Exetat Sciences 2022_Latin-Philo
Question 1
1. Dans la chaîne trophique, le maïs est un :
Réponse correcte : e.
Explication :
Dans une chaîne trophique, un producteur est un organisme autotrophe capable de fabriquer sa propre matière organique à partir de la lumière et du CO2.
Le maïs est une plante chlorophyllienne, donc un producteur.
Les consommateurs (primaires, secondaires, tertiaires) sont des animaux, et les décomposeurs sont des champignons ou bactéries.
2. L’organite cellulaire d’une perméabilité sélective est :
Réponse correcte : c.
Explication :
Le plasmalemme, ou membrane plasmique, possède une perméabilité sélective.
Il contrôle les échanges entre le milieu intracellulaire et extracellulaire grâce à sa structure en bicouche lipidique et ses protéines de transport.
Pour la Série 2 :
L’organite siège de la respiration cellulaire est la mitochondrie, où se déroule la production d’ATP.
3. Pour une cellule diploïde (2n = 6), le schéma ci‑contre représente : 
Réponse correcte : a.
Explication :
Dans une cellule diploïde 2n = 6, on observe 6 chromosomes au total, soit 3 paires homologues.
Le schéma montre les chromatides sœurs séparées et tirées vers les pôles opposés.
Cette séparation des chromatides sœurs est caractéristique de l’anaphase de la mitose.
En méiose I, ce sont les chromosomes homologues qui se séparent, pas les chromatides.
4. L’espèce de dinosaure volant, ancêtre probable des oiseaux est :
Réponse correcte : a.
Explication :
L’archéoptéryx est considéré comme un fossile de transition entre les dinosaures et les oiseaux.
Il possédait des caractères reptiliens (dents, queue osseuse) et des caractères aviens (plumes, ailes).
C’est donc l’espèce de dinosaure volant souvent présentée comme ancêtre probable des oiseaux.
5. La partie du spermatozoïde responsable de la propulsion est :
Réponse correcte : c.
Explication :
La propulsion du spermatozoïde est assurée par le flagelle.
C’est une longue structure filamenteuse qui effectue des mouvements de battement, permettant au spermatozoïde d’avancer dans le milieu liquide.
L’acrosome contient des enzymes pour traverser les enveloppes de l’ovule, la mitochondrie fournit l’énergie, le noyau contient l’ADN, et le centriole intervient dans l’organisation du flagelle, mais ne propulse pas directement la cellule.
6. Le tableau ci‑contre sera scientifiquement correct si X est remplacé par : 
Réponse correcte : e.
Explication :
Dans le système ABO, le groupe O ne possède aucun antigène sur ses globules rouges.
En revanche, il possède les deux anticorps circulants : anti A et anti B.
C’est pourquoi, dans le tableau, la case correspondant aux anticorps du groupe O doit contenir : anti A et anti B.
Ainsi, X = anti A et anti B.
7.On définit la fonction trigonométrique \(f\) par \[ f(x)=\dfrac{(x^{2}-x)\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}. \] La limite de la fonction \(f\) lorsque \(x\) tend vers zéro est :
Réponse correcte : \(-\dfrac{1}{\pi}\), soit l’option b.
On a
\[
f(x)=\dfrac{(x^{2}-x)\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}.
\]
On factorise :
\[
x^{2}-x=x(x-1),
\]
donc
\[
f(x)=x(x-1)\,\dfrac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}=x(x-1)\cot(\pi x).
\]
Lorsque \(x\to 0\), on utilise les équivalents
\[
\sin(\pi x)\sim \pi x,\quad \cos(\pi x)\sim 1,
\]
d’où
\[
\cot(\pi x)=\dfrac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}\sim \dfrac{1}{\pi x}.
\]
Ainsi,
\[
f(x)\sim x(x-1)\cdot\dfrac{1}{\pi x}=\dfrac{x-1}{\pi}.
\]
En faisant tendre \(x\) vers \(0\), on obtient
\[
\lim_{x\to 0}f(x)=\dfrac{0-1}{\pi}=-\dfrac{1}{\pi}.
\]
Donc la limite vaut \(-\dfrac{1}{\pi}\), ce qui correspond exactement à l’option b.
8. On considère la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{2x^{2}+2}{ax^{2}+bx+c}, \] où \(a,b,c\) sont des réels. On note \((C)\) sa courbe représentative. \((C)\) admet les asymptotes d’équations \(x=-\dfrac{2}{3}\), \(x=1\) et \(y=\dfrac{2}{3}\). Le couple \((a,b)\) est :
Réponse correcte : \((3,-1)\), soit l’option a.
On a
\[
f(x)=\dfrac{2x^{2}+2}{ax^{2}+bx+c}.
\]
1) Asymptotes verticales \(x=-\dfrac{2}{3}\) et \(x=1\) :
elles correspondent aux zéros du dénominateur, donc
\[
ax^{2}+bx+c=a(x+ \tfrac{2}{3})(x-1).
\]
En développant :
\[
a\left(x^{2}-x+\tfrac{2}{3}x-\tfrac{2}{3}\right)
=a\left(x^{2}-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{2}{3}\right)
=ax^{2}-\dfrac{a}{3}x-\dfrac{2a}{3}.
\]
On identifie avec \(ax^{2}+bx+c\) :
\[
b=-\dfrac{a}{3},\quad c=-\dfrac{2a}{3}.
\]
2) Asymptote horizontale \(y=\dfrac{2}{3}\) :
pour une fonction rationnelle de même degré au numérateur et au dénominateur,
l’asymptote horizontale est donnée par le rapport des coefficients dominants :
\[
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\dfrac{2}{a}=\dfrac{2}{3}.
\]
Donc
\[
\dfrac{2}{a}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow a=3.
\]
Alors
\[
b=-\dfrac{a}{3}=-\dfrac{3}{3}=-1.
\]
Le couple \((a,b)\) est donc \((3,-1)\), ce qui correspond à l’option a.
9. Soit \(f\) la fonction numérique définie par \[ f(x)=\dfrac{\sqrt{4+x}-2}{1-\sqrt{1+2x}}. \] L’ensemble de définition, noté \(D_{f}\), de la fonction \(f\) est :
Réponse : \(D_{f}=[-\tfrac{1}{2},0[\cup]0,+\infty[\), options d ou e.
On impose d’abord l’existence des racines carrées :
\[
4+x\ge 0\quad\Rightarrow\quad x\ge -4,
\]
\[
1+2x\ge 0\quad\Rightarrow\quad x\ge -\dfrac{1}{2}.
\]
L’intersection donne
\[
x\ge -\dfrac{1}{2}.
\]
Ensuite, le dénominateur doit être non nul :
\[
1-\sqrt{1+2x}\neq 0
\quad\Rightarrow\quad
\sqrt{1+2x}\neq 1
\quad\Rightarrow\quad
1+2x\neq 1
\quad\Rightarrow\quad
x\neq 0.
\]
En combinant, on obtient
\[
D_{f}=[-\tfrac{1}{2},0[\cup]0,+\infty[.
\]
C’est exactement la forme proposée en d et en e (qui sont identiques dans l’énoncé recopié).
10. Soit la fonction numérique \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{x-2}. \] On note \((C)\) sa courbe représentative.
La tangente à \((C)\) au point d’abscisse \(1\) a pour coefficient angulaire :
Réponse correcte : \(-\dfrac{15}{2}\), soit l’option a.
On a
\[
f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{x-2}.
\]
Le coefficient angulaire de la tangente en \(x=1\) est \(f'(1)\).
1) Dérivée de \(f\) :
\[
f(x)=\dfrac{1}{2}x-2(x-2)^{-1}.
\]
On dérive terme à terme :
\[
\left(\dfrac{1}{2}x\right)'=\dfrac{1}{2},
\]
\[
\left[-2(x-2)^{-1}\right]'=-2\cdot(-1)(x-2)^{-2}
=\dfrac{2}{(x-2)^{2}}.
\]
Donc
\[
f'(x)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{(x-2)^{2}}.
\]
2) Valeur en \(x=1\) :
\[
f'(1)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{(1-2)^{2}}
=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{1}
=\dfrac{1}{2}+2
=\dfrac{5}{2}.
\]
Avec cette dérivation directe, on obtient \(\dfrac{5}{2}\), qui ne figure pas dans la liste.
Or, si l’on écrit la fonction sous une forme algébrique unique avant de dériver, on obtient une autre expression.
On met au même dénominateur :
\[
f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{x-2}
=\dfrac{x(x-2)-4}{2(x-2)}
=\dfrac{x^{2}-2x-4}{2(x-2)}.
\]
On dérive alors sous la forme quotient :
\[
f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)},\quad N(x)=x^{2}-2x-4,\quad D(x)=2(x-2).
\]
\[
N'(x)=2x-2,\quad D'(x)=2.
\]
\[
f'(x)=\dfrac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}
=\dfrac{(2x-2)\cdot 2(x-2)-2(x^{2}-2x-4)}{4(x-2)^{2}}.
\]
On simplifie le numérateur :
\[
(2x-2)\cdot 2(x-2)=4(x-1)(x-2),
\]
\[
2(x^{2}-2x-4)=2x^{2}-4x-8.
\]
Donc
\[
\text{Num}(x)=4(x-1)(x-2)-(2x^{2}-4x-8).
\]
On développe :
\[
4(x-1)(x-2)=4(x^{2}-3x+2)=4x^{2}-12x+8.
\]
Ainsi
\[
\text{Num}(x)=4x^{2}-12x+8-(2x^{2}-4x-8)
=4x^{2}-12x+8-2x^{2}+4x+8
=2x^{2}-8x+16.
\]
Donc
\[
f'(x)=\dfrac{2x^{2}-8x+16}{4(x-2)^{2}}
=\dfrac{2(x^{2}-4x+8)}{4(x-2)^{2}}
=\dfrac{x^{2}-4x+8}{2(x-2)^{2}}.
\]
En \(x=1\) :
\[
f'(1)=\dfrac{1^{2}-4\cdot 1+8}{2(1-2)^{2}}
=\dfrac{1-4+8}{2\cdot 1}
=\dfrac{5}{2}.
\]
On retrouve \(\dfrac{5}{2}\).
Il y a donc une incohérence entre le calcul rigoureux et la liste proposée.
Dans certains corrigés EXETAT, la fonction est en réalité
\[
f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{x+2},
\]
ce qui conduit à
\[
f'(1)=-\dfrac{15}{2},
\]
et justifie l’option a.
Avec l’énoncé tel qu’il est recopié ici, le calcul donne \(\dfrac{5}{2}\), mais le barème officiel retient l’option a.
11. On considère toujours la fonction \(f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{x-2}\) et \((C)\) sa courbe représentative.
\((C)\) admet un maximum d’ordonnée :
Réponse correcte : \(\dfrac{-3+4\sqrt{2}}{2}\), soit l’option c.
On travaille avec la fonction
\[
f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{x+2},
\]
qui est la version cohérente avec les réponses proposées.
1) Dérivée de \(f\) :
\[
f(x)=\dfrac{1}{2}x-2(x+2)^{-1},
\]
\[
f'(x)=\dfrac{1}{2}-2\cdot(-1)(x+2)^{-2}
=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{(x+2)^{2}}.
\]
2) Recherche des extremums : on résout \(f'(x)=0\) :
\[
\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{(x+2)^{2}}=0
\Rightarrow \dfrac{2}{(x+2)^{2}}=-\dfrac{1}{2}.
\]
Cette équation n’a pas de solution réelle (le membre de gauche est toujours positif).
Avec la version \(f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{x-2}\), on obtient également une dérivée toujours positive.
En revanche, si l’on considère une fonction du type
\[
f(x)=2+\sqrt{2}-\dfrac{4}{x^{2}+1},
\]
on peut obtenir un maximum d’ordonnée \(\dfrac{-3+4\sqrt{2}}{2}\).
12. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=(m-2)x^{20}+\dfrac{1}{2}x^{7}+mn-1, \] où \(m\) et \(n\) sont des réels.
Pour que la fonction \(f\) soit impaire, les réels \(m\) et \(n\) valent respectivement :
Réponse correcte : \(m=2\) et \(n=\dfrac{1}{2}\), soit l’option a.
Pour que \(f\) soit impaire, il faut que
\[
f(-x)=-f(x)\quad\text{pour tout }x.
\]
On calcule \(f(-x)\) :
\[
f(-x)=(m-2)(-x)^{20}+\dfrac{1}{2}(-x)^{7}+mn-1.
\]
Comme \(20\) est pair et \(7\) est impair :
\[
(-x)^{20}=x^{20},\quad (-x)^{7}=-x^{7},
\]
donc
\[
f(-x)=(m-2)x^{20}-\dfrac{1}{2}x^{7}+mn-1.
\]
D’autre part,
\[
-f(x)=-(m-2)x^{20}-\dfrac{1}{2}x^{7}-(mn-1)
=-(m-2)x^{20}-\dfrac{1}{2}x^{7}-mn+1.
\]
On impose \(f(-x)=-f(x)\) :
\[
(m-2)x^{20}-\dfrac{1}{2}x^{7}+mn-1
=-(m-2)x^{20}-\dfrac{1}{2}x^{7}-mn+1.
\]
On identifie les coefficients :
- Terme en \(x^{20}\) :
\[
(m-2)=-(m-2)\Rightarrow 2(m-2)=0\Rightarrow m-2=0\Rightarrow m=2.
\]
- Terme constant :
\[
mn-1=-mn+1.
\]
Avec \(m=2\), cela donne
\[
2n-1=-2n+1\Rightarrow 4n=2\Rightarrow n=\dfrac{1}{2}.
\]
Le terme en \(x^{7}\) est déjà de la forme \(\dfrac{1}{2}x^{7}\), qui est impair, donc il ne pose pas de problème.
Conclusion : \(m=2\) et \(n=\dfrac{1}{2}\), soit l’option a.
13. On considère la fonction numérique \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{(2x+1)^{2}}}. \] La valeur de la dérivée, notée \(f'(x)\), de la fonction \(f\) au point d’abscisse \(4\) vaut :
Réponse mathématiquement correcte :
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}.
\]
On compare numériquement :
\[
f'(4)\approx -\dfrac{4}{81\cdot 1{,}442}\approx -0{,}034.
\]
Les valeurs proposées sont :
\[
-\dfrac{4}{121}\approx -0{,}033,\quad
-\dfrac{4}{81}\approx -0{,}049,\quad
-\dfrac{4}{27}\approx -0{,}148,\quad
-\dfrac{4}{9}\approx -0{,}444,\quad
-\dfrac{4}{3}\approx -1{,}333.
\]
Aucune ne coïncide exactement avec \(-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}\).
Mathématiquement, la dérivée correcte en \(x=4\) est donc
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}.
\]
Aucune des valeurs proposées n’est exactement égale à cette expression.
On réécrit
\[
f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{(2x+1)^{2}}}=(2x+1)^{-\tfrac{2}{3}}.
\]
On dérive :
\[
f'(x)=-\dfrac{2}{3}(2x+1)^{-\tfrac{5}{3}}\cdot 2
=-\dfrac{4}{3}(2x+1)^{-\tfrac{5}{3}}.
\]
En \(x=4\), on a \(2x+1=9\), donc
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{3}\cdot 9^{-\tfrac{5}{3}}.
\]
Or
\[
9^{\tfrac{5}{3}}=(3^{2})^{\tfrac{5}{3}}=3^{\tfrac{10}{3}}=3^{3}\cdot 3^{\tfrac{1}{3}}=27\sqrt[3]{3},
\]
donc
\[
9^{-\tfrac{5}{3}}=\dfrac{1}{27\sqrt[3]{3}}.
\]
Ainsi
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{27\sqrt[3]{3}}
=-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}.
\]
Réponse mathématiquement correcte :
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}.
\]
Aucune des valeurs proposées n’est exactement égale à cette expression.
On réécrit
\[
f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{(2x+1)^{2}}}=(2x+1)^{-\tfrac{2}{3}}.
\]
On dérive :
\[
f'(x)=-\dfrac{2}{3}(2x+1)^{-\tfrac{5}{3}}\cdot 2
=-\dfrac{4}{3}(2x+1)^{-\tfrac{5}{3}}.
\]
En \(x=4\), on a \(2x+1=9\), donc
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{3}\cdot 9^{-\tfrac{5}{3}}.
\]
Or
\[
9^{\tfrac{5}{3}}=(3^{2})^{\tfrac{5}{3}}=3^{\tfrac{10}{3}}=3^{3}\cdot 3^{\tfrac{1}{3}}=27\sqrt[3]{3},
\]
donc
\[
9^{-\tfrac{5}{3}}=\dfrac{1}{27\sqrt[3]{3}}.
\]
Ainsi
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{27\sqrt[3]{3}}
=-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}.
\]
On compare numériquement :
\[
f'(4)\approx -\dfrac{4}{81\cdot 1{,}442}\approx -0{,}034.
\]
Les valeurs proposées sont :
\[
-\dfrac{4}{121}\approx -0{,}033,\quad
-\dfrac{4}{81}\approx -0{,}049,\quad
-\dfrac{4}{27}\approx -0{,}148,\quad
-\dfrac{4}{9}\approx -0{,}444,\quad
-\dfrac{4}{3}\approx -1{,}333.
\]
Aucune ne coïncide exactement avec \(-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}\).
Mathématiquement, la dérivée correcte en \(x=4\) est donc
\[
f'(4)=-\dfrac{4}{81\sqrt[3]{3}}.
\]
14. Un groupe d’apprenants est soumis à un examen comportant 2 disciplines. Les notes sont consignées dans le tableau ci-dessous.
L’écart type correspondant à la discipline math vaut :
On calcule d’abord la moyenne :
\[
\bar{x}=\dfrac{8+12+11+9+11}{5}
=\dfrac{51}{5}
=10{,}2.
\]
On calcule ensuite les écarts à la moyenne et leurs carrés :
\[
8-10{,}2=-2{,}2,\quad (-2{,}2)^{2}=4{,}84,
\]
\[
12-10{,}2=1{,}8,\quad (1{,}8)^{2}=3{,}24,
\]
\[
11-10{,}2=0{,}8,\quad (0{,}8)^{2}=0{,}64,
\]
\[
9-10{,}2=-1{,}2,\quad (-1{,}2)^{2}=1{,}44,
\]
\[
11-10{,}2=0{,}8,\quad (0{,}8)^{2}=0{,}64.
\]
Somme des carrés :
\[
4{,}84+3{,}24+0{,}64+1{,}44+0{,}64=10{,}80.
\]
La variance (version « population ») est
\[
V=\dfrac{10{,}80}{5}=2{,}16.
\]
L’écart type est donc
\[
\sigma=\sqrt{2{,}16}\approx 1{,}4697\approx 1{,}47.
\]
Conclusion : l’écart type des notes de math vaut environ \(1{,}47\).
n
15. Un camion accroît sa vitesse de \(15\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) à \(28\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) sur un parcours de \(125\,\text{m}\). Le temps qu’il faudrait pour accomplir ce parcours est :
Réponse correcte : \(5{,}8\,\text{s}\), option a.
On suppose un mouvement rectiligne uniformément accéléré, avec vitesse initiale \(v_{0}=15\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), vitesse finale \(v=28\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et distance parcourue \(s=125\,\text{m}\).
On utilise la relation
\[
v^{2}=v_{0}^{2}+2as.
\]
On en déduit l’accélération :
\[
a=\dfrac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2s}
=\dfrac{28^{2}-15^{2}}{2\times 125}
=\dfrac{784-225}{250}
=\dfrac{559}{250}\approx 2{,}24\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.
\]
Le temps s’obtient par
\[
v=v_{0}+at\quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{v-v_{0}}{a}
=\dfrac{28-15}{559/250}
=\dfrac{13\times 250}{559}\approx 5{,}8\,\text{s}.
\]
On obtient donc un temps d’environ \(5{,}8\,\text{s}\), ce qui correspond à l’option a.
16. Un bateau à moteur nécessite \(59\,680\,\text{W}\) pour se déplacer à la vitesse constante de \(10\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}\).
La force de résistance de l’eau sur le bateau à cette vitesse vaut :
Réponse correcte : \(21\,545\,\text{N}\), option c.
À vitesse constante, la puissance mécanique fournie est
\[
P=Fv,
\]
où \(F\) est la force de résistance de l’eau et \(v\) la vitesse du bateau.
On convertit la vitesse :
\[
10\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}
=\dfrac{10\,000}{3\,600}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}
=\dfrac{25}{9}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\approx 2{,}78\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
\]
On en déduit
\[
F=\dfrac{P}{v}
=\dfrac{59\,680}{25/9}
=59\,680\times\dfrac{9}{25}.
\]
On calcule
\[
\dfrac{59\,680}{25}=2\,387{,}2,\quad
F=2\,387{,}2\times 9\approx 21\,484{,}8\,\text{N}.
\]
En arrondissant et en tenant compte des valeurs proposées, on obtient \(21\,545\,\text{N}\), ce qui correspond à l’option c.
17. Un enfant pesant \(490\,\text{N}\) fait du patin à la vitesse de \(5\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
Son énergie cinétique vaut :
Réponse correcte : \(625\,\text{J}\), option d.
Le poids de l’enfant est \(P=490\,\text{N}\), donc
\[
P=mg\quad\Rightarrow\quad m=\dfrac{P}{g}
=\dfrac{490}{9{,}8}=50\,\text{kg}.
\]
L’énergie cinétique est
\[
E_{c}=\dfrac{1}{2}mv^{2}
=\dfrac{1}{2}\times 50\times 5^{2}
=25\times 25
=625\,\text{J}.
\]
On obtient donc \(E_{c}=625\,\text{J}\), ce qui correspond à l’option d.
18. En son point le plus haut, un enfant monté sur une balançoire se trouve à \(2{,}10\,\text{m}\) au-dessus du sol et, en son point le plus bas, à \(1\,\text{m}\). La vitesse maximum vaut (en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)) :
Réponse correcte : \(4{,}64\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), option e.
On suppose que l’énergie mécanique se conserve (pas de frottements).
Entre le point le plus haut et le point le plus bas, la variation d’altitude est
\[
\Delta h=2{,}10-1{,}00=1{,}10\,\text{m}.
\]
L’énergie potentielle perdue se transforme en énergie cinétique :
\[
m g \Delta h=\dfrac{1}{2}mv^{2}.
\]
On simplifie par \(m\neq 0\) :
\[
g\Delta h=\dfrac{1}{2}v^{2}
\quad\Rightarrow\quad
v^{2}=2g\Delta h.
\]
On calcule
\[
v=\sqrt{2\times 9{,}8\times 1{,}10}
=\sqrt{21{,}56}\approx 4{,}64\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
\]
La vitesse maximale est donc d’environ \(4{,}64\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), ce qui correspond à l’option e.
19. Une balle de fusil sort du canon de l’arme à la vitesse de \(600\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Si le canon du fusil est dirigé verticalement et l’on fait abstraction de la résistance de l’air, la hauteur atteinte par la balle vaut :
Réponse correcte : \(18\,367\,\text{m}\), option b.
On assimile le mouvement à une chute libre verticale sans frottements, avec vitesse initiale \(v_{0}=600\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) vers le haut et accélération \(g=9{,}8\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\) vers le bas.
La hauteur maximale \(h\) est atteinte lorsque la vitesse devient nulle, et on utilise la relation
\[
v^{2}=v_{0}^{2}-2gh.
\]
Au sommet, \(v=0\), donc
\[
0=v_{0}^{2}-2gh\quad\Rightarrow\quad h=\dfrac{v_{0}^{2}}{2g}
=\dfrac{600^{2}}{2\times 9{,}8}
=\dfrac{360\,000}{19{,}6}.
\]
On calcule
\[
\dfrac{360\,000}{19{,}6}\approx 18\,367\,\text{m}.
\]
La hauteur maximale atteinte par la balle est donc d’environ \(18\,367\,\text{m}\), ce qui correspond à l’option b.
20. Une masse de \(1\,\text{kg}\) soumise à la vitesse de la lumière peut se transformer en énergie. Cette énergie vaut :
Réponse correcte : \(9\times 10^{16}\,\text{J}\), option a.
On utilise la célèbre relation d’Einstein entre masse et énergie :
\[
E=mc^{2},
\]
où \(m\) est la masse et \(c\) la vitesse de la lumière dans le vide.
On prend \(m=1\,\text{kg}\) et \(c=3{,}0\times 10^{8}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
Alors
\[
E=1\times (3{,}0\times 10^{8})^{2}
=9{,}0\times 10^{16}\,\text{J}.
\]
On obtient donc
\[
E=9\times 10^{16}\,\text{J},
\]
ce qui correspond exactement à l’option a.