1.L’inéquation exponentielle : \[ (0{,}4)^{x - 3} \leq (0{,}4)^{7x + 9} \] admet pour ensemble-solution l’intervalle :
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2.Par une homothétie de centre \( O \) et de rapport \( k = 2 \), le point \( A \) d’affixe \( z = 2 - 4i \) a pour image le point \( A' \) dont l’affixe est :
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3.Pour une conique \( C \), on donne : - son foyer \( F(3, 0) \), - sa directrice \( 3x - 4 = 0 \), - son excentricité \( e = \dfrac{3}{2} \) L’équation cartésienne de \( C \) est :
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4.Soit la conique d’équation : \[ y^2 - xy - x^2 - x - y - 1 = 0 \] La polaire du point \( P(0, 1) \) par rapport à cette conique est :
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5.La conique \( C \) est définie par ses expressions paramétriques : \[ x(t) = \dfrac{3}{\cos t}, \quad y(t) = 2 \tan t \] L’équation cartésienne de \( C \) est :
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6.La fonction : \[ f(x) = \ln(x + 2) - \ln(4 - x) \] est définie dans l’intervalle :
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7.Soit la fonction \( f(x) = \dfrac{1}{2} \sqrt{x} \). Le volume \( V \) engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses de la région délimitée par : - le graphique de \( f \), - l’axe des abscisses, - l’axe des ordonnées, - la droite \( x = 4 \) est :
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8.L’équation : \[ iZ^3 + (-1 + 2i)Z^2 - (4 + i)Z + 3(-1 + 2i) = 0 \] admet trois racines : \( Z_1 \) imaginaire pure (point image A), \( Z_2 = -3 \) réelle (point image B), \( Z_3 \) quelconque (point image C). La valeur de \( Z_1 \cdot Z_2 \cdot Z_3 \) est :
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9.L’équation : \[ iZ^3 + (-1 + 2i)Z^2 - (4 + i)Z + 3(-1 + 2i) = 0 \] admet trois racines : - \( Z_1 \) imaginaire pure (point image A), - \( Z_2 = -3 \) réelle (point image B), - \( Z_3 \) quelconque (point image C). La droite \( (h) \), hauteur issue du sommet \( C \) au côté \( AB \), a pour équation :
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10.Partant de l’équation : \[ y^2 - x^2 = 4 \] l’expression de \( dy \) en fonction de \( x, y \) et \( dx \) est :
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11.La limite de la fonction : \[ f(x) = \left( e^{3x} + 2x \right)^{\frac{6}{x}} \] lorsque \( x \to 0 \) est :
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12.La droite \( (d) \) passe par le point d’intersection des droites : \[ 2y - x + 3 = 0 \quad \text{et} \quad y + 4x - 2 = 0 \] et elle est perpendiculaire à la première bissectrice des axes. L’équation de \( (d) \) est :
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13.Le pôle \( P \) de la droite \( y + x + 1 = 0 \) par rapport à la conique : \[ x^2 + y^2 + xy - x - y + 2 = 0 \] a pour coordonnées :
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14.Dans l’ensemble \( E = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \), on définit : \[ x * y = xy + x + y \] Soit \( x' \) l’élément neutre de \( E \), et \( (x')^5 \) sa puissance 5.
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15.Dans l’ensemble \( E = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \), on définit : \[ x * y = xy + x + y \].Dans la loi \( x * y = xy + x + y \), la solution de : \[ -2 * x * 1 \]
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16.Soient les points : - \( A(2, -1) \) - \( B(5, -3) \) et \( M(x, y) \) tel que \( B \) est le milieu de \( [AM] \). Les coordonnées de \( M \) sont :
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17.Un point \( M(x, y) \) se déplace dans le plan tel que : \[ \text{distance}^2(M, A(2, 0)) = 2 \cdot \text{distance}^2(M, B(0, 1)) \] Le lieu de \( M \) est :
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18.Le cercle \( C \) passe par les points d’intersection des cercles : \[ x^2 + y^2 - 4x + 2y - 2 = 0 \quad \text{et} \quad x^2 + y^2 + 2x - 4y + 2 = 0 \] et son centre est sur la droite \( y - 2x - 1 = 0 \). Les caractéristiques de \( C \) sont :
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19.Sur un intervalle \( I \subset \mathbb{R} \), indiquez la proposition \textbf{fausse} concernant une fonction \( f \).
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20.Développement de Maclaurin de \( f(x) = x e^{-x} \) La formule générale est :
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21.La somme des coefficients des quatre premiers termes non nuls du développement de \( f(x) = x e^{-x} \) est :
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22.Soit la famille de coniques : \[ x^2 + \lambda xy + y^2 - 4\lambda y + 1 = 0 \] Le lieu des centres de ces coniques est :
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23.La limite de \( f(x) = \dfrac{\arctg(x - 1)}{1 - x} \) lorsque \( x \to 1 \) est :
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24.Soit \( A \) l’aire de la partie du plan comprise entre : - la courbe \( y = x^2 + 3 \), - les droites \( y = x + 1 \), \( x = -1 \), et \( x = 1 \). En unité d’aire, \( A \) vaut :
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25.Les coordonnées des sommets de la conique : \[ y^2 + 6xy + x^2 - 4x + 4y = 0 \] sont :
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26.Soit la fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = \dfrac{1}{2x^2} - \dfrac{1}{2x \ln x} \] La limite de \( f \) lorsque \( x \to 0 \) est égale à :
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27.Soit la fonction \( f \) définie dans \( \mathbb{C} \) par : \[ f(z) = z^3 + 2(1 + i)z^2 + az + b \] où \( a, b \in \mathbb{C} \), tels que : \[ f(3i) = 0 \quad \text{et} \quad f(-1) = 110 - 30i. \] L’expression \( a - b \) vaut :
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28.La conique \( C \) est définie par les équations paramétriques : \[ x = 4 \cos 2t, \quad y = 5 \sin 2t \] Les points de rencontre de \( C \) avec l’axe des abscisses sont :
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29.Les coordonnées des foyers de la conique \( C \) définie par : \[ x = 4 \cos 2t, \quad y = 5 \sin 2t \] sont :
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30.Dans le système d’axes cartésiens \( O(\vec{i}, \vec{j}) \) où \( \theta = 60^\circ \), la droite \( (d) \) est perpendiculaire à l’axe des abscisses. Le coefficient angulaire de \( (d) \) vaut :
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31.Soit la fonction \( f(x) = x e^{1 - x} \). En développant \( f \) par la formule de Mac-Laurin, le coefficient du \( n^\text{e} \) terme est :
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32.L’aire de la surface comprise entre la courbe \( y = x e^{1 - x} \), les droites \( x = 0 \), \( x = 1 \) et l’axe des abscisses vaut (en u.s) :
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33.La droite \( (d) \) d’équation : \[ (k - 3)y + (2p + 5)x - 1 = 0 \] passe par le point \( (1, -3) \) et sa pente vaut \( -2 \). Le nombre \( k + p \) vaut :
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34.Soit la fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = \begin{cases} x(\ln x - 1), & \text{si } x > 0,\\ 0, & \text{si } x = 0 \end{cases} \] et \( (C) \) sa courbe représentative. La proposition vraie est :
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35.Trois chevaux \( A, B, C \) participent à une course. Après observations et analyses, il est constaté que : - \( A \) possède deux fois plus de chance que \( B \) de gagner, - \( B \) a deux fois plus de chance que \( C \) de gagner la course. La probabilité \( p(B) \) pour que le cheval \( B \) gagne la course est :
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36.Soit la fonction : \[ f(x) = \dfrac{e^{2x} - 1}{\ln(1 - x)} \] Le domaine de définition de \( f \) est :
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37.L’ensemble de solutions de l’inéquation : \[ e^x - 7 + 12e^{-x} < 0 \] est :
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38.La droite \( (d) \) passant par les points d’intersection des droites \( (d_1) \equiv y - 2x + 5 = 0 \) et dont l’ordonnée à l’origine est égale à 3 a pour équation :
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39.Le cercle \( (C) \) passant par les points de rencontre des cercles : \[ (C_1) \equiv x^2 + y^2 - 4x + 2y + 3 = 0 \quad \text{et} \quad (C_2) \equiv x^2 + y^2 + x - 2y - 2 = 0 \] et dont le centre est sur la deuxième bissectrice des axes a pour équation :
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40.Soit la famille de coniques définie par : \[ y^2 + 2\lambda xy + x^2 - 2y - 2\lambda x + 2 = 0, \quad \lambda \in \mathbb{R} \] On trace depuis l’origine les tangentes à chaque conique de la famille. Le lieu des points de contact de ces tangentes est une conique \( (C) \). L’équation de \( (C) \) est :
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41.Dans \( E = \mathbb{R} \setminus \{1\} \), on définit deux lois internes : \begin{itemize} \item[*] \( a * b = a + b - 3 \) \item[\( \circ \)] \( a \circ b = ab - a - b + 2 \) \end{itemize} Soit \( x \) l’élément neutre de \( (E, *) \), et \( y \) le symétrique de 5 dans \( (E, \circ) \). La somme \( x + y \) vaut :
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42.Dans \( (E, \circ) \), on donne l’équation : \[ m \circ 4 = 3 \] La valeur de \( m \) est :
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43.Le lieu des pieds des normales à la famille de coniques : \[ \lambda xy + 2x - y - \lambda = 0, \quad \lambda \in \mathbb{R} \] parallèles à la droite \( (d) \) d’équation \( y + x - 3 = 0 \) est une conique \( (C) \) d’équation :
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44.Dans l’ensemble \( \mathbb{C} \), on donne le nombre complexe : \[ Z = 4 + 3i \] L’opposé du conjugué de \( Z \) est :
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45.La fonction \( f \) est définie par : \[ f(x) = x \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \] Le coefficient du 3\textsuperscript{ème} terme non nul du développement de \( f \) par la formule de Mac-Laurin vaut :
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46.Les équations des asymptotes de la conique : \[ y^2 + 2xy - 3x^2 - y + x + 3 = 0 \] sont :
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47.On donne la conique : \[ y^2 + 4xy - 2x^2 - 2y + 2x + 1 = 0. \].Les équations des axes de symétrie de la conique sont :
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48.On donne la conique : \[ y^2 + 4xy - 2x^2 - 2y + 2x + 1 = 0. \].Les coordonnées du centre de la conique sont :
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49.L’équation \[ 2\ln^2 x + 7\ln x - 4 = 0 \] a pour solution(s) :
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50.Le pôle de la droite \[ y - x + 1 = 0 \] par rapport à la conique \[ y^2 - xy - x^2 + y + x + 1 = 0 \] est le couple :
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