Exetat Math 2016_Latin-Philo
Question 1
1. On considère dans \(\mathbb{R}\) la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\sqrt{\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}-4}} \] et \(f^{-1}\) sa réciproque. Le réel \(f^{-1}\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)\) est égal à :
Pour la fonction
\[
f(x)=\sqrt{\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}-4}},
\]
on a toujours
\[
\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}-4}\ge 0
\]
et la racine carrée est par définition \(\ge 0\).
Ainsi, pour tout \(x\) du domaine de \(f\), on a \(f(x)\ge 0\).
Il est donc impossible d’avoir
\[
f(x)=-\dfrac{1}{2}<0
\]
pour un réel \(x\).
La valeur \(-\dfrac{1}{2}\) n’appartient pas à l’image de \(f\), donc \(f^{-1}\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)\) n’existe pas dans \(\mathbb{R}\) (aucun réel ne convient).
2. Soient \(f,g,h\) les fonctions définies dans \(\mathbb{R}\) respectivement par \[ f(x)=\dfrac{1}{2}x-3,\quad g(x)=3x+2,\quad h(x)=ax+b \] avec \(a,b\) des réels, et la composée de \(f\) suivie de \(h\), notée \(f\circ h\), est égale à \(g\). Le nombre réel \(a+b\) vaut :
On impose \(f\circ h=g\), c’est-à-dire
\[
f(h(x))=g(x).
\]
On a
\[
h(x)=ax+b,\quad f(x)=\dfrac{1}{2}x-3,\quad g(x)=3x+2.
\]
Alors
\[
f(h(x))=\dfrac{1}{2}(ax+b)-3=\dfrac{a}{2}x+\left(\dfrac{b}{2}-3\right).
\]
On identifie avec \(3x+2\) :
\[
\dfrac{a}{2}=3\quad\Rightarrow\quad a=6,
\]
\[
\dfrac{b}{2}-3=2\quad\Rightarrow\quad\dfrac{b}{2}=5\quad\Rightarrow\quad b=10.
\]
On obtient
\[
a+b=6+10=16.
\]
(La méthode de composition et d’identification des coefficients est celle à retenir pour ce type de question.)
3. Soit \[ f:x\mapsto\dfrac{x^{2}+|x|}{x^{2}|x|} \] une fonction dans \(\mathbb{R}\). Le domaine de définition de \(f\) est :
On considère
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}+|x|}{x^{2}|x|}.
\]
Le seul problème de définition vient du dénominateur \(x^{2}|x|\), qui s’annule si et seulement si \(x=0\).
La valeur absolue \(|x|\) est définie pour tout réel, donc aucune autre restriction.
Le domaine de définition est donc
\[
D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}=\mathbb{R}^{*}.
\]
Parmi les propositions, c’est exactement \(\mathbb{R}^{*}\).
4. Soit la fonction périodique définie par \[ f(x)=\dfrac{\cos(2x-1)+\sin(3x+7)}{2-\cos\!\left(\dfrac{x}{4}-1\right)} \] et \(T\) sa période. La période \(T\) de la fonction \(f\) est égale à :
On étudie la période de
\[
f(x)=\dfrac{\cos(2x-1)+\sin(3x+7)}{2-\cos\!\left(\dfrac{x}{4}-1\right)}.
\]
Les périodes des composantes sont :
\[
\cos(2x-1)\ \text{a pour période}\ T_{1}=\pi,
\]
\[
\sin(3x+7)\ \text{a pour période}\ T_{2}=\dfrac{2\pi}{3},
\]
\[
\cos\!\left(\dfrac{x}{4}-1\right)\ \text{a pour période}\ T_{3}=8\pi.
\]
La période commune \(T\) doit être un multiple commun de \(\pi\), \(\dfrac{2\pi}{3}\) et \(8\pi\).
On écrit \(T=n\pi\). Il faut que
\[
\dfrac{T}{\pi}=n\in\mathbb{N},\quad \dfrac{T}{2\pi/3}=\dfrac{3n}{2}\in\mathbb{N},\quad \dfrac{T}{8\pi}=\dfrac{n}{8}\in\mathbb{N}.
\]
Donc \(n\) doit être multiple de \(2\) et de \(8\), soit \(n=8\) au plus petit.
Ainsi
\[
T=8\pi.
\]
5. Soit \[ f:x\mapsto\dfrac{-x^{2}+4x}{x^{2}-4x+3} \] une fonction définie dans \(\mathbb{R}\) et \((C)\) sa courbe représentative. L’équation de l’axe de symétrie à la courbe \((C)\) est :
On a
\[
f(x)=\dfrac{-x^{2}+4x}{x^{2}-4x+3}.
\]
Le dénominateur se factorise :
\[
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3),
\]
ce qui donne deux asymptotes verticales \(x=1\) et \(x=3\).
Pour ce type de fonction rationnelle, la courbe est symétrique par rapport à la droite verticale passant par le milieu des asymptotes verticales, c’est-à-dire
\[
x=\dfrac{1+3}{2}=2.
\]
L’axe de symétrie de la courbe \((C)\) est donc la droite \(x=2\).
(C’est exactement la même abscisse que l’axe de symétrie du polynôme \(-x^{2}+4x\), qui est \(x=2\).)
6. Soit \(f\) la fonction définie dans \(\mathbb{R}\) par \[ f(x)=\dfrac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}. \] La limite de \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(5\) vaut :
On considère
\[
f(x)=\dfrac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}
\]
et on cherche
\[
\lim_{x\to 5}f(x).
\]
En \(x=5\), on a
\[
x-5\to 0,\quad \sqrt{2x-1}-3\to \sqrt{9}-3=0,
\]
c’est une forme indéterminée \(0/0\). On rationalise le dénominateur :
\[
f(x)=\dfrac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}\cdot\dfrac{\sqrt{2x-1}+3}{\sqrt{2x-1}+3}
=\dfrac{(x-5)(\sqrt{2x-1}+3)}{(2x-1)-9}.
\]
Au dénominateur :
\[
(2x-1)-9=2x-10=2(x-5),
\]
donc
\[
f(x)=\dfrac{(x-5)(\sqrt{2x-1}+3)}{2(x-5)}=\dfrac{\sqrt{2x-1}+3}{2}
\]
pour \(x\neq 5\).
La limite devient
\[
\lim_{x\to 5}f(x)=\dfrac{\sqrt{2\cdot 5-1}+3}{2}
=\dfrac{\sqrt{9}+3}{2}
=\dfrac{3+3}{2}=3.
\]
7. Soit \[ f:x\mapsto\dfrac{x^{2}}{x-4} \] la fonction définie dans \(\mathbb{R}\) et \((C)\) sa courbe représentative. Les asymptotes à la courbe \((C)\) se coupent au point de coordonnées :
On a
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-4}.
\]
Le dénominateur s’annule en \(x=4\), donc il y a une asymptote verticale \(x=4\).
On effectue la division euclidienne :
\[
\dfrac{x^{2}}{x-4}=x+4+\dfrac{16}{x-4}.
\]
Ainsi, pour \(|x|\) grand,
\[
f(x)\approx x+4,
\]
et la courbe admet une asymptote oblique d’équation
\[
y=x+4.
\]
Les deux asymptotes sont donc
\[
x=4\quad\text{et}\quad y=x+4.
\]
Leur point d’intersection est obtenu en remplaçant \(x=4\) dans \(y=x+4\) :
\[
y=4+4=8.
\]
Le point de rencontre est \((4,8)\).
8. On considère la fonction \(f\) définie dans \(\mathbb{R}\) par \[ f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}+4x+3} \] et \((C)\) sa courbe représentative. La courbe \((C)\) est décroissante dans l’intervalle :
On considère
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}+4x+3}.
\]
Le dénominateur se factorise :
\[
x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3),
\]
donc le domaine est \(\mathbb{R}\setminus\{-3,-1\}\).
On dérive \(f\) :
\[
f'(x)=\dfrac{(2x)(x^{2}+4x+3)-(x^{2}-4)(2x+4)}{(x^{2}+4x+3)^{2}}.
\]
On développe le numérateur :
\[
2x(x^{2}+4x+3)=2x^{3}+8x^{2}+6x,
\]
\[
(x^{2}-4)(2x+4)=2x^{3}+4x^{2}-8x-16,
\]
\[
N(x)=2x^{3}+8x^{2}+6x-(2x^{3}+4x^{2}-8x-16)
=4x^{2}+14x+16.
\]
On factorise :
\[
N(x)=2(2x^{2}+7x+8).
\]
Le discriminant de \(2x^{2}+7x+8\) est
\[
\Delta=7^{2}-4\cdot 2\cdot 8=49-64=-150\) pour tout \(x\).
Ainsi
\[
f'(x)=\dfrac{N(x)}{(x^{2}+4x+3)^{2}}>0
\]
pour tout \(x\) du domaine.
La fonction est donc strictement croissante sur chacun des intervalles de son domaine, et il n’existe aucun intervalle où \((C)\) soit décroissante.