1.Soit la loi \(*\) définie dans \(\mathbb{R}\) par : \[ x * y = 2xy + 4(x + y) + 6. \] L'élément symétrique de \(1\) de cette loi est :
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2.Soient définis l'homomorphisme \(h\) entre les groupes \((\mathbb{R}^+, \cdot)\) et \((\mathbb{R}, +)\) par : \[ h(x) = \log_a x,\quad a \text{ un réel positif}. \] Le noyau de l'homomorphisme \(h\) équivaut à :
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3.Soient \(Z_0, Z_1, Z_2\) les racines cubiques du nombre complexe \(1\). L’expression \(Z_0^2 + Z_1^2 + Z_2^2\) correspond à :
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4.Soit l'équation complexe : \[ Z^3 + 4(-1 + i)Z^2 + (2 - 9i)Z + 1 + 5i = 0, \] où \(Z_1, Z_2, Z_3\) sont les solutions. La somme des carrés des racines \(Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2\) vaut :
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5.Le réel \(x\) est tel que \[ x^{\log_{7} x} = x + 2. \] Le réel \(x\) vaut :
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6.Soient les réels \(t_1, t_2\) et \(t_3\) tels que : \[ t_1 = \log_b 2,\quad t_2 = \log_b(3^m - 2),\quad t_3 = \log_b(3^m + 2). \] \(t_1, t_2\) et \(t_3\) sont en progression arithmétique lorsque le réel \(m\) vaut :
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7.On considère deux fonctions réelles définies par : \[ f(x) = \left( \frac{x + a + 1}{x + 1} \right)^{x - 1} \quad \text{et} \quad g(x) = \left( \frac{b + \dfrac{1}{x}}{b - \dfrac{1}{x}} \right)^{-x}, \quad \text{avec } a \text{ et } b \text{ des réels.} \] La limite lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(f(x)\) et la limite lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(g(x)\) valent respectivement \[ \frac{1}{\sqrt{e}} \quad \text{et} \quad \frac{1}{e}. \] Dans ces conditions, la somme \(a + b\) vaut :
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8.Soit la fonction réelle \(f\) définie par \(f(x) = x^{2x}\), et \((C)\) sa courbe représentative. Au point d’abscisse \(1\), l’équation de la tangente à la courbe \((C)\) est :
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9.On considère la fonction réelle \(f\) définie par : \[ f(x) = \ln(x^2 + 1), \] et \((C)\) sa courbe représentative. Au point d’abscisse positive et d’ordonnée \(\ln 2\), la tangente à la courbe \((C)\) est :
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10.On considère la fonction réelle \(f\) définie par : \[ f(x) = \ln(x^2 + 1), \] et \((C)\) sa courbe représentative. La courbe \((C)\) garde sa concavité vers les ordonnées strictement négatives sur l’intervalle de :
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11.Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x) = \frac{e^x}{\cos x}. \] Le développement en série de Mac-Laurin de la fonction \(f\) donne un polynôme \[ p(x) = a + bx + cx^2. \] La valeur numérique de \(p\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)\) vaut :
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12.Soit la fonction \[ y = \cos\big(x^{\cos x}\big), \] avec \(dy\) et \(dx\) désignant la différentielle 1\up{ère} respectivement de \(y\) et de \(x\). Le rapport \(\dfrac{dy}{dx}\) est :
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13.Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \geq 0,\ \[4pt] -x & \text{si } x < 0, \end{cases} \] avec \(dx\) désignant la différentielle 1\up{ère} de \(x\). L’intégrale \[ \int_{-1}^{1} f(x)\,dx \] vaut :
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14.La fonction trigonométrique \(f\) est définie par : \[ f(x) = \tan^6 x \cdot \sec^4 x, \] avec \(dx\) la différentielle première de \(x\). L’intégrale définie de la fonction \(f(x)\,dx\) sur l’intervalle \(\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]\) vaut :
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15.La droite d’équation : \[ 2x - y + 5 = 0 \] est tangente à la courbe \((C)\) de l’ellipse d’équation : \[ E: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{9} = 1. \] Le réel \(a\) vaut :
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16.Le segment de droite joignant les points \(A(-2, -1)\) et \(B(3, 3)\) est prolongé jusqu’au point \(C\) par la relation \[ \overrightarrow{BC} = 3\,\overrightarrow{AB}. \] Les coordonnées du point \(C\) sont :
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17.Le cercle d'équation polaire \[ \varphi \equiv \rho^2 - 4\rho \cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) - 12 = 0 \] a pour centre et rayon respectivement :
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18.est définie par l’équation : \[ \lambda y^2 + 2xy + 4\lambda x^2 + 10y - 5x + 1 = 0. \] \(\Pi\) est une hyperbole lorsque le réel \(\lambda\) se situe sur l’intervalle ou réunion d’intervalles :
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19.Soit la parabole de sommet \((2,3)\), d’axe parallèle à l’axe \(OY\), et passant par le point \((4,5)\). L’équation de cette parabole est :
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20.Un point se déplace de telle sorte que sa distance du point \((4,0)\) est toujours égale à la moitié de sa distance à la droite \[ x - 16 = 0. \] L’équation du lieu est :
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21.Étant donnée la conique d’équation : \[ 2x^2 + 5xy + y^2 + 3x - 5y + 7 = 0, \] le centre de cette conique a pour coordonnées :
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22.Soit la sphère d’équation \[ x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y - 6z = 0. \] Le centre et le rayon de la sphère valent respectivement :
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23.L’équation du plan passant par le point \((4, -2, 1)\), perpendiculaire à la droite de coefficients directeurs \(7, 2, -3\) est :
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24.Soit un faisceau de coniques : \[ \begin{cases} 5x^2 - 9xy - 2y^2 = 0,\ \[4pt] 6y^2 - 7xy + \lambda x^2 = 0, \end{cases} \] où \(\lambda\) est un paramètre. La valeur de \(\lambda\) pour que le faisceau soit harmonique vaut :
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25.Soit le système d’équations paramétriques \[ \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{t - 1} \ \[4pt] y = \dfrac{t^2 + 1}{t - 1} \end{array} \right. \] définissant la courbe \((C)\). L’équation cartésienne de la courbe \((C)\) définit une :
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