Exetat Math 2024_Scientifique

1. Une étude des microbes dans un laboratoire renseigne que certaines espèces se développent de manière exponentielle. Une de ces espèces se développe de telle sorte que : \[ 2^{x} = 2^{\sqrt[5]{16}}. \] La valeur absolue de \(x\) est :

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2. La population d’un village au fil des années est donnée par la fonction \(f(x) = \dfrac{1}{2}\left(e^{x} + e^{-x}\right)\), où \(x\) est le nombre d’années écoulées, \(f(x)\) représente le nombre d’habitants et \(f'(x)\) le rythme de croissance de cette population.
Le rythme de croissance de cette population pour \(x = \ln 2\) est égal à :

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3. Un agent des affaires foncières est désigné pour retrouver l’emplacement exact d’une parcelle dans un nouveau quartier à lotir. Il obtient du plan cadastral de ce quartier que le repère \((x, y)\) à retrouver est solution du système d’équations exponentielles : \[ \begin{cases} 3^{y+2} = 3^{5-2x} \\ 5^{3x} = 5^{7-2y} \end{cases} \] Le repère \((x, y)\) est :

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4. Pour délivrer l’autorisation de bâtir d’un immeuble, un scrutin est organisé par le service cadastral concerné. Le nombre \( \mathrm{x} \) des voix pour et le nombre \( \mathrm{y} \) des voix contre proviennent de l’expression \( \mathrm{Z_{1} - iZ_{2} = 2i} \) dans laquelle \( \mathrm{Z_{1} = 4x - 3yi} \) et \( \mathrm{Z_{2} = x + 6yi} \).
L’expression \( \mathrm{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} \) vaut :

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5. Le réajustement d’un courant électrique triphasé exige qu’un certain nombre d’opérations soient menées.
Les trois phases \( \mathrm{x_{1}, x_{2} \ et \ x_{3}} \) sont les solutions de l’équation complexe \( \mathrm{x^{3} - 125 = 0} \), \( \mathrm{x_{1}} \) étant la racine réelle.
Le produit \( \mathrm{\frac{1}{5}x_{1}} \) vaut :

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6. Une chaînette décrit une courbe d’équation \( \mathrm{ y = -x \cdot e^{-x} } \).
Pour mieux opérer sur cette courbe, un géomètre voudrait l’exprimer sous sa forme polynomiale de Mac Laurin.
Les trois premiers termes non nuls du développement de cette courbe sont représentés par la somme :

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7. Dans le plan cadastral d’un nouveau lotissement, un terrain loti est limité par les lignes d’équations y = 0, x = 0, x = 5 et y = x² + 2.
Le topographe voudrait connaitre la surface de ce terrain loti.
La surface, en unité d’aire, du terrain loti, est :

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8. Un inventeur crée une calculette qui donne les résultats des calculs des nombres sous leurs formes exponentielles.
Mademoiselle RHEMA voudrait obtenir du produit des nombres \( \mathrm{Z_{1} = 1 + i} \) et \( \mathrm{Z_{2} = \sqrt{2} + i\sqrt{2}} \).
Le résultat de \( \mathrm{Z_{1} \times Z_{2}} \) attendu de cette calculette est :

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9. Deux plates-bandes d’un jardin sont séparées par deux allées qui en constituent des axes de symétrie.
Le contour de ce jardin dans son plan est une courbe d’équation \( \mathrm{ 5y^{2} - 4xy + 2x^{2} + 5y - x - 3 = 0 } \).
L’une des allées du jardin est définie par l’équation :

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10. Le croquis ci-dessous représente un rond-point (RP) à aménager dont le contour est un cercle d’équation \( \mathrm{ x^{2} + y^{2} = 9 } \).
Du point A d’abscisse 2 et d’ordonnée négative, passe l’avenue (d) conformément au croquis.

L’équation de la droite (d) représentant cette avenue est :

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11. Un fil attaché à ses deux extrémités décrit une courbe d’équation \( \mathrm{ 3x^{2} + 2xy - y^{2} - y - 3 = 0 } \).
Une des asymptotes de la courbe a pour équation :

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12. Cinq croquis donnés ont chacun une des représentations d’une des figures planes d’équations respectives :
a. \( \mathrm{ x^{2} + 5xy + y^{2} - 11x + 5 = 0 } \)
b. \( \mathrm{ y^{2} + 4xy + 5x^{2} + y = 0 } \)
c. \( \mathrm{ 2x^{2} - 3x + 4y + 2y^{2} - 1 = 0 } \)
d. \( \mathrm{ 2xy - x^{2} - y^{2} + 10x - 9 = 0 } \)
e. \( \mathrm{ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1 } \)
Un dessinateur devra choisir, selon les outils dont il dispose, un des croquis pour décorer le portail d’une parcelle. Le dessinateur dispose des outils pour tracer une droite.
Le croquis que le dessinateur devra choisir est représenté par l’équation :

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13. En mémoire d’un héros national, un monument doit être érigé au centre d’un carrefour qui porte son nom.
Dans le plan de ce carrefour, l’équation \( \mathrm{ y^{2} - 4xy + 2x^{2} + 6y - 4x + 2 = 0 } \) représente le contour de ce dernier.
Le centre du carrefour où sera érigé le monument a pour coordonnées :

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14. Un observateur a photographié, grâce à son télescope, un arc-en-ciel formant une courbe dont la forme est celle d’une hyperbole d’équation \( \mathrm{ y^{2} - 4xy - 2x^{2} - 4x - 4y - 2 = 0 } \).
Rapportée à ses axes de symétrie, cette équation se réduit à :

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15. Le parieur Nestor a reçu le tableau statistique ci-dessous, annexé à un jeu de loterie. Dans ce tableau, x est une variable aléatoire et P(x) la probabilité de cette variable aléatoire. Avant de jouer, Nestor veut savoir la somme E(x) qu’il espère gagner à ce jeu. \begin{center}

L’espérance mathématique E(x), en millions de francs congolais, vaut :

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16. Une étude des microbes dans un laboratoire renseigne que certaines espèces se développent de manière exponentielle. Une de ces espèces se développe de telle sorte que \( \mathrm{ 16^{x} = \frac{1}{2} } \).
La valeur absolue de x est :

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17. La population d’un village au fil des années est donnée par la fonction \( f(x) = \frac{1}{2}e^{2x} \), \( x \) est le nombre d’années écoulées, \( f(x) \) le nombre d’habitants et \( (f'(x)) \) le rythme de croissance de cette population.
Le rythme de croissance de cette population pour \( x = \ln 2 \) est :

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18. Un agent des affaires foncières est désigné pour retrouver l’emplacement exact d’une parcelle dans un nouveau quartier à lotir. Il obtient du plan cadastral de ce quartier que le repère (x,y) à retrouver est solution du système d’équations exponentielles : \( \mathrm{ \begin{cases} 5^{2y} = 5^{3x-4} \\ 3^{x} = 9^{2-y} \end{cases} } \)
Le repère (x, y) est :

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19. Pour délivrer l’autorisation de bâtir d’un immeuble, un scrutin est organisé par le service cadastral concerné. Le nombre x des voix pour et le nombre y des voix contre proviennent de l’expression \( \mathrm{ Z_{1} - iZ_{2} = 2i } \) dans laquelle \( \mathrm{ Z_{1} = 4x - 3yi } \) et \( \mathrm{ Z_{2} = x + 6yi } \).
L’expression \( \mathrm{ \frac{1}{x} : \frac{1}{y} } \) vaut :

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20. Le réajustement d’un courant électrique triphasé exige qu’un certain nombre d’opérations soient menées.
Les trois phases \(x_{1}\), \(x_{2}\) et \(x_{3}\) sont les solutions de l’équation complexe \(x^{3} - 125 = 0\), \(x_{1}\) étant la racine réelle.
Le produit \(x_{2} \times x_{3}\) vaut :

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21. Une chaînette décrit une courbe d’équation \( y = -x \cdot e^{x} \).
Pour mieux opérer sur cette courbe, un géomètre voudrait l’exprimer sous sa forme polynomiale de Mac Laurin.
Les trois premiers termes non nuls du développement de cette courbe sont représentés par la somme :

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22. Dans le plan cadastral d’un nouveau lotissement, un terrain loti est limité par les lignes d’équations \( y = 0, x = 0, x = 4 \) et \( y = x^{2} + 2 \).
Le topographe voudrait connaitre la surface de ce terrain loti.
La surface, en unité d’aire, du terrain loti, est :

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23. Un inventeur crée une calculette qui donne les résultats des calculs des nombres sous leurs formes exponentielles.
Mademoiselle RHEMA voudrait obtenir du produit des nombres \( \mathrm{ Z_{1} = 1 + i\sqrt{3} } \) et \( \mathrm{ Z_{2} = 1 + i } \).
Le résultat de \( \mathrm{ Z_{1} \times Z_{2} } \) attendu de cette calculette est :

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24. Deux plates-bandes d’un jardin sont séparées par deux allées qui en constituent des axes de symétrie.
Le contour de ce jardin dans son plan est une courbe d’équation \( 3y^2 - 2xy + 3x^2 - 3y + 5x + 4 = 0 \).
L’une des allées du jardin est définie par l’équation :

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25. Le croquis ci-dessous représente un rond-point (RP) à aménager dont le contour est un cercle d’équation \( x^{2} + y^{2} = 9 \).
Du point A d’abscisse 2 et d’ordonnée positive, passe l’avenue (d) conformément au croquis.

L’équation de la droite (d) représentant cette avenue est :

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26. Un fil attaché à ses deux extrémités décrit une courbe d’équation \( x^2 - xy - 2y^2 + x + y - 1 = 0 \).
Une des asymptotes de la courbe a pour équation :

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27. Cinq croquis donnés ont chacun une des représentations d’une des figures planes d’équations respectives :
a. \( \mathrm{ x^{2} + 5xy + y^{2} - 11x + 5 = 0. } \)
b. \( \mathrm{ y^{2} + 4xy + 5x^{2} + y = 0. } \)
c. \( \mathrm{ 2x^{2} - 3x + 4y + 2y^{2} - 1 = 0. } \)
d. \( \mathrm{ 2xy - x^{2} - y^{2} + 10x - 9 = 0. } \)
e. \( \mathrm{ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1. } \)
Un dessinateur devra choisir, selon les outils dont il dispose, un des croquis pour décorer le portail d’une parcelle. Le dessinateur dispose des outils pour tracer une ellipse. Le croquis que le dessinateur devra choisir est représenté par l’équation :

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28. En mémoire d’un héros national, un monument doit être érigé au centre d’un carrefour qui porte son nom.
Dans le plan de ce carrefour, l’équation \( 2x^2 + 5xy + y^2 + 3x - 5y + 7 = 0 \) représente le contour de ce dernier.
Le centre du carrefour où sera érigé le monument a pour coordonnées :

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29. Un observateur a photographié, grâce à son télescope, un arc-en-ciel formant une courbe dont la forme est celle d’une hyperbole d’équation \( 5y^{2} - 6xy + 5x^{2} + 4y - 4x - 4 = 0 \).
Rapportée à ses axes de symétrie, cette équation se réduit à :

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30. Le parieur Nestor a reçu le tableau statistique ci-dessous, annexé à un jeu de loterie. Dans ce tableau, \( \mathrm{ x } \) est une variable aléatoire et \( \mathrm{ P(x) } \) la probabilité de cette variable aléatoire. Avant de jouer, Nestor veut savoir la somme \( \mathrm{ E(x) } \) qu’il espère gagner à ce jeu.

L’espérance mathématique \( \mathrm{ E(x) } \), en millions de francs congolais, vaut :

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31. Un plombier veut placer le tuyau de ventilation W d’une fosse septique. Le point W est la différence \( Z_1 - Z_2 \) des points \( Z_1 \) et \( Z_2 \) représentant les racines de l’équation \( Z^2 + (5 - i)Z + 8 - i = 0 \).
La différence \( W = Z_1 - Z_2 \) est égale à :

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32. Dans ses études de faisabilité, un architecte voudrait utiliser le nombre complexe \( Z = \frac{1+e^{i\frac{\pi}{2}}}{1-e^{i\frac{\pi}{2}}} \) sous la forme cartésienne.
La forme cartésienne de Z est :

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33. Un tirage au sort consiste à tirer un numéro qui détermine la nature du prix à gagner.
Les différents numéros sont donnés sous formes d’expressions mathématiques. Le numéro tiré par ELYKIA est la limite de la fonction \( f(x) = \frac{3e^{x+4}}{e^{x}+1} \) lorsque \( x \) tend vers \( -\infty \).
Le numéro tiré par Elykia est :

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34. Pour corriger un concours à plusieurs séries, le correcteur est informé que le nombre x des séries est la solution de l’équation exponentielle \( 81 \cdot 4^{x-2} = 9^{x} \).
Le nombre x de séries de ce concours est :

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35. Dans la concession de Madame Monique, le croquis de la partie B réservée pour la culture du soja est limité par les droites \( y = x \) et \( x = 2 \). Afin d’y cultiver des semences en quantité convenable, Madame Monique a besoin de connaitre l’aire de B.
L’aire de B, en unité d’aire vaut :

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36. Pour ajuster les éléments du circuit électrique installé dans un bâtiment, l’ingénieur électricien Bienvenu doit choisir parmi les nombres complexes \( \cos \alpha + i \sin \alpha \) notés \( \operatorname{cis} \alpha \) ceux qui sont inverses. Parmi les nombres ci-après, les complexes inverses sont :

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37. Dans son nouveau jardin botanique, une dame a besoin d’un repère pour planter un papayer. Les mesures \( x \) et \( y \) nécessaires pour ce repère dans le plan du jardin doivent provenir de la solution du système d’équations exponentielles \[ \begin{cases} 2^{x} = 4^{y} \\ 9^{2y+1} = 3^{3x} \end{cases} \]
Les mesures \( x \) et \( y \) nécessaires sont :

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38. Le nombre x, code secret du coffre-fort d’un commerçant est solution de l’équation logarithmique \( \log_{1/3} \frac{3}{\sqrt[3]{9}} = x \).
Le code secret est le nombre :

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39. Le coefficient du 3ème terme du développement en série de Mac-Laurin de la fonction \( f(x) = \frac{2}{3x+1} \) est, en milliers de francs congolais le montant d’une tranche de minerval que Madame Angèle doit payer pour son enfant.
Le coefficient du 3ème terme est :

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40. Une pancarte publicitaire doit être érigée dans un rond-point circulaire. Les informations renseignent que dans le plan du rond-point, le centre de ce dernier est le point \( (5, -3) \) et sa circonférence passe par le point \( A(1, -1) \).
L’équation du cercle qui représente ce rond-point est :

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41. Les résistances des matériaux dont un architecte a besoin dans ses calculs sont les valeurs des paramètres t et w qu’il faut pour que l’équation \( ty^2 + (2w - t)xy - (1 - t)x^2 + 2wy - (2t^2 - w)x + t = 0 \) admette une asymptote confondue avec l’axe \( OX \).
Le produit \( P = t \cdot w \) est égal à :

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42. Afin de préparer les instruments appropriés qui lui permettront de faire un croquis, le dessinateur Enzo voudrait connaître la forme géométrique de ce croquis. Cette forme provient de la nature de la conique d’équation \( 4x^2 - 4x + 9y^2 - 6y + 12xy - 9 = 0 \).
L’équation représente :

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43. Le rond central d’un stade de football est un cercle de centre (60, -30) et de rayon 6 dans le plan de stade.
L’équation cartésienne de ce rond central est :

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44. Deux parties A et B d’un quartier sont séparées par une avenue qui en constitue un des axes de symétrie. Le contour de ce quartier dans son plan est une courbe dont l’équation est : \( y^2 - xy + x^2 + 10y + 6x + 4 = 0 \). L’équation de l’axe de symétrie est :

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45. Le tableau statistique suivant donne quelques éléments relatifs aux probabilités des variables aléatoires. Le tableau est incomplet et seule la lettre A doit être remplacée par le nombre qui convient.

A est égal à :

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