1.Soient deux vecteurs : \[ \vec{u} = (6,\ -14), \quad \vec{v} = (-3,\ a,\ b) \] →u et →v sont colinéaires lorsque le couple \((a,\ b)\) vaut :
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2.Le point \(P_2(2,\ 6)\) est une extrémité d’un diamètre d’un cercle de centre \(P_1(4,\ 1)\). Quelles sont les coordonnées de l’autre extrémité \(P(x,\ y)\) ?
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3.Dans l’espace, on donne : - Un vecteur \(\vec{u} = (-1,\ 2,\ 1)\) - Un point \(A(3,\ 4,\ -1)\) Déterminer une équation du plan \(\varphi\) orthogonal à \(\vec{u}\) et passant par \(A\).
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4.Dans l’espace, on donne : - Un vecteur \(\vec{u} = (-1,\ 2,\ 1)\) - Un point \(A(3,\ 4,\ -1)\) Déterminer une équation du plan \(\varphi\) orthogonal à \(\vec{u}\) et passant par \(A\)
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5.Une droite d et deux plans π et π' ont pour équations respectives : \[ d \equiv \frac{x + 3}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 8}{-2}, \quad \pi \equiv 2x + 3y + z - 1 = 0, \quad \pi' \equiv 2x + 3y - 4z - 5 = 0. \] Le point A est l’intersection de d et π. L’équation de la droite d' passant par A et perpendiculaire à π' est :
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6.Soient une conique Γ et une droite d d’équations respectives : \[ \Gamma \equiv x^2 - (a - 1)y^2 - (a + 1)xy + 2x + 8y + 1 = 0, \quad d \equiv x + y = 0. \] . La valeur du réel \(a\) pour que le centre de la conique Γ soit sur la droite d vaut :
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7.Soient une conique Γ et une droite d d’équations respectives : \[ \Gamma \equiv x^2 - (a - 1)y^2 - (a + 1)xy + 2x + 8y + 1 = 0, \quad d \equiv x + y = 0. \].
Les coordonnées dudit centre valent :
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8.Soient donnés la conique Γ et un point P d’équations : \[ \Gamma \equiv x^2 + xy + y^2 - 7x - 5y + 9 = 0, \quad P(-1,\ 1). \] Les deux tangentes à la conique Γ passant par le point P ont pour coefficients angulaires \(m_1\) et \(m_2\). Le produit \(m_1 \cdot m_2\) vaut :
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9.Un point \(P(x, y)\) se déplace de telle sorte que sa distance au point \(Q(2, 3)\) est toujours égale à sa distance à l’axe \(OY\). L’équation du lieu est :
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10.L'équation de l'hyperbole conjuguée à l’hyperbole passant par le point \((4,\ 6)\) ayant pour asymptotes \(y = \pm \sqrt{3}x\) est :
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11.Soient trois droites \(d_1, d_2, d_3\) définies par : \[ d_1 \equiv x - y - 8 = 0, \quad d_2 \equiv 2x - y - 14 = 0, \quad d_3 \equiv 3x - y - 22 = 0. \]L’équation du cercle circonscrit au triangle défini par ces trois droites est :
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12.Soient trois droites \(d_1, d_2, d_3\) définies par : \[ d_1 \equiv x - y - 8 = 0, \quad d_2 \equiv 2x - y - 14 = 0, \quad d_3 \equiv 3x - y - 22 = 0. \]Le centre et le rayon dudit cercle valent respectivement :
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13.Soient les équations paramétriques : \[ x = 4 \tan(\theta), \quad y = \frac{4}{\cos(\theta)} \] L'équation de la courbe définie paramétriquement est :
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14.On définit dans \(\mathbb{R}\) l’opération \(*\) par : \[ a * b = ab - a - b + 2, \quad \forall a, b \in \mathbb{R}. \] Soit \(a'\) le symétrique de \(\frac{4}{3}\) pour la loi \(*\). Le réel \(x\) tel que \(x * a' = -5\) vaut :
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15.Dans \(\mathbb{R}^2\), on définit deux opérations * et T respectivement par : \[ (x, y) * (x', y') = (x + x',\ y \cdot y'), \quad (x, y) \mathbin{T} (x', y') = (x - x',\ y / y'). \] Le couple \((x, y)\) tel que : \[ (x, y) * (-3, y) = (-3, y) \mathbin{T} (2, x) \] \((x, y)\) vaut :
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16.L'ensemble des solutions de l'équation complexe : \[ x^3 + (3i - 4)x^2 - 2(6i + 1)x + 8 = 0 \] est :
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17.Soit la fonction \(f\) définie par : \[ f(x) = x^2 \ln x \quad \text{où } \ln x \text{ est le logarithme népérien}. \]La fonction \(f\) est définie et continue sur l’intervalle :
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18.Soit la fonction \(f\) définie par : \[ f(x) = x^2 \ln x \quad \text{où } \ln x \text{ est le logarithme népérien}. \]La limite de \(f\) lorsque \(x \to +\infty\) vaut :
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19.On considère la fonction \(f(x) = x^2 \ln x\). On cherche l’intervalle sur lequel cette fonction est croissante. La fonction est croissante sur l’intervalle :
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20.Dans \(\mathbb{R}\), on considère l’équation : \[ e^{3x + 2} = e^{4x - 1} \] L’ensemble des solutions est :
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21.La fonction \(f\) est définie par : \[ f(x) = \frac{x - e^x}{2x - \ln x} \] La limite de \(f(x)\) lorsque \(x \to +\infty\) vaut :
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22.la courbe représentative de la fonction : \[ f(x) = 3e^{x+1} \quad \text{dans un repère orthogonal}. \] En unité de surface, l’aire sous la courbe \((C)\) pour \(x \in [-2,\ 1]\) vaut :
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23.La fonction \(f\) est définie par : \[ f(x) = \begin{cases} |x| & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \] On cherche : \[ \int_{-2}^{0} |x^2 - 1|\, dx \]
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24.Soit la fonction \(f(x) = \sin^3(x)\). On cherche une primitive de \(f(x)\), c’est-à-dire : \[ \int \sin^3(x)\ dx \]
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25.La fonction est définie par : \[ y = e^x(x^2 - 1) \] On cherche le rapport différentiel : \[ \frac{dy}{dx} \]
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26.On considère la suite définie par : \[ S_n = \frac{(-1)^n}{2} + \frac{1}{n^2 + 1}, \quad n \in \mathbb{N} \] On cherche les bornes inférieure et supérieure de \(S_n\). Propositions :
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