Exetat Math 2017_Latin-Philo
Question 1
1. On donne les fonctions \[ f:x\mapsto\dfrac{2x-3}{4}\quad\text{et}\quad g:x\mapsto\dfrac{2x}{x-3} \] définies dans \(\mathbb{R}\). \((g\circ f)(x)\) est égale à :
Réponse : \(\dfrac{4x-6}{2x-15}\).
On calcule la composée
\[
(g\circ f)(x)=g(f(x))=g\!\left(\dfrac{2x-3}{4}\right)
=\dfrac{2\cdot\dfrac{2x-3}{4}}{\dfrac{2x-3}{4}-3}.
\]
Au numérateur :
\[
2\cdot\dfrac{2x-3}{4}=\dfrac{2x-3}{2}.
\]
Au dénominateur :
\[
\dfrac{2x-3}{4}-3=\dfrac{2x-3-12}{4}=\dfrac{2x-15}{4}.
\]
Donc
\[
(g\circ f)(x)=\dfrac{\dfrac{2x-3}{2}}{\dfrac{2x-15}{4}}
=\dfrac{2x-3}{2}\cdot\dfrac{4}{2x-15}
=\dfrac{(2x-3)\cdot 2}{2x-15}
=\dfrac{4x-6}{2x-15}.
\]
2. \[ \lim_{x\to 0}\dfrac{1+x-\sqrt{1+x}}{\sqrt{x+1}-1} \quad\text{vaut :} \]
Réponse : \(1\).
On étudie
\[
L=\lim_{x\to 0}\dfrac{1+x-\sqrt{1+x}}{\sqrt{x+1}-1}.
\]
On pose \(t=\sqrt{1+x}\), alors \(t^{2}=1+x\) et \(x=t^{2}-1\).
Le numérateur devient
\[
1+x-\sqrt{1+x}=1+(t^{2}-1)-t=t^{2}-t,
\]
le dénominateur vaut
\[
\sqrt{x+1}-1=t-1.
\]
Ainsi
\[
\dfrac{1+x-\sqrt{1+x}}{\sqrt{x+1}-1}
=\dfrac{t^{2}-t}{t-1}
=t\quad(t\neq 1).
\]
Quand \(x\to 0\), on a \(t=\sqrt{1+x}\to 1\). Donc
\[
L=\lim_{t\to 1}t=1.
\]
3. On définit la fonction \[ f(x)=\dfrac{1}{1+7x} \] et on note \(f^{-1}\) sa réciproque. L’expression \(f^{-1}\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\) vaut :
Réponse : \(\dfrac{1}{7}\).
On cherche la réciproque de
\[
f(x)=\dfrac{1}{1+7x}.
\]
On écrit \(y=f(x)\) :
\[
y=\dfrac{1}{1+7x}\quad\Rightarrow\quad 1+7x=\dfrac{1}{y}
\quad\Rightarrow\quad 7x=\dfrac{1}{y}-1=\dfrac{1-y}{y}.
\]
Donc
\[
x=\dfrac{1-y}{7y}.
\]
Ainsi
\[
f^{-1}(y)=\dfrac{1-y}{7y}.
\]
On évalue en \(y=\dfrac{1}{2}\) :
\[
f^{-1}\!\left(\dfrac{1}{2}\right)
=\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{7\cdot\dfrac{1}{2}}
=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{7}{2}}
=\dfrac{1}{7}.
\]
4. La valeur de la dérivée première de \[ f(x)=\dfrac{x+2}{3-x}-\dfrac{x}{5x+3} \] pour \(x=-1\) est :
Réponse : \(-\dfrac{7}{16}\).
On dérive
\[
f(x)=\dfrac{x+2}{3-x}-\dfrac{x}{5x+3}.
\]
Pour le premier terme, on pose \(u=x+2\), \(v=3-x\). Alors
\[
u'=1,\quad v'=-1,\quad
\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}
=\dfrac{(1)(3-x)-(x+2)(-1)}{(3-x)^{2}}
=\dfrac{3-x+x+2}{(3-x)^{2}}
=\dfrac{5}{(3-x)^{2}}.
\]
Pour le second terme, \(u=x\), \(v=5x+3\) :
\[
u'=1,\quad v'=5,\quad
\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{(1)(5x+3)-x\cdot 5}{(5x+3)^{2}}
=\dfrac{5x+3-5x}{(5x+3)^{2}}
=\dfrac{3}{(5x+3)^{2}}.
\]
Donc
\[
f'(x)=\dfrac{5}{(3-x)^{2}}-\dfrac{3}{(5x+3)^{2}}.
\]
En \(x=-1\) :
\[
3-(-1)=4,\quad 5(-1)+3=-2,
\]
\[
f'(-1)=\dfrac{5}{4^{2}}-\dfrac{3}{(-2)^{2}}
=\dfrac{5}{16}-\dfrac{3}{4}
=\dfrac{5}{16}-\dfrac{12}{16}
=-\dfrac{7}{16}.
\]
5. Soit la fonction \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-3x+2} \] et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’axes \(ox\) et \(oy\).
La fonction est définie et continue dans :
Réponse : \(]-\infty,1[\cup]1,2[\cup]2,+\infty[\).
On a
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-3x+2}.
\]
Le dénominateur se factorise :
\[
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
\]
La fonction est définie lorsque le dénominateur est non nul, donc pour
\[
x\neq 1,\quad x\neq 2.
\]
Sur chaque intervalle où le dénominateur ne s’annule pas, \(f\) est quotient de fonctions polynomiales, donc continue.
Le domaine de définition et de continuité est donc
\[
]-\infty,1[\cup]1,2[\cup]2,+\infty[.
\]
6. Soit la fonction \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-3x+2} \] et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’axes \(ox\) et \(oy\).
La courbe \((C)\) coupe l’asymptote horizontale au point d’abscisse :
Réponse : \(\dfrac{1}{3}\).
La courbe \((C)\) admet une asymptote horizontale lorsque \(|x|\to+\infty\).
Les degrés du numérateur et du dénominateur sont égaux, donc l’asymptote horizontale est
\[
y=\dfrac{\text{coef. directeur du numérateur}}{\text{coef. directeur du dénominateur}}
=\dfrac{1}{1}=1.
\]
On cherche le point d’intersection de \((C)\) avec cette asymptote, c’est-à-dire les solutions de
\[
f(x)=1,\quad x\neq 1,2.
\]
On résout
\[
\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-3x+2}=1
\quad\Rightarrow\quad
x^{2}+1=x^{2}-3x+2
\quad\Rightarrow\quad
1=-3x+2
\quad\Rightarrow\quad
-3x=-1
\quad\Rightarrow\quad
x=\dfrac{1}{3}.
\]
Cette valeur n’est pas exclue du domaine, donc l’abscisse du point de coupe est \(\dfrac{1}{3}\).
7.Soit la fonction \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-3x+2} \] et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’axes \(ox\) et \(oy\).
La courbe \((C)\) admet un minimum dont la somme des coordonnées est :
Réponse : la somme des coordonnées du minimum vaut \(\dfrac{5\sqrt{10}-17}{3}\) (valeur exacte obtenue par calcul).
On cherche les extrema de
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-3x+2}.
\]
On dérive :
\[
f'(x)=\dfrac{(2x)(x^{2}-3x+2)-(x^{2}+1)(2x-3)}{(x^{2}-3x+2)^{2}}.
\]
On simplifie le numérateur :
\[
2x(x^{2}-3x+2)=2x^{3}-6x^{2}+4x,
\]
\[
(x^{2}+1)(2x-3)=2x^{3}-3x^{2}+2x-3,
\]
\[
N(x)=2x^{3}-6x^{2}+4x-(2x^{3}-3x^{2}+2x-3)
=-3x^{2}+2x+3.
\]
Donc
\[
f'(x)=\dfrac{-3x^{2}+2x+3}{(x^{2}-3x+2)^{2}}.
\]
Les points critiques vérifient
\[
-3x^{2}+2x+3=0\quad\Leftrightarrow\quad 3x^{2}-2x-3=0.
\]
Le discriminant vaut
\[
\Delta=(-2)^{2}-4\cdot 3\cdot(-3)=4+36=40,
\]
d’où
\[
x=\dfrac{2\pm\sqrt{40}}{6}
=\dfrac{2\pm 2\sqrt{10}}{6}
=\dfrac{1\pm\sqrt{10}}{3}.
\]
On montre (par étude du signe de \(f'\)) que le minimum est atteint pour
\[
x_{m}=\dfrac{1-\sqrt{10}}{3}.
\]
En remplaçant dans \(f\), on obtient après simplification
\[
f(x_{m})=\dfrac{20-2\sqrt{10}}{20+7\sqrt{10}},
\]
et la somme des coordonnées vaut
\[
x_{m}+f(x_{m})=\dfrac{5\sqrt{10}-17}{3}.
\]
8.Soit la fonction \[ f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-3x+2} \] et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’axes \(ox\) et \(oy\).
La pente de la droite perpendiculaire à la tangente à \((C)\) au point d’abscisse \(0\) est :
Réponse : la pente de la droite perpendiculaire vaut \(-\dfrac{4}{3}\).
On calcule d’abord la pente de la tangente à \((C)\) au point d’abscisse \(0\), c’est-à-dire \(f'(0)\).
On a déjà
\[
f'(x)=\dfrac{-3x^{2}+2x+3}{(x^{2}-3x+2)^{2}}.
\]
En \(x=0\),
\[
f'(0)=\dfrac{-3\cdot 0^{2}+2\cdot 0+3}{(0^{2}-3\cdot 0+2)^{2}}
=\dfrac{3}{2^{2}}=\dfrac{3}{4}.
\]
La pente de la tangente en \(x=0\) est donc \(\dfrac{3}{4}\).
La pente d’une droite perpendiculaire à cette tangente est l’opposé de l’inverse :
\[
m_{\perp}=-\dfrac{1}{f'(0)}=-\dfrac{1}{3/4}=-\dfrac{4}{3}.
\]