonction \(g\) définie par \[ g(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+4}}{x+4}. \] Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), la limite de \(g(x)\) vaut :
Réponse : \(1\).
On considère
\[
g(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+4}}{x+4}.
\]
Pour \(x\to+\infty\), on a \(\sqrt{x^{2}+4}\sim |x|=x\) (car \(x>0\)).
Plus précisément,
\[
\sqrt{x^{2}+4}=x\sqrt{1+\dfrac{4}{x^{2}}}\xrightarrow[x\to+\infty]{}x.
\]
Ainsi
\[
g(x)\sim\dfrac{x}{x+4}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\dfrac{1}{1}=1.
\]
La limite de \(g(x)\) quand \(x\to+\infty\) vaut donc \(1\).
8. On donne dans l’ensemble \(\mathbb{R}\) des réels la fonction \(h\) définie par \[ h(x)=\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-5x+6}. \] Lorsque \(x\) tend vers \(3\), la limite de \(h(x)\) vaut :
Réponse : \(6\).
On a
\[
h(x)=\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-5x+6}.
\]
On factorise numérateur et dénominateur :
\[
x^{2}-9=(x-3)(x+3),\quad
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
\]
Pour \(x\neq 3\),
\[
h(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{x+3}{x-2}.
\]
La limite quand \(x\to 3\) est alors
\[
\lim_{x\to 3}h(x)=\dfrac{3+3}{3-2}=\dfrac{6}{1}=6.
\]