1. Un scientifique prépare un exposé sur les ensembles numériques. Il consulte le glossaire des grandes théories mathématiques et trouve l’équation suivante : \( i z + 2\overline{z} + 1 = i \).
La solution de l’équation est :
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2. Un mathématicien veut aider son ami à réussir au concours d’embauche dans une entreprise de la place. Il recourt aux savoirs essentiels contenus dans le système d’équations suivant : \[ \begin{cases} 3iZ + Z' = 8 + i \\ 2Z - iZ' = 1 - i \end{cases} \] La solution du système sous-forme algébrique est :
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3. Un statisticien veut interpréter la courbe d’une fonction \( y = \ln(x^{2} - x + 1) \) représentant des filles qui se marient avant la fin des études universitaires.
La dérivée première de \( y \) au point d’abscisse \( -2 \) est :
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4. Le gouvernement de la R.D. Congo encourage les chercheurs scientifiques de promouvoir la culture de plusieurs variétés de produit de première nécessité dont le manioc. Pendant ce processus, le calcul de l’acidité / basicité est indispensable. D’où le contrôle fréquent de pH du manioc par le calcul des logarithmes comme dans l’équation \( \log(x - 25) + \log(x - 4) = 2 \) dont la solution est ici notée \( B \). L’expression \( 1 + B \) vaut :
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5. Le mathématicien Mac-Laurin a appliqué le développement en série de Taylor au voisinage de zéro, notamment aux fonctions dites élémentaires : \( e^{x}, \sin x, \cos x, \ln(1+x), (1+x)^m, \ldots \) Toutes ces fonctions aident à la résolution plus facile d’autres fonctions plus complexes. Un candidat géomètre retrouve dans sa mémoire le développement selon Mac-Laurin de \( f(x) = e^{x} \). La somme de trois premiers termes de \( f(x) \), pour \( x = 2 \), vaut :
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6. Un biologiste est confronté au calcul sans outils (calculatrice…) de l’intégrale \[ I = \int_{1}^{2} (x+2)e^{x}\,dx. \] Après plusieurs tentatives de résolution sans succès, il se souvient qu’une telle intégrale est plus facile à calculer en utilisant la méthode d’intégration par parties. L’intégrale \( I \), en unités d’aire, est égale à :
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7. Lors de la communication avec son équipe de football, un entraîneur dispose ses joueurs sous-forme d’un cercle représenté par l’équation : \[ x^{2} + y^{2} + x + 3y - 4 = 0. \] Le point intérieur au cercle est :
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8. À l’ouverture d’un championnat de Basketball, les spectateurs ont présenté une chorégraphie sous-forme d’un lieu de points tels que le carré de la distance de ce point au point \(P(1,0)\) est dans un rapport égal à \(3\) avec la distance de ce point à la droite \[ x + 2 = 0. \] Le lieu géométrique de ce point est déterminé par l’équation :
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9. Un technicien consulte un moteur de recherche internet sur les courbes du second degré. Il remarque que la polaire du point \(A(1,-2)\) par rapport à la conique d’équation \[ 3y^{2} - 2xy + 2x^{2} - 4y + 2x - 7 = 0 \] fait partie des éléments d’études d’une conique.
L’équation de la polaire est :
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10. Les dimensions d’une table devant contenir un équipement de laboratoire sont définies par l’équation de la conique : \[ 9x^{2} + 4y^{2} - 36x + 40y + 100 = 0. \] L’expression réduite de la courbe est :
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11. Un commissariat de la police construit un parterre circulaire ayant au centre un mât pour hisser le drapeau national. Ce cercle dessiné sur un papier présente les éléments suivants : le centre \((-1,0)\) et un point sur le cercle \(A(3,5)\).
L’équation du cercle est :
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12. Au musée national, les visiteurs admirent une œuvre d’art d’un artiste congolais ; l’un d’eux veut la reproduction de cette œuvre dans sa parcelle. La pose de cette œuvre nécessite les calculs des foyers et des directrices de la conique définie par l’équation : \[ 5x^2 - 12xy + 6x - 36y - 63 = 0. \]Les foyers de cette conique sont :
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13. Au musée national, les visiteurs admirent une œuvre d’art d’un artiste congolais, l’un d’eux veut la reproduction de cette œuvre dans sa parcelle. La pose de cette œuvre nécessite les calculs des foyers et des directrices de la conique définie par l’équation : \[ 5x^2 - 12xy + 6x - 36y - 63 = 0. \]Les directrices de la conique sont :
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14. Lors d’une révision, un mécanicien a démonté un moteur. Il constate qu’une pièce triangulaire est cassée. En vue de sa reproduction, il dessine la pièce cassée dans un repère orthonormé. Les trois sommets A, B et C de la pièce ont pour coordonnées respectives : \[ A(1,0,2), \quad B(1,1,4), \quad C(-1,1,1). \] Les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{BC}\), sur le dessin, sont :
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15. Un joueur de cartes peut gagner ou perdre beaucoup d’argent à l’occasion de ce jeu. Tout cela, au hasard. Un proche parent veut s’engager dans ce jeu et veut être convaincu par la probabilité de gagner au regard de la probabilité de perdre.
Le jeu est constitué de 32 cartes : 4 as, 4 rois, 4 dames, 8 piques, 8 carreaux, 8 trèfles et 8 cœurs.
Le jeu consiste à tirer, en une fois, un as, un roi et une dame pour être déclaré gagnant.
La probabilité de cet événement gagnant est de :
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16. Un scientifique prépare un exposé sur les ensembles numériques. Il consulte le glossaire des grandes théories mathématiques et trouve l’équation suivante : \[ 2Zi + \overline{Z} + 1 = i. \]La solution de l’équation est :
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17. Un mathématicien veut aider son ami à réussir au concours d’embauche dans une entreprise de la place. Il recourt aux savoirs essentiels contenus dans le système d’équations suivant : \[ \begin{cases} 3iZ + Z' = 8 + i \\ 2Z - iZ' = 1 + i \end{cases} \] La solution du système sous-forme algébrique est :
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18. Un statisticien veut interpréter la courbe d’une fonction \[ y = \ln(x^2 - x + 1) \] représentant des filles qui se marient avant la fin des études universitaires.
La dérivée première de \(y\) au point d’abscisse \(2\) est :
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19. Le gouvernement de la R.D. Congo encourage les chercheurs scientifiques à promouvoir la culture de plusieurs variétés de produits de première nécessité dont le manioc. Pendant ce processus, le calcul de l’acidité / basicité est indispensable. D’où le contrôle fréquent du pH du manioc par le calcul des logarithmes comme dans l’équation \(\log(x-25)+\log(x-4)=2\), dont la solution est notée \(B\).
L’expression \(1-B\) vaut :
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20.Le mathématicien Mac-Laurin a appliqué le développement en série de Taylor au voisinage de zéro, notamment aux fonctions dites élémentaires : \(e^{x}\), \(\sin x\), \(\cos x\), \(\ln(1+x)\), \((1+x)^{m}\), … Toutes ces fonctions aident à la résolution plus facile d’autres fonctions plus complexes. Un candidat géomètre retrouve dans sa mémoire le développement selon Mac-Laurin de \(f(x)=x e^{x}\). La somme de trois premiers termes de \(f(x)\), pour \(x=2\), vaut :
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21.Un biologiste est confronté au calcul sans outils (calculatrice…) de l’intégrale \(I=\int_{1}^{2}(x+2)e^{x}\,dx\). Après plusieurs tentatives de résolution sans succès, il se souvient qu’une telle intégrale est plus facile à calculer en utilisant la méthode d’intégration par parties. L’intégrale \(I\), en unités d’aire, est égale à :
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22. Lors de la communication avec son équipe de football, un entraîneur dispose ses joueurs sous-forme d’un cercle représenté par l’équation : \[ x^{2} + y^{2} + x + 3y - 4 = 0 \] Le point sur le cercle est :
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23. À l’ouverture d’un championnat de Basketball, les spectateurs ont présenté une chorégraphie sous-forme d’un lieu de points tels que le carré de la distance de ce point \(P(1,0)\) est dans un rapport égal à \(3\) avec les distances de ce point à une droite \(x + 1 = 0\).
Le lieu géométrique de ce point est déterminé par l’équation :
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24. Un technicien consulte un moteur de recherche internet sur les courbes du second degré. Il remarque que la polaire du point \((0,0)\) par rapport à la conique d’équation \[ 3y^{2} - 2xy + 2x^{2} - 4y + 2x - 7 = 0 \] fait partie des éléments d’étude d’une conique.
L’équation de la polaire est :
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25. Les dimensions d’une table devant contenir un équipement de laboratoire sont définies par l’équation de la conique : \[ 9x^{2} + 2y^{2} + x^{2} - 6y + 9 = 0. \] L’expression réduite de la courbe est :
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26. Un commissariat de la police construit un parterre circulaire ayant au centre un mât pour hisser le drapeau national. Ce cercle dessiné sur un papier présente les éléments suivants : le centre \((0,1)\) et un point sur le cercle \(A(5,3)\). L’équation du cercle est :
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27. Au musée national, les visiteurs admirent une œuvre d’art d’un artiste congolais, l’un d’eux veut la reproduction de cette œuvre dans sa parcelle.
La pause de cette œuvre nécessite les calculs des foyers et des directrices de la conique définie par l’équation : \( 9y^2 + 25x^2 + 18y - 50x - 191 = 0 \).
Les foyers de la conique sont :
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28. Au musée national, les visiteurs admirent une œuvre d’art d’un artiste congolais, l’un d’eux veut la reproduction de cette œuvre dans sa parcelle. La pause de cette œuvre nécessite les calculs des foyers et des directrices de la conique définie par l’équation : \( 9y^2 + 25x^2 + 18y - 50x - 191 = 0 \).
Les directrices de la conique sont :
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29. Lors d’une révision, un mécanicien a démonté un moteur. Il constate qu’une pièce triangulaire est cassée. En vue de sa reproduction, il dessine la pièce cassée dans un repère orthonormé. Les trois sommets \(A\), \(B\) et \(C\) de la pièce ont pour coordonnées respectives \(A(1,0,2)\), \(B(1,1,3)\) et \(C(-1,1,1)\).
Les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\), sur le dessin, sont :
Correction accessible uniquement après paiement.
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30. Un joueur de cartes peut gagner ou perdre beaucoup d’argent à l’occasion de ce jeu. Tout cela, au hasard. Un proche parent veut s’engager dans ce jeu et veut être convaincu par la probabilité de gagner au regard de la probabilité de perdre.
Le jeu est constitué de 32 cartes : il y a 4 as, 4 rois, 4 dames, 8 piques, 8 carreaux, 8 trèfles et 8 cœurs. Le jeu consiste à tirer, en une fois, un pique, un carreau et un trèfle pour être déclaré gagnant.
La probabilité de cet événement gagnant est de :
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