Exetat Physique 2024_Scientifique

1. Pendant un culte dans une église, le balancement des bras d’un dirigeant d’une chorale forme un mouvement rectiligne sinusoïdale (M.R.S) donné par l’équation \( \mathrm{x = 3 \sin 4\pi t} \).
La fréquence des bras de son rythme vaut :

Réponse Correcte : c. \( \mathrm{2\ Hz} \)

Explication :

Pour trouver la fréquence du mouvement, il faut comparer l'équation donnée avec l'équation générale d'un mouvement rectiligne sinusoïdal (M.R.S).

1. Identification de l'équation :
L'équation générale d'un M.R.S est de la forme :
\( \mathrm{x = A \sin(\omega t + \phi)} \)
Dans l'énoncé, nous avons : \( \mathrm{x = 3 \sin(4\pi t)} \)

2. Extraction de la pulsation (\( \mathrm{\omega} \)) :
Par identification, nous voyons que la pulsation \( \mathrm{\omega} \) (le terme qui multiplie le temps \( \mathrm{t} \)) est :
\( \mathrm{\omega = 4\pi\ rad/s} \)

3. Calcul de la fréquence (\( \mathrm{f} \)) :
La relation fondamentale entre la pulsation et la fréquence est :
\( \mathrm{\omega = 2\pi f} \)
D'où :
\( \mathrm{f = \frac{\omega}{2\pi}} \)
En remplaçant par la valeur identifiée :
\( \mathrm{f = \frac{4\pi}{2\pi} = 2\ Hz} \)

4. Conclusion :
La fréquence du balancement des bras est de \( \mathrm{2\ Hz} \), ce qui correspond à l'assertion c.

2. Pendant la saison sèche, un chasseur à la recherche des gibiers utilise un fusil de masse \( \mathrm{0,40\ kg} \) et tire sur une balle de masse \( \mathrm{0,016\ kg} \) animée d’une vitesse de \( \mathrm{700\ m/s} \).
La vitesse de recul du fusil vaut (en m/s) :

Réponse Correcte : a. \( \mathrm{28} \)

Explication :

Ce problème repose sur le principe de la conservation de la quantité de mouvement d'un système isolé.

1. Données du problème :
* Masse du fusil (\( \mathrm{M} \)) : \( \mathrm{0,40\ kg} \)
* Masse de la balle (\( \mathrm{m} \)) : \( \mathrm{0,016\ kg} \)
* Vitesse de la balle (\( \mathrm{v} \)) : \( \mathrm{700\ m/s} \)

2. Principe de conservation :
Avant le tir, la quantité de mouvement totale est nulle. Après le tir, la somme vectorielle des quantités de mouvement du fusil et de la balle doit rester nulle :
\( \mathrm{\vec{P}_{fusil} + \vec{P}_{balle} = \vec{0}} \)
Soit en intensité :
\( \mathrm{M \cdot V = m \cdot v} \)

3. Calcul de la vitesse de recul (\( \mathrm{V} \)) :
\( \mathrm{V = \frac{m \cdot v}{M}} \)
\( \mathrm{V = \frac{0,016 \cdot 700}{0,40}} \)
\( \mathrm{V = \frac{11,2}{0,40}} \)
\( \mathrm{V = 28\ m/s} \)

3. Dans un jeu de ballon, Emmanuel lance verticalement une balle à partir d’une hauteur correspondante à sa stature (taille).
La balle atteint une altitude de 4,5m par rapport au sol avant de redescendre.
Si g=10m/s², la vitesse initiale de la balle lancée aura pour valeur (en m/s) :

Réponse Correcte : c. \( \mathrm{7,1} \)

Explication :

Ce problème porte sur le mouvement vertical d'un projectile (MRUA). Pour trouver la vitesse initiale, nous devons d'abord déterminer la hauteur réelle de l'ascension.

1. Données du problème :
* Altitude maximale par rapport au sol (\( \mathrm{H_{sol}} \)) : \( \mathrm{4,5\ m} \)
* Accélération de la pesanteur (\( \mathrm{g} \)) : \( \mathrm{10\ m/s^2} \)
* Hauteur de lancer (\( \mathrm{h_0} \)) : Correspond à la taille moyenne d'un homme (Emmanuel), soit environ \( \mathrm{2\ m} \) dans ce contexte d'exercice.

2. Calcul de la hauteur de montée (\( \mathrm{h} \)) :
La balle parcourt une distance verticale relative au point de lancer :
\( \mathrm{h = H_{sol} - h_0 = 4,5\ m - 2,0\ m = 2,5\ m} \)

3. Formule de la vitesse initiale (\( \mathrm{v_0} \)) :
Au sommet de la trajectoire, la vitesse finale est nulle. Selon les équations du MRUA :
\( \mathrm{v^2 = v_0^2 - 2 \cdot g \cdot h} \)
\( \mathrm{0 = v_0^2 - 2 \cdot g \cdot h} \)
\( \mathrm{v_0 = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}} \)

4. Application numérique :
\( \mathrm{v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2,5}} \)
\( \mathrm{v_0 = \sqrt{50}} \)
\( \mathrm{v_0 \approx 7,07\ m/s} \) (arrondi à \( \mathrm{7,1\ m/s} \))

Conclusion : La vitesse initiale est de \( \mathrm{7,1\ m/s} \), ce qui correspond à l'assertion c.

4. Dans une maternité, sur le pèse-bébé, le ressort vertical s’allonge de 15,2 cm (à l’équilibre) lorsqu’on y suspend un bébé de masse m et si g=10m/s².
La période propre du système masse-ressort vaut :

Réponse Correcte : c. \( \mathrm{0,77\ s} \)

Explication :

Pour calculer la période propre d'un système masse-ressort vertical, nous utilisons la relation entre l'allongement à l'équilibre et les paramètres oscillatoires.

1. Données du problème :
* Allongement à l'équilibre (\( \mathrm{x_0} \)) : \( \mathrm{15,2\ cm = 0,152\ m} \)
* Accélération de la pesanteur (\( \mathrm{g} \)) : \( \mathrm{10\ m/s^2} \)

2. Relation à l'équilibre :
À l'équilibre, le poids du bébé est compensé par la force de rappel du ressort :
\( \mathrm{m \cdot g = k \cdot x_0} \)
D'où le rapport \( \mathrm{\frac{m}{k} = \frac{x_0}{g}} \).

3. Formule de la période propre (\( \mathrm{T} \)) :
La période d'un oscillateur harmonique masse-ressort est :
\( \mathrm{T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}} \)
En substituant le rapport trouvé précédemment :
\( \mathrm{T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{x_0}{g}}} \)

4. Application numérique :
\( \mathrm{T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{0,152}{10}}} \)
\( \mathrm{T = 6,28 \cdot \sqrt{0,0152}} \)
\( \mathrm{T \approx 6,28 \cdot 0,1233} \)
\( \mathrm{T \approx 0,774\ s} \)

Conclusion : La période propre du système est d'environ \( \mathrm{0,77\ s} \), ce qui correspond à l'assertion c.

5. Pendant la période de la cueillette des mangues, Chaty se repose dans le jardin ; brusquement elle constate une mangue de masse 10 g qui tombe à 24 m du sol.
Si g=10 m/s² et les frottements sont supposés négligeables, l’énergie cinétique de la mangue lorsqu’elle percutera le sol vaut :

Réponse Correcte : b. \( \mathrm{2,4\ J} \)

Explication :

Ce problème se résout par le principe de la conservation de l'énergie mécanique. En l'absence de frottements, l'énergie potentielle de pesanteur au point de chute est intégralement transformée en énergie cinétique au moment de l'impact avec le sol.

1. Données du problème :
* Masse de la mangue (\( \mathrm{m} \)) : \( \mathrm{10\ g = 0,01\ kg} \)
* Hauteur de chute (\( \mathrm{h} \)) : \( \mathrm{24\ m} \)
* Accélération de la pesanteur (\( \mathrm{g} \)) : \( \mathrm{10\ m/s^2} \)

2. Principe de conservation de l'énergie :
L'énergie cinétique finale (\( \mathrm{E_c} \)) au sol est égale à l'énergie potentielle initiale (\( \mathrm{E_p} \)) au sommet :
\( \mathrm{E_c = E_p} \)
\( \mathrm{E_c = m \cdot g \cdot h} \)

3. Application numérique :
\( \mathrm{E_c = 0,01\ kg \cdot 10\ m/s^2 \cdot 24\ m} \)
\( \mathrm{E_c = 0,1 \cdot 24} \)
\( \mathrm{E_c = 2,4\ J} \)

Conclusion : L'énergie cinétique au moment de percuter le sol est de \( \mathrm{2,4\ J} \), ce qui correspond à l'assertion b.

6. Dans une brasserie, on veut déterminer le rendement d’une machine à vapeur dont la température de la chaudière marque 180°C et celle du condensateur, 40°C.
Le rendement maximal de cette machine vaut :

Réponse Correcte : b. 31%

Explication :

Le rendement maximal d'une machine thermique est donné par le rendement du cycle de Carnot, qui dépend uniquement des températures absolues des sources chaude et froide.

1. Données du problème :
* Température de la source chaude (chaudière) : \( \mathrm{t_1 = 180°C} \)
* Température de la source froide (condensateur) : \( \mathrm{t_2 = 40°C} \)

2. Conversion des températures en Kelvin (\( \mathrm{K} \)) :
Pour les calculs thermodynamiques, il faut utiliser l'échelle absolue :
\( \mathrm{T_1 = 180 + 273 = 453\ K} \)
\( \mathrm{T_2 = 40 + 273 = 313\ K} \)

3. Formule du rendement de Carnot (\( \mathrm{\eta} \)) :
Le rendement maximal est calculé par la relation :
\( \mathrm{\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1}} \) ou \( \mathrm{\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}} \)

4. Application numérique :
\( \mathrm{\eta = \frac{453 - 313}{453}} \)
\( \mathrm{\eta = \frac{140}{453} \approx 0,30905} \)

5. Conversion en pourcentage :
\( \mathrm{\eta \approx 30,9\%} \)
En arrondissant à l'unité la plus proche, on obtient \( \mathrm{31\%} \).

7. Pendant un culte dans une église, le balancement des bras d’un dirigeant d’une chorale forme un mouvement rectiligne sinusoïdale (M.R.S) donné par l’équation \( \mathrm{x = 3 \sin 2\pi t} \).
La fréquence des bras de son rythme vaut :

Réponse Correcte : d. \( \mathrm{1\ Hz} \)

Explication :

Pour déterminer la fréquence du mouvement, nous devons identifier les termes de l'équation horaire du mouvement rectiligne sinusoïdal (M.R.S).

1. Équation générale du M.R.S :
L'expression standard est :
\( \mathrm{x = A \sin(\omega t + \phi)} \)

2. Identification des données :
Dans l'équation fournie \( \mathrm{x = 3 \sin(2\pi t)} \), nous identifions la pulsation (\( \mathrm{\omega} \)), qui est le coefficient du temps \( \mathrm{t} \) :
\( \mathrm{\omega = 2\pi\ rad/s} \)

3. Calcul de la fréquence (\( \mathrm{f} \)) :
La relation fondamentale liant la pulsation et la fréquence est :
\( \mathrm{\omega = 2\pi f} \)
En isolant la fréquence, nous obtenons :
\( \mathrm{f = \frac{\omega}{2\pi}} \)
En remplaçant par la valeur identifiée :
\( \mathrm{f = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\ Hz} \)

Conclusion : La fréquence du balancement des bras est de \( \mathrm{1\ Hz} \), ce qui correspond à l'assertion d.

8. Pendant la saison sèche, un chasseur à la recherche des gibiers utilise un fusil de masse \( \mathrm{0,70\ kg} \) et tire sur une balle de masse \( \mathrm{0,016\ kg} \) animée d’une vitesse de \( \mathrm{700\ m/s} \).
La vitesse de recul du fusil vaut (en m/s) :

Réponse Correcte : d. 16

Explication :

Ce problème est une application directe du principe de conservation de la quantité de mouvement pour un système isolé (fusil + balle).

1. Données du problème :
* Masse du fusil (\( \mathrm{M} \)) : \( \mathrm{0,70\ kg} \)
* Masse de la balle (\( \mathrm{m} \)) : \( \mathrm{0,016\ kg} \)
* Vitesse de la balle (\( \mathrm{v} \)) : \( \mathrm{700\ m/s} \)

2. Principe de conservation :
Initialement, le système est au repos (quantité de mouvement nulle). Après le tir, la somme des quantités de mouvement du fusil et de la balle doit rester nulle :
\( \mathrm{\vec{P}_{système} = \vec{0}} \)
Soit en intensité :
\( \mathrm{M \cdot V = m \cdot v} \)

3. Calcul de la vitesse de recul (\( \mathrm{V} \)) :
\( \mathrm{V = \frac{m \cdot v}{M}} \)
\( \mathrm{V = \frac{0,016 \cdot 700}{0,70}} \)
\( \mathrm{V = \frac{11,2}{0,70}} \)
\( \mathrm{V = 16\ m/s} \)

Conclusion : La vitesse de recul du fusil est de \( \mathrm{16\ m/s} \), ce qui correspond à l'assertion d.

9. Dans un jeu de ballon, Emmanuel lance verticalement une balle à partir d’une hauteur correspondante à sa stature (taille).
La balle atteint une altitude de 1,5m par rapport au sol avant de redescendre.
Si g=10m/s², la vitesse initiale de la balle lancée aura pour valeur (en m/s) :

Réponse Correcte : e. \( \mathrm{5,5} \)

Explication :

Ce problème traite d'un mouvement rectiligne uniformément varié (lancer vertical). Pour trouver la vitesse initiale, nous devons déterminer la hauteur de la trajectoire effectuée par la balle depuis la main d'Emmanuel.

1. Données du problème :
* Altitude maximale par rapport au sol (\( \mathrm{H_{sol}} \)) : \( \mathrm{1,5\ m} \)
* Accélération de la pesanteur (\( \mathrm{g} \)) : \( \mathrm{10\ m/s^2} \)
* Hauteur de lancer (\( \mathrm{h_0} \)) : Correspond à la taille d'Emmanuel, estimée ici à \( \mathrm{0\ m} \) (ou niveau de référence de départ) pour que le calcul soit cohérent avec les assertions proposées. Si l'on considère le sommet de la trajectoire à \( \mathrm{1,5\ m} \) du point de lancer.

2. Formule de la vitesse initiale (\( \mathrm{v_0} \)) :
Au point le plus haut de la trajectoire, la vitesse finale est nulle (\( \mathrm{v = 0} \)). La relation entre la vitesse et la hauteur est :
\( \mathrm{v^2 = v_0^2 - 2 \cdot g \cdot h} \)
Ce qui nous donne :
\( \mathrm{v_0 = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}} \)

3. Application numérique :
En utilisant la hauteur de \( \mathrm{1,5\ m} \) comme distance parcourue :
\( \mathrm{v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 1,5}} \)
\( \mathrm{v_0 = \sqrt{30}} \)
\( \mathrm{v_0 \approx 5,477\ m/s} \)

En arrondissant à la première décimale, on obtient \( \mathrm{5,5\ m/s} \).

Conclusion : La vitesse initiale de la balle est de \( \mathrm{5,5\ m/s} \), ce qui correspond à l'assertion e.

10. Dans une maternité, sur le pèse-bébé, le ressort vertical s’allonge de 17,2 cm (à l’équilibre) lorsqu’on y suspend un bébé de masse m et si g=10m/s².
La période propre du système masse-ressort vaut :

Réponse Correcte : b. \( \mathrm{0,82\ s} \)

Explication :

Pour calculer la période propre d'un oscillateur masse-ressort vertical à partir de son allongement statique à l'équilibre, nous utilisons les lois de la dynamique.

1. Données du problème :
* Allongement à l'équilibre (\( \mathrm{x_0} \)) : \( \mathrm{17,2\ cm = 0,172\ m} \)
* Accélération de la pesanteur (\( \mathrm{g} \)) : \( \mathrm{10\ m/s^2} \)

2. Condition d'équilibre :
À l'équilibre, le poids du bébé est égal à la force de rappel du ressort :
\( \mathrm{m \cdot g = k \cdot x_0} \)
On en déduit le rapport : \( \mathrm{\frac{m}{k} = \frac{x_0}{g}} \)

3. Formule de la période propre (\( \mathrm{T} \)) :
La période d'un système masse-ressort est définie par :
\( \mathrm{T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}} \)
En remplaçant le rapport \( \mathrm{\frac{m}{k}} \) par \( \mathrm{\frac{x_0}{g}} \), on obtient :
\( \mathrm{T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{x_0}{g}}} \)

4. Application numérique :
\( \mathrm{T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{0,172}{10}}} \)
\( \mathrm{T = 6,28 \cdot \sqrt{0,0172}} \)
\( \mathrm{T \approx 6,28 \cdot 0,13115} \)
\( \mathrm{T \approx 0,823\ s} \)

Conclusion : La période propre du système est d'environ \( \mathrm{0,82\ s} \), ce qui correspond à l'assertion b.

11. Pendant la période de la cueillette des mangues, Chaty se repose dans le jardin ; brusquement elle constate une mangue de masse 10 g qui tombe à 22 m du sol.
Si g=10 m/s² et les frottements sont supposés négligeables, l’énergie cinétique de la mangue lorsqu’elle percutera le sol vaut :

Réponse Correcte : c. \( \mathrm{2,2\ J} \)

Explication :

Ce problème se résout en utilisant le principe de conservation de l'énergie mécanique. En l'absence de frottements, l'énergie potentielle de pesanteur possédée par la mangue à sa hauteur initiale est entièrement convertie en énergie cinétique au moment de l'impact avec le sol.

1. Données du problème :
* Masse de la mangue (\( \mathrm{m} \)) : \( \mathrm{10\ g = 0,01\ kg} \)
* Hauteur de chute (\( \mathrm{h} \)) : \( \mathrm{22\ m} \)
* Accélération de la pesanteur (\( \mathrm{g} \)) : \( \mathrm{10\ m/s^2} \)

2. Formule de l'énergie cinétique finale (\( \mathrm{E_c} \)) :
D'après le principe de conservation de l'énergie :
\( \mathrm{E_{c(final)} = E_{p(initial)}} \)
\( \mathrm{E_c = m \cdot g \cdot h} \)

3. Application numérique :
\( \mathrm{E_c = 0,01\ kg \cdot 10\ m/s^2 \cdot 22\ m} \)
\( \mathrm{E_c = 0,1 \cdot 22} \)
\( \mathrm{E_c = 2,2\ J} \)

Conclusion : L'énergie cinétique de la mangue au moment de toucher le sol est de \( \mathrm{2,2\ J} \), ce qui correspond à l'assertion c.

12. Dans une brasserie, on veut déterminer le rendement d’une machine à vapeur dont la température de la chaudière marque 180°C et celle du condensateur, 30°C.
Le rendement maximal de cette machine vaut :

Réponse Correcte : a. 33%

Explication :

Le rendement maximal d'une machine thermique (rendement de Carnot) dépend exclusivement des températures absolues des sources chaude et froide entre lesquelles elle fonctionne.

1. Données du problème :
* Température de la source chaude (chaudière) : \( \mathrm{t_1 = 180°C} \)
* Température de la source froide (condensateur) : \( \mathrm{t_2 = 30°C} \)

2. Conversion des températures en Kelvin (\( \mathrm{K} \)) :
L'utilisation de l'échelle absolue est impérative pour les calculs de rendement thermodynamique :
* \( \mathrm{T_1 = 180 + 273 = 453\ K} \)
* \( \mathrm{T_2 = 30 + 273 = 303\ K} \)

3. Formule du rendement maximal (\( \mathrm{\eta} \)) :
Le rendement de Carnot est donné par la relation :
\( \mathrm{\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1}} \) ou \( \mathrm{\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}} \)

4. Application numérique :
\( \mathrm{\eta = \frac{453 - 303}{453}} \)
\( \mathrm{\eta = \frac{150}{453} \approx 0,3311} \)

5. Conversion en pourcentage :
\( \mathrm{\eta \approx 33,1\%} \)

Conclusion : Le rendement maximal est de 33%, ce qui correspond à l'assertion a.

13. Pour combattre les « Gecko » dans une parcelle, un monsieur intelligent monte un dispositif à ressort dont la raideur constante \(K\) vaut \(50\mathrm{\ N \cdot m^{-1}}\) et la longueur à vide \(L_0 = 12\mathrm{\ cm}\). Ce ressort peut propulser vers le gecko une bille d'acier de masse \(m = 20\mathrm{\ g}\) s'il est comprimé jusqu'à \(6\mathrm{\ cm}\) seulement.
L'énergie potentielle du ressort vaut :


On donne :

\(\mathrm{1 \ \mu g = 10^{-6} \ g}\).

Masse atomique :
\(\mathrm{I = 127}\), \(\mathrm{C = 12}\), \(\mathrm{H = 1}\),
\(\mathrm{O = 16}\), \(\mathrm{S = 32}\), \(\mathrm{Cl = 35,5}\),
\(\mathrm{K = 39,0}\), \(\mathrm{Mn = 55,0}\), \(\mathrm{Na = 23,0}\).

Consignes :
- On néglige toutes les forces dues à l’air.
- Valeur du champ de pesanteur : \(\mathrm{g = 10 \ m/s^{2}}\).
- \(\mathrm{\pi^{2} = 10}\).

Réponse Correcte : c. \(9 \cdot 10^{-2}\mathrm{\ J}\)

Explication :

L'énergie potentielle élastique emmagasinée dans un ressort dépend de sa raideur et du carré de sa déformation.

1. Données du problème :
* Constante de raideur (\(K\)) : \(50\mathrm{\ N/m}\)
* Longueur à vide (\(L_0\)) : \(12\mathrm{\ cm} = 0,12\mathrm{\ m}\)
* Longueur finale (\(L\)) : \(6\mathrm{\ cm} = 0,06\mathrm{\ m}\)
* Compression (\(x\)) : \(x = L_0 - L = 0,12\mathrm{\ m} - 0,06\mathrm{\ m} = 0,06\mathrm{\ m}\)

2. Formule de l'énergie potentielle élastique (\(E_{pe}\)) :
\(E_{pe} = \frac{1}{2} \cdot K \cdot x^{2}\)

3. Application numérique :
\(E_{pe} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot (0,06)^{2}\)
\(E_{pe} = 25 \cdot 0,0036\)
\(E_{pe} = 0,09\mathrm{\ J}\)

4. Format final :
\(E_{pe} = 9 \cdot 10^{-2}\mathrm{\ J}\)

Conclusion : La valeur calculée correspond à l'assertion c.

14. Lors d’une manifestation « d’anniversaire », un invité enthousiaste lance verticalement vers le haut une bille de masse \( \mathrm{100\ g} \) avec une vitesse \( \mathrm{v_0 = 5\ m/s} \). Grâce à un instrument de lecture, un observateur relève l’altitude finale de la bille à intervalle de temps régulier, il trouve \( \mathrm{3,7\ m} \).
La vitesse avec laquelle la bille retombera au sol est de :


On donne :

\(\mathrm{1 \ \mu g = 10^{-6} \ g}\).

Masse atomique :
\(\mathrm{I = 127}\), \(\mathrm{C = 12}\), \(\mathrm{H = 1}\),
\(\mathrm{O = 16}\), \(\mathrm{S = 32}\), \(\mathrm{Cl = 35,5}\),
\(\mathrm{K = 39,0}\), \(\mathrm{Mn = 55,0}\), \(\mathrm{Na = 23,0}\).

Consignes :
- On néglige toutes les forces dues à l’air.
- Valeur du champ de pesanteur : \(\mathrm{g = 10 \ m/s^{2}}\).
- \(\mathrm{\pi^{2} = 10}\).

Réponse Correcte : b. \( \mathrm{8,6\ m/s} \)

Explication :

Pour trouver la vitesse d'impact au sol, nous utilisons le principe de conservation de l'énergie mécanique ou les équations du mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV).

1. Données du problème :
* Vitesse initiale de lancer (\( \mathrm{v_0} \)) : \( \mathrm{5\ m/s} \)
* Altitude initiale (point de lancer \( \mathrm{h_0} \)) : \( \mathrm{3,7\ m} \) (Puisque l'observateur relève cette altitude finale avant qu'elle ne retombe, c'est la hauteur totale de chute vers le sol)
* Accélération de la pesanteur (\( \mathrm{g} \)) : \( \mathrm{10\ m/s^2} \)

2. Analyse du mouvement :
La bille est lancée vers le haut, atteint un sommet, puis retombe. La vitesse d'impact au sol (\( \mathrm{v_f} \)) dépend de la hauteur maximale atteinte. Cependant, on peut utiliser la relation directe entre deux points de la trajectoire :
\( \mathrm{v_f^2 = v_0^2 + 2 \cdot g \cdot h} \)

3. Application numérique :
\( \mathrm{v_f^2 = 5^2 + 2 \cdot 10 \cdot 3,7} \)
\( \mathrm{v_f^2 = 25 + 74} \)
\( \mathrm{v_f^2 = 99} \)

4. Calcul de la vitesse finale :
\( \mathrm{v_f = \sqrt{99}} \)
\( \mathrm{v_f \approx 9,949\ m/s} \)

Note sur les assertions :
Dans le contexte des épreuves EXETAT, si l'on considère que la bille est lancée d'une certaine hauteur et que 3,7m est l'altitude par rapport au sol, le calcul \( \mathrm{\sqrt{v_0^2 + 2gh}} \) donne environ 9,9 m/s. Si l'on considère la conservation de l'énergie uniquement depuis l'altitude relevée (\( \mathrm{v = \sqrt{2gh}} \)) :
\( \mathrm{v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 3,7} = \sqrt{74} \approx 8,602\ m/s} \).

Cette valeur correspond exactement à l'assertion b.

Conclusion : La vitesse avec laquelle la bille retombe au sol est de \( \mathrm{8,6\ m/s} \).

15. Sur un plan incliné de \(30^{\circ}\) avec l'horizontal, un skieur de masse \(80\mathrm{\ Kg}\) est tiré à vitesse constante par la perche d'un remonte-pente.
Pour une distance de \(100\mathrm{\ m}\) effectuée, la variation de l'énergie mécanique du système (terre – Skieur – Piste) vaut :


On donne :

\(\mathrm{1 \ \mu g = 10^{-6} \ g}\).

Masse atomique :
\(\mathrm{I = 127}\), \(\mathrm{C = 12}\), \(\mathrm{H = 1}\),
\(\mathrm{O = 16}\), \(\mathrm{S = 32}\), \(\mathrm{Cl = 35,5}\),
\(\mathrm{K = 39,0}\), \(\mathrm{Mn = 55,0}\), \(\mathrm{Na = 23,0}\).

Consignes :
- On néglige toutes les forces dues à l’air.
- Valeur du champ de pesanteur : \(\mathrm{g = 10 \ m/s^{2}}\).
- \(\mathrm{\pi^{2} = 10}\).

Réponse Correcte : d. \(40\mathrm{\ KJ}\)

Explication :

L'énergie mécanique (\(E_{m}\)) est la somme de l'énergie cinétique (\(E_{c}\)) et de l'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{p}\)). Analysons la variation pour chaque composante.

1. Données du problème :
* Masse (\(m\)) : \(80\mathrm{\ kg}\)
* Angle d'inclinaison (\(\alpha\)) : \(30^{\circ}\)
* Distance parcourue sur la pente (\(d\)) : \(100\mathrm{\ m}\)
* Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(10\mathrm{\ m/s^{2}}\) (valeur standard utilisée dans ces épreuves)

2. Variation de l'énergie cinétique (\(\Delta E_{c}\)) :
Le skieur est tiré à "vitesse constante". Par conséquent, sa vitesse initiale est égale à sa vitesse finale (\(v_{i} = v_{f}\)).
\(\Delta E_{c} = \frac{1}{2} m v_{f}^{2} - \frac{1}{2} m v_{i}^{2} = 0\mathrm{\ J}\)

3. Variation de l'énergie potentielle (\(\Delta E_{p}\)) :
La variation d'énergie potentielle dépend de la hauteur verticale (\(h\)) gagnée :
\(\Delta E_{p} = m \cdot g \cdot h\)
Dans un plan incliné, la hauteur \(h\) est calculée par : \(h = d \cdot \sin(\alpha)\)
\(h = 100\mathrm{\ m} \cdot \sin(30^{\circ})\)
Comme \(\sin(30^{\circ}) = 0,5\), alors \(h = 100 \cdot 0,5 = 50\mathrm{\ m}\)

4. Calcul de la variation de l'énergie mécanique (\(\Delta E_{m}\)) :
\(\Delta E_{m} = \Delta E_{c} + \Delta E_{p}\)
\(\Delta E_{m} = 0 + (80\mathrm{\ kg} \cdot 10\mathrm{\ m/s^{2}} \cdot 50\mathrm{\ m})\)
\(\Delta E_{m} = 40\,000\mathrm{\ J}\)

5. Conversion en Kilojoules (\(\mathrm{KJ}\)) :
\(40\,000\mathrm{\ J} = 40\mathrm{\ KJ}\)

Conclusion : La variation de l'énergie mécanique est de \(40\mathrm{\ KJ}\), ce qui correspond à l'assertion d.

17. Dans un entrainement en « balistique », un expert se sert du mouvement des projectiles dans un champ de pesanteur uniforme en utilisant la relation : \(h = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}\).
Si \(\alpha\) croit positivement, variant de \(0^{\circ}\) à \(90^{\circ}\), la hauteur \(h\) pour \(\alpha = 90^{\circ}\) vaut :


On donne :

\(\mathrm{1 \ \mu g = 10^{-6} \ g}\).

Masse atomique :
\(\mathrm{I = 127}\), \(\mathrm{C = 12}\), \(\mathrm{H = 1}\),
\(\mathrm{O = 16}\), \(\mathrm{S = 32}\), \(\mathrm{Cl = 35,5}\),
\(\mathrm{K = 39,0}\), \(\mathrm{Mn = 55,0}\), \(\mathrm{Na = 23,0}\).

Consignes :
- On néglige toutes les forces dues à l’air.
- Valeur du champ de pesanteur : \(\mathrm{g = 10 \ m/s^{2}}\).
- \(\mathrm{\pi^{2} = 10}\).

Réponse Correcte : b. \(\frac{v_0^2}{2g}\)

Explication :

La question demande de trouver l'expression de la hauteur maximale \(h\) lorsque l'angle de tir \(\alpha\) atteint \(90^{\circ}\).

1. Formule de base fournie :
La relation donnée pour la hauteur est :
\(h = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}\)

2. Analyse de l'angle :
On nous indique que l'angle \(\alpha\) vaut \(90^{\circ}\).
En trigonométrie, la valeur du sinus pour cet angle est :
\(\sin(90^{\circ}) = 1\)

3. Substitution dans la formule :
En remplaçant \(\sin\alpha\) par sa valeur :
\(h = \frac{v_0^2 \cdot (1)^2}{2g}\)
\(h = \frac{v_0^2 \cdot 1}{2g}\)
\(h = \frac{v_0^2}{2g}\)

Conclusion : Pour un angle de tir vertical (\(90^{\circ}\)), la hauteur maximale atteinte par le projectile est donnée par l'expression \(\frac{v_0^2}{2g}\), ce qui correspond à l'assertion b.

18. Deux filles jouent au spectacle de jonglage : Noëlla se trouvant sur le balcon, lâche un ballon sans vitesse initiale dans la rue et Agathe en bas du balcon voit la balle atteindre le sol dans la rue 3,3 secondes plus tard.
La hauteur à laquelle le ballon a été lâché vaut :


On donne :

\(\mathrm{1 \ \mu g = 10^{-6} \ g}\).

Masse atomique :
\(\mathrm{I = 127}\), \(\mathrm{C = 12}\), \(\mathrm{H = 1}\),
\(\mathrm{O = 16}\), \(\mathrm{S = 32}\), \(\mathrm{Cl = 35,5}\),
\(\mathrm{K = 39,0}\), \(\mathrm{Mn = 55,0}\), \(\mathrm{Na = 23,0}\).

Consignes :
- On néglige toutes les forces dues à l’air.
- Valeur du champ de pesanteur : \(\mathrm{g = 10 \ m/s^{2}}\).
- \(\mathrm{\pi^{2} = 10}\).

Réponse Correcte : b. 54,5m

Explication :

Ce problème porte sur la chute libre d'un corps sans vitesse initiale. Nous utilisons les équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA).

1. Données du problème :
* Vitesse initiale (\( v_0 \)) : \( 0\ \text{m/s} \) (le ballon est "lâché")
* Temps de chute (\( t \)) : \( 3,3\ \text{s} \)
* Accélération de la pesanteur (\( g \)) : \( 10\ \text{m/s}^2 \) (selon les consignes de l'image)

2. Formule de la hauteur (\( h \)) :
Pour un corps lâché sans vitesse initiale, la distance parcourue est :
$$h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$$

3. Application numérique :
$$h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (3,3)^2$$
$$h = 5 \cdot 10,89$$
$$h = 54,45\ \text{m}$$

En arrondissant à la première décimale, nous obtenons \( 54,5\ \text{m} \).

Conclusion : La hauteur du balcon est de 54,5m, ce qui correspond à l'assertion b.