Exetat Math 2023_Scientifique

1. Pour les travaux de réfection d’un rond-point, le maitre d’ouvrage dessine sur un papier calque un cercle trigonométrique dans lequel il détermine les angles sous-forme trigonométrique : \( z_{1} = 2(\cos 45^{\circ} + i \sin 45^{\circ}) \) et \( Z_{2} = 4(\cos 135^{\circ} + i \sin 135^{\circ}) \).
Il calcule \( A = \left( \frac{Z_{2}}{z_{1}} \right)^{2} \)
La forme algébrique de A est :

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2. Afin de départager les lauréats au concours organisé par le gouverneur de la ville, il a été demandé aux lauréats de calculer sous-forme de \( a + bi \) le nombre complexe \( z = \frac{1+i}{2-i} - \frac{2-i}{1+i} \).
L’expression \( \frac{b}{a} \) vaut :

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3. Dans ses calculs sur les ondes électromagnétiques, un ingénieur utilise deux nombres complexes : \( Z_{1} = \frac{\sqrt{6} + i\sqrt{2}}{2} \) et \( Z_{2} = 1 - i \). Il calcule \( W = (Z_{1})^{2} \).
L’écriture exponentielle de W est :

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4. En vue de construire un marché, le topographe fixe un point de jonction entre deux avenues.
Pour situer avec exactitude l’emplacement du point où sera érigé le marché, il utilise un plan \(\pi\) muni d’un repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\) et \(A(1, 1)\) un point du plan en coordonnées cartésiennes.
Après transformation des coordonnées, le point A en coordonnées polaires vaut :

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5. Pendant l’étude du rendement d’une usine, un économiste rencontre la fonction réelle g définie par \( g(x) = \frac{\cos x}{x} \).
Il doit calculer la somme notée S de 3 premiers termes, selon le développement en série de Mac-Laurin, au voisinage du point \( x = 1 \).
La somme S, à \( 10^{-3} \) près, est égale à :

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6. Avant d’acheter des matériaux de carrelage d’une surface, un architecte a calculé l’aire A délimitée par la courbe de la fonction trigonométrique réelle définie par \( k(t) = \cos^2 t \) dans l’intervalle \( \left[ 0, \frac{3\pi}{2} \right] \).
L’aire A, en unité graphique d’aire, vaut :

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7. Dans la recherche des intégrales définies, le calcul de \(\int_{0}^{2\pi} \tan x \, dx\) donne :

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8. Parmi les jeux qu'organisent les enfants pendant les vacances, un jeu consiste à ce qu’un groupe d’enfants se déplacent de telle sorte que la distance au point \(A(-1, 2)\) soit toujours égale à la moitié de la distance au point \(B(1, -3)\).
Calculez l’équation normalisée du lieu.
L’équation normalisée est :

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9. Voici les instructions rencontrées par un maçon dans un plan de construction élaboré par un ingénieur, maitre des travaux.
Par un point \(A(3, 5)\) on fait passer une droite variable qui tourne autour de \(A\).
Par le point \(B(-3, -5)\), on mène la perpendiculaire à la droite variable.
Calculez le lieu du point d'intersection M.
L’équation du lieu du point d’intersection M est :

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10. Avant de réaliser une voûte à forme hyperbolique sur un portail d’une clôture, l’ajusteur définit une hyperbole \( f(x,y) \equiv \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1 \).
Il cherche à calculer quelques éléments caractéristiques de cette conique à savoir : les coordonnées des foyers, les équations des directrices et les équations des asymptotes.
Les coordonnées des foyers de \( f(x,y) \) sont :

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11. Avant de réaliser une voûte à forme hyperbolique sur un portail d’une clôture, l’ajusteur définit une hyperbole \( f(x,y) \equiv \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1 \).
Les équations des directrices sont :

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12. Avant de réaliser une voûte à forme hyperbolique sur un portail d’une clôture, l’ajusteur définit une hyperbole \( f(x,y) \equiv \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1 \). Les équations des asymptotes sont :

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13. Soit le plan \(\pi\) défini par trois points non alignés \(A(3, 2, 2)\), \(B(4, -2, -1)\) et \(C(1, 4, 3)\).
L’équation de \(\pi\) est :

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14. Les choix émis par 100 personnes prises au hasard, sur leur moyen de transport préféré, sont repris dans le tableau ci-dessous.

La probabilité qu’un homme choisi au hasard dans ce groupe prenne un bateau ou un avion est :

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15. Dans une zone de santé X, 25% de la population sont atteints de la maladie \( M_A \). Parmi ceux atteints de la maladie \( M_A \), 15% ont aussi la maladie \( M_B \).
Parmi ceux non atteints de la maladie \( M_A \), 3% ont la maladie \( M_B \).
Le gestionnaire de la zone de santé procède par l’arbre de choix pour calculer les différentes probabilités à présenter au comité de gestion.
La probabilité de l’événement « l’individu n’est pas atteint de \( M_A \) et a la maladie \( M_B \) » est :

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16. Pour les travaux de réfection d’un rond-point, le maitre d’ouvrage dessine sur un papier calque un cercle trigonométrique dans lequel il détermine les angles sous-forme trigonométrique : \( z_1 = 2(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ) \) et \( z_2 = 4(\cos 135^\circ + i \sin 135^\circ) \).
Il calcule \( A = \frac{z_1}{z_2} \).
La forme algébrique de A est :

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17. Afin de départager les lauréats au concours organisé par le gouverneur de la ville, il a été demandé aux lauréats de calculer sous-forme de \( a + bi \) le nombre complexe \( z = \frac{1+i}{2-i} - \frac{2-i}{1+i} \).
L’expression \( \frac{a}{b} \) vaut :

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18. Dans ses calculs sur les ondes électromagnétiques, un ingénieur utilise deux nombres complexes : \( Z_1 = \frac{\sqrt{6} + i\sqrt{2}}{2} \) et \( Z_2 = 1 - i \).
Il calcule \( W = (Z_2)^2 \).
L’écriture exponentielle de W est :

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19. En vue de construire un marché, le topographe fixe un point de jonction entre deux avenues.
Pour situer avec exactitude l’emplacement du point où sera érigé le marché, il utilise un plan \(\pi\) muni d’un repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\) et \(A(-1, \sqrt{3})\) un point du plan en coordonnées cartésiennes.
Après transformation des coordonnées, le point A en coordonnées polaires vaut :

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20. Pendant l’étude du rendement d’une usine, un économiste rencontre la fonction réelle g définie par g(x) = \frac{\sin x}{x}.
Il doit calculer la somme notée S de 3 premiers termes, selon le développement en série de Mac-Laurin, au voisinage du point x = 1.
La somme S, à 10^{-3} près, est égale à :

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21. Avant d’acheter des matériaux de carrelage d’une surface, un architecte a calculé l’aire A délimitée par la courbe de la fonction trigonométrique réelle définie par \( w(t) = \cos^2 t \) dans l’intervalle \([0, \pi]\).
L’aire A, en unité graphique d’aire, vaut :

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22. Dans la recherche des intégrales définies, le calcul de \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \tan x \, dx donne :

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23. Parmi les jeux qu’organisent les enfants pendant les vacances, un jeu consiste à ce qu’un groupe d’enfants se déplacent de telle sorte que la distance au point \( A(2,1) \) soit toujours égale à la moitié de la distance au point \( B(3,1) \).
Calculez l’équation normalisée du lieu.
L’équation normalisée est :

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24. Voici les instructions rencontrées par un maçon dans un plan de construction élaboré par un ingénieur, maitre des travaux.
Par un point \( A(1,3) \) on fait passer une droite variable qui tourne autour de A.
Par le point \( B(-3,-5) \), on mène la perpendiculaire à la droite variable. Calculez le lieu du point d’intersection M.
L’équation du lieu du point d’intersection M est :

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25. Avant de réaliser une voûte à forme hyperbolique sur un portail d’une clôture, l’ajusteur définit une hyperbole \(f(x,y) = \dfrac{x^{2}}{4} - \dfrac{y^{2}}{27} = 1\).
Il cherche à calculer quelques éléments caractéristiques de cette conique, notamment les coordonnées des foyers.
Les coordonnées des foyers de \(f(x,y)\) sont :

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26. Avant de réaliser une voûte à forme hyperbolique sur un portail d’une clôture, l’ajusteur définit une hyperbole \(f(x,y) = \dfrac{x^{2}}{4} - \dfrac{y^{2}}{27} = 1\).
Il cherche à calculer quelques éléments caractéristiques de cette conique, notamment les équations des directrices.
Les équations des directrices sont :

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27. Avant de réaliser une voûte à forme hyperbolique sur un portail d’une clôture, l’ajusteur définit une hyperbole \(f(x,y) = \dfrac{x^{2}}{4} - \dfrac{y^{2}}{27} = 1\).
Il cherche à calculer quelques éléments caractéristiques de cette conique, notamment les équations des asymptotes.
Les équations des asymptotes sont :

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28. Soit le plan \(\pi\) défini par trois points non alignés \(A(3, 1, 5)\), \(B(-4, 2, -3)\) et \(C(-5, 1, 2)\).
L’équation de \(\pi\) est :

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29. Les choix émis par 100 personnes prises au hasard, sur leur moyen de transport préféré, sont repris dans le tableau ci-dessous.

La probabilité qu’un femme choisie au hasard dans ce groupe prenne un bus est :

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30. Dans une zone de santé X, 25% de la population sont atteints de la maladie \( M_A \).
Parmi ceux atteints de la maladie \( M_A \), 15% ont aussi la maladie \( M_B \).
Parmi ceux non atteints de la maladie \( M_A \), 3% ont la maladie \( M_B \).
Le gestionnaire de la zone de santé procède par l’arbre de choix pour calculer les différentes probabilités à présenter au comité de gestion.
La probabilité de l’événement « l'individu est atteint de \( M_A \) et non de \( M_B \) » est :

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31. Une étude scientifique est menée sur les expressions mathématiques \( Z_1 = 4(\cos 135^\circ + i \sin 135^\circ) \), \( Z_2 = 2(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ) \) avec \( i^2 = -1 \).
Calculez \( \frac{Z_1}{Z_2} \) avec le résultat sous-forme de \( a + bi \).
L’expression \( a + bi \) vaut :

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32. Pour empêcher les eaux de pluie d’entrer par l’une de leurs fenêtres, le menuisier doit connaître d’abord d’inclinaison de la lucarne en utilisant les rapports \(\cos\) et \(\sin\). Pour ce faire, il détermine la forme trigonométrique du nombre \(Z = 2i\).
L’angle qui servirait de recouvrement au mur vaut :

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33. Un chercheur trouve dans un vieux livre de mathématiques la fonction \( f: x \to y = \log_a x \).
Si \( \log_a 6 = 3 \) et \( \log_6 5 = 4 \), l'expression \( \log_a 20 \) vaut :

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34. En vue de préparer son test d’admission à l’école d’administration, Jacques propose à son frère de calculer l’équation exponentielle suivante : \( (\frac{2}{3})^{3x^2+x} = (\frac{3}{2})^{2x} \).
Une des solutions de l’équation est :

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35. Un architecte trouve dans un manuel de mathématiques un polynôme \(A(x) = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^{2}}{2!} + \dfrac{x^{3}}{3!} + \dfrac{x^{4}}{4!} + \cdots\).
Identifier la fonction réelle \(f(x)\) dont le développement de Mac-Laurin est \(A(x)\).

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36. Un géomètre étudie une fonction réelle \(g(x)\) dont la courbe représentative notée \(y\) possède en tout point \((x,y)\) la pente égale à deux fois l’abscisse.
L’équation de la courbe \(y\) qui passe par le point \((1,3)\) est :

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37. Dans un repère orthonormé, un topographe reproduit sur papier la superficie représentative d’une concession délimitée par la parabole \(y = x^{2} - 2x - 3\), l’axe des abscisses et les droites verticales \(x = -2\) et \(x = 0\).
L’aire de la concession, en unités-carrés, vaut :

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38. À l’ouverture d’une finale de match de football, les organisateurs présentent sur terrain une chorégraphie de telle sorte que la distance des acteurs à un point \(A(-1,-2)\) soit égale à quatre.
Le point qui appartient à l’équation de lieu est :

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39. Une poutre en béton armé de longueur \(12\) doit être placée sur deux colonnes représentées par les droites d’équations \(x = 2\) et \(y = -1\). Avant de la poser on doit connaître le lieu du milieu.
Le lieu du milieu de cette poutre est défini par l’équation :

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40. La fondation du périmètre d’un stade d’une forme d’ellipse d’équation \(4x^{2} + 16y^{2} = 64\) doit être construite aux environs d’une école. Avant de le faire, les données suivantes sont nécessaires : l’excentricité de l’ellipse, le latus rectum de la figure et la définition des équations des directrices.
L’excentricité de cette ellipse est :

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41. La fondation du périmètre d’un stade d’une forme d’ellipse d’équation \(4x^{2} + 16y^{2} = 64\) doit être construite aux environs d’une école. Avant de le faire, les données suivantes sont nécessaires : l’excentricité de l’ellipse, le latus rectum de la figure et la définition des équations des directrices.
Le latus rectum est :

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42. La fondation du périmètre d’un stade d’une forme d’ellipse d’équation \(4x^{2} + 16y^{2} = 64\) doit être construite aux environs d’une école. Avant de le faire, les données suivantes sont nécessaires : l’excentricité de l’ellipse, le latus rectum de la figure et la définition des équations des directrices.
Les équations des directrices sont :

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43. Le mur du bureau d’une école constitue un plan défini par : \(\pi \equiv x + 2y + z - 4 = 0\). Il est éloigné du lieu de rassemblement représenté par un point \(M(1,3,2)\).
Le calcul de la distance de \(M\) à \(\pi\) donne :

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44. La somme mise en jeu par une loterie est de \(20\,000\,000\) FC (vingt millions de francs congolais). Les organisateurs du jeu ont vendu, pour ce jeu, \(1\,600\) billets. Kongo a acheté \(8\) billets.
L’espérance-gain de Kongo est estimée (en franc congolais) :

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45. Un joueur de dés est appelé à parier sur le lancer simultané de deux dés équilibrés de six faces chacun. L’enjeu consiste à obtenir la somme « dix » avec les points indiqués sur les deux faces supérieures lorsque les dés lancés retombent.
La probabilité de réaliser l’enjeu est prédite par la fraction :

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46. Une étude scientifique est menée sur les expressions mathématiques \(Z_{1} = 4(\cos 135^\circ + i \sin 135^\circ)\), \(Z_{2} = 2(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ)\) avec \(i^2 = -1\). Calculez \(\dfrac{Z_{1}}{Z_{2}}\) avec le résultat sous forme de \(a + bi\).
L’expression \(a + bi\) vaut :

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47. Pour empêcher les eaux de pluie d’entrer par l’une de leurs fenêtres, le menuisier doit connaître d’abord l’inclinaison de la lucarne en utilisant les rapports cos et sin. Pour ce faire, il détermine la forme trigonométrique du nombre \(Z = 1 + i\).
L’angle qui servirait de recouvrement au mur vaut :

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48. Un chercheur trouve dans un vieux livre de mathématiques la fonction \(f : x \mapsto y = \log_{a} x\). Si \(\log_{a} 6 = 3\) et \(\log_{a} 5 = 4\), l’expression \(\log_{a} 10\) vaut :

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49. En vue de préparer son test d’admission à l’école d’administration, Jacques propose à son frère de calculer l’équation exponentielle suivante : \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{2x^{2}-x} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2x-1}. \] Une des solutions de l’équation est :

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50. Un architecte trouve dans un manuel de mathématiques un polynôme \[ A(x) = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \cdots \] Identifiez la fonction réelle \(f(x)\) dont le développement de Mac-Laurin est \(A(x)\).

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51. Un géomètre étudie une fonction réelle \(g(x)\) dont la courbe représentative notée \(y\) possède en tout point \((x,y)\) la pente égale à six fois l’abscisse. L’équation de la courbe \(y\) qui passe par le point \((1,3)\) est :

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52. Dans un repère orthonormé, un topographe reproduit sur papier la superficie représentative d’une concession délimitée par la parabole \[ y = x^{2} + x - 3, \] l’axe des abscisses et les droites verticales \(x = -2\) et \(x = 0\). L’aire de la concession, en unités carrées, vaut :

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53. À l’ouverture d’une finale de match de football, les organisateurs présentent sur terrain une chorégraphie de telle sorte que la distance des acteurs à un point \(A(1,-2)\) soit égale à quatre. Le point qui appartient à l’équation de lieu est :

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54. Une poutre en béton armé de longueur \(12\) doit être placée sur deux colonnes représentées par les droites d’équations \(x=-2\) et \(y=4\). Avant de la poser, on doit connaître le lieu du milieu.
Le lieu du milieu de cette poutre est défini par l’équation :

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55. La fondation du périmètre d’un stade d’une forme d’ellipse d’équation \(16x^2 + 25y^2 = 100\) doit être construite aux environs d’une école. Avant de le faire, les données suivantes sont nécessaires : l’excentricité de l’ellipse, le latus rectum de la figure et la définition des équations des directrices.
L’excentricité de cette ellipse est :

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56. La fondation du périmètre d’un stade d’une forme d’ellipse d’équation \[ 16x^2 + 25y^2 = 100 \] doit être construite aux environs d’une école. Avant de le faire, les données suivantes sont nécessaires : l’excentricité de l’ellipse, le latus rectum de la figure et la définition des équations des directrices. Le latus rectum est :

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57.La fondation du périmètre d’un stade d’une forme d’ellipse d’équation \(16x^{2} + 25y^{2} = 100\) doit être construite aux environs d’une école. Avant de le faire, les données suivantes sont nécessaires : l’excentricité de l’ellipse, le latus rectum de la figure et la définition des équations des directrices.
Les équations des directrices sont :

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58. Le mur du bureau d’une école constitue un plan défini par : \(\pi : 3x + 2y - 6z - 1 = 0\). Il est éloigné du lieu de rassemblement représenté par un point \(M(7,3,4)\). Le calcul de la distance de \(M\) à \(\pi\) donne :

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59. La somme mise en jeu par une loterie est de \(20\,000\,000\) FC (vingt millions de francs congolais). Les organisateurs du jeu ont vendu, pour ce jeu, \(1\,400\) billets. Kongo a acheté \(8\) billets. L’espérance-gain de Kongo est estimée

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60. Un joueur de dés est appelé à parier sur le lancer simultané de deux dés équilibrés de six faces chacun. L’enjeu consiste à obtenir la somme « neuf » avec les points indiqués sur les deux faces supérieures lorsque les dés lancés retombent. La probabilité de réaliser l’enjeu est prédite par la fraction :

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