Exetat Math 2019_Latin-Philo
Question 1
1. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{x^{2}}{x+1} \] et \((C)\) sa courbe représentative. La fonction \(f\) admet un centre de symétrie des coordonnées :
Réponse : \((-1,-2)\).
On effectue la division euclidienne :
\[
\dfrac{x^{2}}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}.
\]
La courbe \((C)\) a donc une asymptote verticale \(x=-1\) (dénominateur nul) et une asymptote oblique
\[
y=x-1.
\]
Le centre de symétrie d’une hyperbole rationnelle de ce type est le point d’intersection de ses asymptotes.
On résout le système
\[
x=-1,\qquad y=x-1.
\]
On obtient
\[
y=-1-1=-2.
\]
Le centre de symétrie a donc pour coordonnées \((-1,-2)\).
2. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=(2r-s)x^{3}+x^{2}+(s-1)x+1, \] avec \(r\) et \(s\) des réels. La fonction \(f\) est paire si le couple \((r,s)\) vaut :
Réponse : \(\left(\dfrac{1}{2},1\right)\).
Pour que \(f\) soit paire, il faut que
\[
f(-x)=f(x)\quad\text{pour tout }x.
\]
On calcule
\[
f(-x)=(2r-s)(-x)^{3}+(-x)^{2}+(s-1)(-x)+1
=-(2r-s)x^{3}+x^{2}-(s-1)x+1.
\]
On compare avec
\[
f(x)=(2r-s)x^{3}+x^{2}+(s-1)x+1.
\]
Pour avoir \(f(-x)=f(x)\), les coefficients des puissances impaires doivent être nuls.
On impose donc
\[
2r-s=0,\qquad s-1=0.
\]
De la seconde équation, on tire \(s=1\).
De la première, on obtient alors
\[
2r-1=0\quad\Rightarrow\quad r=\dfrac{1}{2}.
\]
Le couple \((r,s)\) est donc \(\left(\dfrac{1}{2},1\right)\).
3. Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies par \[ f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-2x},\qquad g(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{2-x}. \] Si \(\displaystyle\lim_{x\to 2}f=K\) et \(\displaystyle\lim_{x\to 2}g=T\), alors l’expression \(T+K\) vaut :
Réponse : \(\dfrac{7}{4}\).
On simplifie d’abord \(f\) :
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-2x}
=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}
=\dfrac{x+2}{x}\quad(x\neq 0,2).
\]
Ainsi
\[
K=\lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to 2}\dfrac{x+2}{x}=\dfrac{4}{2}=2.
\]
Pour \(g\),
\[
g(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{2-x}.
\]
On rationalise :
\[
g(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{2-x}\cdot\dfrac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2}
=\dfrac{x+2-4}{(2-x)(\sqrt{x+2}+2)}
=\dfrac{x-2}{(2-x)(\sqrt{x+2}+2)}.
\]
Or \(2-x=-(x-2)\), donc
\[
g(x)=-\dfrac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}
=-\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+2}.
\]
Ainsi
\[
T=\lim_{x\to 2}g(x)
=-\dfrac{1}{\sqrt{4}+2}
=-\dfrac{1}{2+2}
=-\dfrac{1}{4}.
\]
On obtient
\[
T+K=2-\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{4}.
\]
4. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-5x+4}}{1-\sqrt{3x+3}}. \] La fonction \(f\) est définie dans l’intervalle :
Réponse : \(D_{f}=[-1,1]\setminus\left\{-\dfrac{2}{3}\right\}\,\cup\,[4,+\infty[\).
On impose d’abord l’existence des racines :
\[
x^{2}-5x+4\ge 0,\qquad 3x+3\ge 0.
\]
On factorise
\[
x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4)\ge 0
\quad\Rightarrow\quad x\le 1\ \text{ou}\ x\ge 4.
\]
Et
\[
3x+3\ge 0\quad\Rightarrow\quad x\ge -1.
\]
L’intersection donne
\[
x\in[-1,1]\ \text{ou}\ x\in[4,+\infty[.
\]
Ensuite, le dénominateur doit être non nul :
\[
1-\sqrt{3x+3}\neq 0
\quad\Rightarrow\quad
\sqrt{3x+3}\neq 1
\quad\Rightarrow\quad
3x+3\neq 1
\quad\Rightarrow\quad
3x\neq -2
\quad\Rightarrow\quad
x\neq -\dfrac{2}{3}.
\]
On enlève donc ce point du domaine précédent.
Ainsi
\[
D_{f}=[-1,1]\setminus\left\{-\dfrac{2}{3}\right\}\,\cup\,[4,+\infty[.
\]
(Parmi les réponses proposées, on retient celle qui se rapproche de cette description en notant que les bornes sont souvent prises ouvertes dans le sujet.)
5. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{2}{2x-1} \] et \((C)\) sa représentation graphique. La tangente \(T\) de coefficient angulaire \(-4\) coupe la courbe \((C)\) aux points \((a,b)\) et \((c,d)\). La somme \(b+d\) vaut :
Réponse : \(0\).
On a
\[
f(x)=\dfrac{2}{2x-1}.
\]
La dérivée est
\[
f'(x)=-2\,(2x-1)^{-2}\cdot 2=-\dfrac{4}{(2x-1)^{2}}.
\]
Le coefficient angulaire d’une tangente en un point d’abscisse \(x\) est \(f'(x)\).
On cherche les points où la tangente a pour pente \(-4\), donc
\[
f'(x)=-4
\quad\Rightarrow\quad
-\dfrac{4}{(2x-1)^{2}}=-4
\quad\Rightarrow\quad
\dfrac{1}{(2x-1)^{2}}=1.
\]
On en déduit
\[
(2x-1)^{2}=1
\quad\Rightarrow\quad
2x-1=\pm 1.
\]
Donc
\[
2x-1=1\Rightarrow x=1,\qquad 2x-1=-1\Rightarrow x=0.
\]
Les ordonnées correspondantes sont
\[
f(1)=\dfrac{2}{2\cdot 1-1}=\dfrac{2}{1}=2,\qquad
f(0)=\dfrac{2}{-1}=-2.
\]
Les points sont donc \((1,2)\) et \((0,-2)\), et
\[
b+d=2+(-2)=0.
\]
6. Le nombre dérivé de la fonction \[ f(x)=\dfrac{1-\sin x}{2+\sin x} \] au point \(x=\pi\) est :
Réponse : \(\dfrac{3}{4}\).
On pose
\[
f(x)=\dfrac{1-\sin x}{2+\sin x}.
\]
On dérive par la règle du quotient :
\[
f'(x)=\dfrac{(-\cos x)(2+\sin x)-(1-\sin x)\cos x}{(2+\sin x)^{2}}.
\]
On développe le numérateur :
\[
(-\cos x)(2+\sin x)=-2\cos x-\cos x\sin x,
\]
\[
-(1-\sin x)\cos x=-\cos x+\cos x\sin x.
\]
En additionnant :
\[
-2\cos x-\cos x\sin x-\cos x+\cos x\sin x=-3\cos x.
\]
Ainsi
\[
f'(x)=\dfrac{-3\cos x}{(2+\sin x)^{2}}.
\]
Au point \(x=\pi\), on a \(\cos\pi=-1\) et \(\sin\pi=0\), donc
\[
f'(\pi)=\dfrac{-3\cdot(-1)}{(2+0)^{2}}=\dfrac{3}{4}.
\]
7. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{(x+1)^{2}}{x^{2}+x+1} \] et \((C)\) sa courbe représentative. La courbe \((C)\) admet un point minimum \(m\) de coordonnées \((a,b)\). L’expression \(a+b^{2}\) vaut :
Réponse : \(-1\).
On a
\[
f(x)=\dfrac{(x+1)^{2}}{x^{2}+x+1}.
\]
On dérive :
\[
f'(x)=\dfrac{2(x+1)(x^{2}+x+1)-(x+1)^{2}(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}.
\]
On factorise le numérateur par \((x+1)\) :
\[
f'(x)=\dfrac{(x+1)\bigl[2(x^{2}+x+1)-(x+1)(2x+1)\bigr]}{(x^{2}+x+1)^{2}}.
\]
On calcule l’expression entre crochets :
\[
2(x^{2}+x+1)=2x^{2}+2x+2,
\]
\[
(x+1)(2x+1)=2x^{2}+3x+1.
\]
Donc
\[
2(x^{2}+x+1)-(x+1)(2x+1)
=2x^{2}+2x+2-(2x^{2}+3x+1)
=-x+1=1-x.
\]
Ainsi
\[
f'(x)=\dfrac{(x+1)(1-x)}{(x^{2}+x+1)^{2}}.
\]
Les zéros de \(f'\) sont donc
\[
x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad 1-x=0\Rightarrow x=1.
\]
On évalue \(f\) en ces points :
\[
f(-1)=\dfrac{0^{2}}{(-1)^{2}-1+1}=0,\qquad
f(1)=\dfrac{(1+1)^{2}}{1+1+1}=\dfrac{4}{3}.
\]
Le minimum est atteint pour la plus petite valeur de \(f\), soit \(0\), au point \((-1,0)\).
On a donc \(a=-1\) et \(b=0\), d’où
\[
a+b^{2}=-1+0^{2}=-1.
\]
8. Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x)=\dfrac{(x+1)^{2}}{x^{2}+x+1} \] et \((C)\) sa courbe représentative. La courbe \((C)\) est au-dessus de son asymptote horizontale dans l’intervalle :
Réponse : \(]0,+\infty[\).
On cherche l’asymptote horizontale de
\[
f(x)=\dfrac{(x+1)^{2}}{x^{2}+x+1}.
\]
Les degrés du numérateur et du dénominateur sont égaux, donc l’asymptote horizontale est
\[
y=\dfrac{\text{coef. directeur du numérateur}}{\text{coef. directeur du dénominateur}}
=\dfrac{1}{1}=1.
\]
On étudie le signe de
\[
f(x)-1=\dfrac{(x+1)^{2}}{x^{2}+x+1}-1
=\dfrac{(x+1)^{2}-(x^{2}+x+1)}{x^{2}+x+1}.
\]
On simplifie le numérateur :
\[
(x+1)^{2}-(x^{2}+x+1)
=(x^{2}+2x+1)-(x^{2}+x+1)
=x.
\]
Donc
\[
f(x)-1=\dfrac{x}{x^{2}+x+1}.
\]
Le dénominateur \(x^{2}+x+1\) est toujours strictement positif (discriminant \(1-41\quad\Leftrightarrow\quad x>0.
\]
La courbe \((C)\) est donc au-dessus de son asymptote horizontale \(y=1\) pour \(x>0\), c’est-à-dire sur l’intervalle
\[
]0,+\infty[.
\]