Exetat Mathématique 2021_Pédagogie

1. Un dé a été truqué de telle sorte que la probabilité de sortie du 6 soit le double de la probabilité de sortie du 2. Les autres numéros ont la même probabilité de sortie.
La probabilité de l'événement : « obtenir le numéro impair » est :

Réponse correcte : c. \( \frac{3}{7} \)

Explication détaillée :

1. Définition des probabilités :
Soit \( P(i) \) la probabilité d'obtenir la face \( i \).
L'énoncé nous dit :
- \( P(6) = 2 \times P(2) \)
- Les autres numéros (1, 3, 4, 5) ont la même probabilité que le 2, car ils font partie de l'ensemble des "autres numéros" qui partagent une probabilité commune avec le 2 (par déduction de la structure de l'énoncé sur les dés truqués classiques).
Posons \( P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = x \).
Alors \( P(6) = 2x \).

2. Utilisation de la condition de normalisation :
La somme des probabilités de toutes les faces doit être égale à 1 :
\( P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 \)
\( x + x + x + x + x + 2x = 1 \)
\( 7x = 1 \)
\( x = \frac{1}{7} \)

On en déduit :
- \( P(1) = P(3) = P(5) = \frac{1}{7} \)
- \( P(2) = P(4) = \frac{1}{7} \)
- \( P(6) = \frac{2}{7} \)

3. Calcul de la probabilité de l'événement « obtenir un numéro impair » :
Les numéros impairs sont {1, 3, 5}.
\( P(\mathrm{impair}) = P(1) + P(3) + P(5) \)
\( P(\mathrm{impair}) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3}{7} \)

Conclusion :
La probabilité d'obtenir un numéro impair est \( \frac{3}{7} \), ce qui correspond à l'assertion c.

2.La fonction trigonométrique f définie par f(x) = \cos x \sin 3x est périodique, de période T égale à :

Réponse correcte : b. \( \pi \)

Explication détaillée :

1. Linéarisation de la fonction :
La fonction est \( f(x) = \sin 3x \cos x \). Utilisons la formule de transformation de produit en somme :
\( \sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B)) \)
En posant \( A = 3x \) et \( B = x \), nous obtenons :
\( f(x) = \frac{1}{2} (\sin(3x+x) + \sin(3x-x)) \)
\( f(x) = \frac{1}{2} \sin 4x + \frac{1}{2} \sin 2x \)

2. Détermination des périodes partielles :
La période d'une fonction de type \( \sin(kx) \) est donnée par \( T = \frac{2\pi}{|k|} \).
- Pour \( \sin 4x \), la période est \( T_{1} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \)
- Pour \( \sin 2x \), la période est \( T_{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi \)

3. Recherche de la période fondamentale T :
La période de la somme est le plus petit commun multiple (PPCM) des périodes \( T_{1} \) et \( T_{2} \).
\( T = \mathrm{PPCM}(\frac{\pi}{2}, \pi) \)
Puisque \( \pi = 2 \times \frac{\pi}{2} \), le plus petit multiple commun est \( \pi \).

Conclusion :
La période T de la fonction est \( \pi \), ce qui correspond à l'assertion b.

3. La limite, quand x tend vers zéro, de la fonction f définie par \(f(x) = \frac{2x + \sin 3x}{x + \sin x}\) est égale à :

Réponse correcte : d. \( \frac{5}{2} \)

Explication détaillée :

1. Identification de la forme indéterminée :
En remplaçant x par 0 dans l'expression \(f(x) = \frac{2x + \sin 3x}{x + \sin x}\) :
Le numérateur donne : \( 2(0) + \sin(0) = 0 \)
Le dénominateur donne : \( 0 + \sin(0) = 0 \)
Nous obtenons la forme indéterminée \( \frac{0}{0} \).

2. Résolution par les limites remarquables :
Nous savons que \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{kx} = 1 \) ou encore \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k \).
Divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par x :

\( f(x) = \frac{\frac{2x + \sin 3x}{x}}{\frac{x + \sin x}{x}} \)

\( f(x) = \frac{\frac{2x}{x} + \frac{\sin 3x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{\sin x}{x}} \)

\( f(x) = \frac{2 + \frac{\sin 3x}{x}}{1 + \frac{\sin x}{x}} \)

3. Calcul de la limite :
En appliquant la limite quand x tend vers 0 :
\( \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{2 + 3}{1 + 1} \)
\( \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{5}{2} \)

Conclusion :
La limite de la fonction est \( \frac{5}{2} \), ce qui correspond à l'assertion d.

4. Soit la fonction f définie par \(f(x) = \frac{|x+2|+x-1}{2x+1}\) et (C) sa représentation graphique. La courbe (C) admet un point anguleux \(A(x_{0}, y_{0})\). L'expression \(y_{0} - x_{0}^{2}\) égale :

Réponse correcte : a. -3

Explication détaillée :

1. Détermination du point anguleux :
Un point anguleux apparaît là où une expression sous une valeur absolue s'annule.
Ici, la valeur absolue est \(|x+2|\). Elle change de forme en \(x = -2\) car :
\(x+2 = 0 \implies x = -2\)
Ainsi, l'abscisse du point anguleux est \(x_{0} = -2\).

2. Calcul de l'ordonnée \(y_{0}\) :
On calcule l'image de \(x_{0}\) par la fonction f :
\(y_{0} = f(-2) = \frac{|-2+2|+(-2)-1}{2(-2)+1}\)
\(y_{0} = \frac{0-2-1}{-4+1}\)
\(y_{0} = \frac{-3}{-3} = 1\)

Le point anguleux est donc le point \(A(-2, 1)\).

3. Calcul de l'expression finale :
On remplace les valeurs trouvées dans \(y_{0} - x_{0}^{2}\) :
\(y_{0} - x_{0}^{2} = 1 - (-2)^{2}\)
\(y_{0} - x_{0}^{2} = 1 - 4\)
\(y_{0} - x_{0}^{2} = -3\)

Conclusion :
L'expression vaut -3, ce qui correspond à l'assertion a.

5. Le domaine de définition de la fonction f définie par : \(f(x) = \frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt[3]{x^{2}+x+3}} - \sqrt{3x^{2}-x}\) est :

Réponse correcte : c. \( [-\frac{1}{2}, 0] \cup [\frac{1}{3}, +\infty[ \)

Explication détaillée :

Pour déterminer le domaine de définition de f, nous devons analyser les conditions d'existence de chaque terme de la fonction.

1. Analyse du premier terme \( \frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt[3]{x^{2}+x+3}} \) :
- La racine carrée au numérateur impose : \( 2x + 1 \ge 0 \implies x \ge -\frac{1}{2} \).
- La racine cubique au dénominateur est définie sur tout \mathrm{R}. Cependant, le dénominateur ne doit pas s'annuler. Le discriminant de \( x^{2} + x + 3 \) est \( \Delta = 1^{2} - 4(1)(3) = -11 \). Comme \( \Delta < 0 \), ce trinôme ne s'annule jamais.

2. Analyse du second terme \( \sqrt{3x^{2}-x} \) :
L'expression sous cette racine carrée doit être supérieure ou égale à zéro :
\( 3x^{2} - x \ge 0 \)
Factorisons par x :
\( x(3x - 1) \ge 0 \)
Les racines sont \( x = 0 \) et \( x = \frac{1}{3} \).
Le trinôme est positif à l'extérieur des racines :
\( x \in ]-\infty, 0] \cup [\frac{1}{3}, +\infty[ \).

3. Intersection des conditions :
Le domaine de définition \( \mathrm{Df} \) est l'intersection des deux conditions trouvées :
- Condition 1 : \( x \in [-\frac{1}{2}, +\infty[ \)
- Condition 2 : \( x \in ]-\infty, 0] \cup [\frac{1}{3}, +\infty[ \)

En superposant ces intervalles :
\( \mathrm{Df} = [-\frac{1}{2}, 0] \cup [\frac{1}{3}, +\infty[ \).

Conclusion :
L'ensemble solution est \( [-\frac{1}{2}, 0] \cup [\frac{1}{3}, +\infty[ \), ce qui correspond à l'assertion c.

6. Soit la fonction f définie par \(f(x) = \frac{x+1}{(x+2)^{2}}\) et (C) sa courbe représentative.
12. (C) admet un maximum \(M(a, b)\) et un point d'inflexion \(I(c, d)\) ; l'expression \(b + c - d =\)

Réponse correcte : e. \( \frac{37}{36} \)

Explication détaillée :

1. Coordonnées du maximum \(M(a, b)\) :
On calcule la dérivée première \(f'(x)\) :
\(f'(x) = \frac{1(x+2)^{2} - (x+1) \cdot 2(x+2)}{(x+2)^{4}} = \frac{(x+2)[(x+2) - 2(x+1)]}{(x+2)^{4}} = \frac{-x}{(x+2)^{3}}\)
- Le maximum est atteint pour \(f'(x) = 0 \implies -x = 0 \implies x = 0\).
- Donc \(a = 0\).
- L'ordonnée est \(b = f(0) = \frac{0+1}{(0+2)^{2}} = \frac{1}{4}\).

2. Coordonnées du point d'inflexion \(I(c, d)\) :
On calcule la dérivée seconde \(f''(x)\) à partir de \(f'(x) = \frac{-x}{(x+2)^{3}}\) :
\(f''(x) = \frac{-1(x+2)^{3} - (-x) \cdot 3(x+2)^{2}}{(x+2)^{6}} = \frac{(x+2)^{2}[-1(x+2) + 3x]}{(x+2)^{6}} = \frac{2x-2}{(x+2)^{4}}\)
- Le point d'inflexion est atteint pour \(f''(x) = 0 \implies 2x-2 = 0 \implies x = 1\).
- Donc \(c = 1\).
- L'ordonnée est \(d = f(1) = \frac{1+1}{(1+2)^{2}} = \frac{2}{9}\).

3. Calcul de l'expression \(b + c - d\) :
\(b + c - d = \frac{1}{4} + 1 - \frac{2}{9}\)
Mise au dénominateur commun (36) :
\(b + c - d = \frac{9}{36} + \frac{36}{36} - \frac{8}{36}\)
\(b + c - d = \frac{9 + 36 - 8}{36} = \frac{37}{36}\)

Conclusion :
La valeur finale est \( \frac{37}{36} \), ce qui valide l'assertion e.

7. Soit la fonction f définie par \(f(x) = \frac{x+1}{(x+2)^{2}}\) et (C) sa courbe représentative.
L'asymptote verticale coupe la droite \(y - x = 0\) au point de coordonnées :

Réponse correcte : b. \((-2, -2)\)

Explication détaillée :

1. Recherche de l'asymptote verticale :
L'asymptote verticale d'une fonction rationnelle se trouve aux valeurs de x qui annulent le dénominateur (sans annuler le numérateur).
Ici, le dénominateur est \((x+2)^{2}\).
\((x+2)^{2} = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2\).
L'équation de l'asymptote verticale est donc la droite d'équation \(x = -2\).

2. Intersection avec la droite donnée :
On nous donne la droite d'équation \(y - x = 0\), ce qui revient à \(y = x\).
Pour trouver le point d'intersection, nous devons résoudre le système :
\[
\begin{cases}
x = -2 \\
y = x
\end{cases}
\]

3. Calcul des coordonnées :
En remplaçant x par \(-2\) dans l'équation de la droite :
\(y = -2\).
Le point d'intersection a donc pour coordonnées \((-2, -2)\).

Conclusion :
L'asymptote verticale coupe la droite \(y = x\) au point \((-2, -2)\), ce qui correspond à l'assertion b.

8. Les élèves de la 6ème pédagogie ont eu à remplir un questionnaire où on leur demandait de préciser leur loisir préféré. Les résultats du dépouillement sont consignés dans le tableau suivant :

L'écart-type, à \(10^{-2}\) près, de la distribution de ce nombre est :

Réponse correcte : d. 3,85

Explication détaillée :

1. Calcul de la moyenne (\(\bar{x}\)) :
L'effectif total est \(N = 12 + 6 + 7 + 5 + 15 = 45\).
La moyenne des effectifs est :
\(\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{n} = \frac{45}{5} = 9\)

2. Calcul de la variance (\(\sigma^{2}\)) :
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
\(\sigma^{2} = \frac{(12-9)^{2} + (6-9)^{2} + (7-9)^{2} + (5-9)^{2} + (15-9)^{2}}{5}\)
\(\sigma^{2} = \frac{3^{2} + (-3)^{2} + (-2)^{2} + (-4)^{2} + 6^{2}}{5}\)
\(\sigma^{2} = \frac{9 + 9 + 4 + 16 + 36}{5}\)
\(\sigma^{2} = \frac{74}{5} = 14,8\)

3. Calcul de l'écart-type (\(\sigma\)) :
L'écart-type est la racine carrée de la variance :
\(\sigma = \sqrt{14,8}\)
Calculons la valeur approchée :
\(\sqrt{14,44} = 3,8\) et \(\sqrt{15,21} = 3,9\).
\(\sigma \approx 3,847...\)

À \(10^{-2}\) près, nous obtenons \(3,85\).

Conclusion :
L'écart-type de la distribution est 3,85, ce qui correspond à l'assertion d.

9. On donne l'expression \(\frac{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}\). Si son expression rationnelle peut s'écrire sous la forme \(x^{m}(a + bx^{n})^{p}\) ; alors \(a + b + m + n + p =\)

Réponse correcte : b. \( \frac{13}{6} \)

Explication détaillée :

1. Transformation de l'expression :
L'expression de départ est \( \frac{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \).
Transformons les racines en puissances fractionnaires :
- Le numérateur : \(\sqrt{1+x^{1/3}} = (1+x^{1/3})^{1/2}\).
- Le dénominateur : \(\sqrt[3]{x^{2}} = x^{2/3}\).

L'expression devient : \(\frac{(1+x^{1/3})^{1/2}}{x^{2/3}} = x^{-2/3}(1 + x^{1/3})^{1/2}\).

2. Identification des paramètres :
Par comparaison avec la forme \(x^{m}(a + bx^{n})^{p}\) :
- \(m = -2/3\)
- \(a = 1\)
- \(b = 1\)
- \(n = 1/3\)
- \(p = 1/2\)

3. Calcul de la somme :
\(a + b + m + n + p = 1 + 1 + (-2/3) + 1/3 + 1/2\)
\(S = 2 - 1/3 + 1/2\)
Réduisons au dénominateur commun (6) :
\(S = \frac{12}{6} - \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{13}{6}\)

Conclusion :
La somme est \( \frac{13}{6} \), ce qui correspond à l'assertion b.

10. La valeur de l'expression logarithmique \((\log_{\frac{1}{4}} 2) \cdot (\log_{9}^{3} 81)\) est :

Réponse correcte : c. - 4

Explication détaillée :

L'expression à calculer est \(E = (\log_{\frac{1}{4}} 2) \cdot (\log_{9}^{3} 81)\). Calculons séparément chaque facteur.

1. Calcul du premier facteur \( \log_{\frac{1}{4}} 2 \) :
Utilisons la formule du changement de base ou la définition \( \log_{a} b = x \iff a^{x} = b \).
\( (\frac{1}{4})^{x} = 2 \)
\( (2^{-2})^{x} = 2^{1} \)
\( 2^{-2x} = 2^{1} \)
\( -2x = 1 \implies x = -\frac{1}{2} \)

2. Calcul du second facteur \( \log_{9}^{3} 81 \) :
L'expression \( \log_{9}^{3} 81 \) signifie \( (\log_{9} 81)^{3} \).
Calculons d'abord l'argument intérieur :
\( \log_{9} 81 = \log_{9} (9^{2}) = 2 \)
Maintenant, élevons au cube :
\( 2^{3} = 8 \)

3. Calcul du produit final :
\( E = (-\frac{1}{2}) \cdot (8) \)
\( E = -4 \)

Conclusion :
La valeur de l'expression est - 4, ce qui correspond à l'assertion c.

11. La limite de la fonction f définie par \(f(x) = \frac{x^{2}-\frac{x+1}{x-3}}{2x+1-\frac{x^{2}}{x-3}}\) lorsque x tend vers 3 égale :

Réponse correcte : d. \( \frac{4}{9} \)

Explication détaillée :

1. Simplification de l'expression de f(x) :
Pour lever l'indétermination potentielle, mettons le numérateur et le dénominateur au même dénominateur \( (x-3) \) :

Numérateur : \( \frac{x^{2}(x-3) - (x+1)}{x-3} = \frac{x^{3}-3x^{2}-x-1}{x-3} \)
Dénominateur : \( \frac{(2x+1)(x-3) - x^{2}}{x-3} = \frac{2x^{2}-6x+x-3-x^{2}}{x-3} = \frac{x^{2}-5x-3}{x-3} \)

En simplifiant par \( (x-3) \), la fonction devient :
\( f(x) = \frac{x^{3}-3x^{2}-x-1}{x^{2}-5x-3} \)

2. Calcul de la limite par substitution :
Remplaçons maintenant x par 3 dans l'expression simplifiée :

- Numérateur : \( (3)^{3} - 3(3)^{2} - 3 - 1 = 27 - 27 - 4 = -4 \)
- Dénominateur : \( (3)^{2} - 5(3) - 3 = 9 - 15 - 3 = -9 \)

3. Résultat final :
\( \lim_{x \to 3} f(x) = \frac{-4}{-9} = \frac{4}{9} \)

Conclusion :
La valeur de la limite est \( \frac{4}{9} \), ce qui correspond à l'assertion d.

12. La fonction f définie par \(f(x) = \text{Cotg}^{2} \frac{2}{3}x + \cos(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{4})\) est périodique, de période T égale à :

Réponse correcte : a. \( 3\pi \)

Explication détaillée :

Pour trouver la période \(T\) d'une fonction composée d'une somme de fonctions périodiques, on calcule la période de chaque composante, puis on cherche leur Plus Petit Commun Multiple (PPCM).

1. Analyse de la première composante \(f_{1}(x) = \text{Cotg}^{2} \frac{2}{3}x\) :
La fonction cotangente (\(\text{cotg } kx\)) a une période fondamentale de \(\frac{\pi}{|k|}\).
Ici, \(k = \frac{2}{3}\).
Élever la fonction au carré (\(\text{cotg}^{2}\)) ne change pas sa période fondamentale car la fonction de base est déjà périodique sur \(\pi\).
\(T_{1} = \frac{\pi}{\frac{2}{3}} = \frac{3\pi}{2}\)

2. Analyse de la seconde composante \(f_{2}(x) = \cos(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{4})\) :
La fonction cosinus (\(\cos kx\)) a une période fondamentale de \(\frac{2\pi}{|k|}\).
Ici, \(k = \frac{2}{3}\).
\(T_{2} = \frac{2\pi}{\frac{2}{3}} = \frac{6\pi}{2} = 3\pi\)

3. Calcul de la période de la somme \(T = \text{PPCM}(T_{1}, T_{2})\) :
Nous devons trouver le PPCM de \(\frac{3\pi}{2}\) et \(3\pi\).
Exprimons-les avec le même dénominateur : \(\frac{3\pi}{2}\) et \(\frac{6\pi}{2}\).
Le PPCM de deux fractions \(\frac{a}{b}\) et \(\frac{c}{d}\) est donné par \(\frac{\text{PPCM}(a, c)}{\text{PGCD}(b, d)}\).
\(T = \frac{\text{PPCM}(3\pi, 6\pi)}{\text{PGCD}(2, 2)} = \frac{6\pi}{2} = 3\pi\)

Conclusion :
La période T de la fonction f est \( 3\pi \), ce qui correspond à l'assertion a.

13. Soit la fonction f définie par \(f(x) = \frac{2x^{2}+x+2}{ax^{2}+bx+c}\) (a, b et c des paramètres réels) et (C) sa courbe représentative. La courbe (C) de la fonction f admet pour asymptotes les droites d'équations : \(x = -\frac{2}{3}, x = 1\) et \(y = \frac{2}{3}\).
L'expression \(a - 2b - c =\)

Réponse correcte : e. 7

Explication détaillée :

1. Identification du paramètre "a" via l'asymptote horizontale :
L'asymptote horizontale d'une fonction rationnelle de même degré au numérateur et au dénominateur est donnée par le rapport des coefficients des termes de plus haut degré.
Ici, \(y = \frac{2}{a}\).
L'énoncé précise que cette asymptote est \(y = \frac{2}{3}\).
On a donc : \(\frac{2}{a} = \frac{2}{3} \implies a = 3\).

2. Identification des paramètres "b" et "c" via les asymptotes verticales :
Les asymptotes verticales correspondent aux racines du dénominateur \(ax^{2}+bx+c\).
Puisque \(a = 3\), le dénominateur est \(3x^{2}+bx+c\).
Les racines données sont \(x_{1} = -\frac{2}{3}\) et \(x_{2} = 1\).
Le dénominateur peut donc s'écrire sous sa forme factorisée :
\(3(x - 1)(x + \frac{2}{3}) = 0\)
\(3(x^{2} + \frac{2}{3}x - x - \frac{2}{3}) = 0\)
\(3(x^{2} - \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}) = 0\)
\(3x^{2} - x - 2 = 0\)

Par identification avec \(ax^{2}+bx+c\), on obtient :
- \(a = 3\)
- \(b = -1\)
- \(c = -2\)

3. Calcul de l'expression \(a - 2b - c\) :
Remplaçons les paramètres par leurs valeurs trouvées :
\(a - 2b - c = 3 - 2(-1) - (-2)\)
\(a - 2b - c = 3 + 2 + 2\)
\(a - 2b - c = 7\)

Conclusion :
L'expression \(a - 2b - c\) est égale à 7, ce qui correspond à l'assertion e.

14. Soit la fonction f définie par \(f(x) = x^{2} - 32\sqrt{x} + 31\) et (C) sa courbe représentative.
La courbe (C) de la fonction f admet un extrémum dont le produit des coordonnées vaut :

Réponse correcte : a. - 68

Explication détaillée :

1. Recherche de l'abscisse de l'extrémum :
Un extrémum existe là où la dérivée première \(f'(x)\) s'annule.
Calculons la dérivée de \(f(x) = x^{2} - 32\sqrt{x} + 31\) :
\(f'(x) = 2x - 32 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x - \frac{16}{\sqrt{x}}\)

Posons \(f'(x) = 0\) :
\(2x = \frac{16}{\sqrt{x}}\)
\(x\sqrt{x} = 8\)
\(x \cdot x^{1/2} = 8\)
\(x^{3/2} = 8\)
\(x = 8^{2/3} = (2^{3})^{2/3} = 2^{2} = 4\)

L'abscisse de l'extrémum est \(x_{0} = 4\).

2. Recherche de l'ordonnée de l'extrémum :
Calculons \(y_{0} = f(4)\) en remplaçant x par 4 dans la fonction originale :
\(y_{0} = (4)^{2} - 32\sqrt{4} + 31\)
\(y_{0} = 16 - 32(2) + 31\)
\(y_{0} = 16 - 64 + 31\)
\(y_{0} = 47 - 64 = -17\)

Les coordonnées de l'extrémum sont donc \((4, -17)\).

3. Calcul du produit des coordonnées :
Le produit est \(P = x_{0} \cdot y_{0}\) :
\(P = 4 \cdot (-17) = -68\)

Conclusion :
Le produit des coordonnées de l'extrémum vaut - 68, ce qui correspond à l'assertion a.

15. Soit la fonction f définie par \(f(x) = x^{2} - 32\sqrt{x} + 31\) et (C) sa courbe représentative.
La tangente T à (C) au point d'abscisse 1 a pour équation :

Réponse correcte : c. \(y + 14x - 14 = 0\)

Explication détaillée :

L'équation de la tangente à une courbe au point d'abscisse \(x_{0}\) est donnée par la formule :
\[y - f(x_{0}) = f'(x_{0})(x - x_{0})\]

1. Calcul de \(f(x_{0})\) pour \(x_{0} = 1\) :
Remplaçons x par 1 dans \(f(x) = x^{2} - 32\sqrt{x} + 31\) :
\(f(1) = 1^{2} - 32\sqrt{1} + 31\)
\(f(1) = 1 - 32 + 31\)
\(f(1) = 0\)
Le point de tangence est donc (1, 0).

2. Calcul de la dérivée \(f'(x)\) :
Dérivons \(f(x) = x^{2} - 32\sqrt{x} + 31\) :
\(f'(x) = 2x - 32 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(f'(x) = 2x - \frac{16}{\sqrt{x}}\)

3. Calcul du coefficient directeur \(f'(1)\) :
Remplaçons x par 1 dans la dérivée :
\(f'(1) = 2(1) - \frac{16}{\sqrt{1}}\)
\(f'(1) = 2 - 16\)
\(f'(1) = -14\)

4. Établissement de l'équation :
Substituons les valeurs dans la formule de la tangente :
\(y - 0 = -14(x - 1)\)
\(y = -14x + 14\)
Transposons tout du même côté pour correspondre aux assertions :
\(y + 14x - 14 = 0\)

Conclusion :
L'équation de la tangente est \(y + 14x - 14 = 0\), ce qui correspond à l'assertion c.

16. Les élèves de la \(6^{\text{ème}}\) pédagogie ont eu à remplir un questionnaire où on leur demandait de préciser leur loisir préféré. Les résultats du dépouillement sont consignés dans le tableau suivant :

L'écart-type, à \(10^{-2}\) près, de la distribution de ce nombre est :

Réponse correcte : e. 4,24

Explication détaillée :

L'écart-type (\(\sigma\)) est la racine carrée de la variance (\(V\)). La série de données est constituée des effectifs : \(x_{i} = \{2, 5, 8, 11, 14\}\).

1. Calcul de la moyenne (\(\bar{x}\)) :
La distribution porte sur les 5 catégories de loisirs.
\(\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{N} = \frac{2 + 5 + 8 + 11 + 14}{5}\)
\(\bar{x} = \frac{40}{5} = 8\)

2. Calcul de la variance (\(V\)) :
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
\(V = \frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{N}\)
\(V = \frac{(2-8)^{2} + (5-8)^{2} + (8-8)^{2} + (11-8)^{2} + (14-8)^{2}}{5}\)
\(V = \frac{(-6)^{2} + (-3)^{2} + (0)^{2} + (3)^{2} + (6)^{2}}{5}\)
\(V = \frac{36 + 9 + 0 + 9 + 36}{5}\)
\(V = \frac{90}{5} = 18\)

3. Calcul de l'écart-type (\(\sigma\)) :
\(\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{18}\)
\(\sigma = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\)
Sachant que \(\sqrt{2} \approx 1,4142\) :
\(\sigma = 3 \times 1,4142 = 4,2426\)

À \(10^{-2}\) près, on obtient \(4,24\).

Conclusion :
L'écart-type de cette distribution est 4,24, ce qui correspond à l'assertion e.