1.L’ellipse d’équation : \[ 25y^2 + 9x^2 - 225 = 0 \] est rapportée à ses axes de symétrie.
La longueur de son latus rectum vaut :
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2.L’ellipse d’équation : \[ 25y^2 + 9x^2 - 225 = 0 \] est rapportée à ses axes de symétrie.
Les foyers de cette ellipse ont pour coordonnées :
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3.L’ellipse d’équation : \[ 25y^2 + 9x^2 - 225 = 0 \] est rapportée à ses axes de symétrie.
Les sommets de cette ellipse ont pour coordonnées :
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4.Le graphique \((C)\) de la conique d’équation : \[ x^2 + 4xy - 5y^2 + x - 2y + 3 = 0 \] admet une tangente \((t)\) au point \(P\) d’abscisse nulle et d’ordonnée positive. L’équation de cette tangente est :
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5.Soit la fonction \(f\) définie par : \[ f(x) = \frac{2 - x^2}{x^2 + 3x^2 + 2x} \] On sait que \(f\) est intégrable sur l’intervalle \(I = [3,\ 4]\). La valeur de l’intégrale \(\displaystyle \int_3^4 f(x)\ dx\) est :
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6.Soit la fonction \(f\) définie par : \[ f(x) = x \cdot \sin\left(\frac{5}{x}\right) \] On cherche la limite de \(f(x)\) lorsque \(x \to 0\).
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7.La fonction \(f\) est définie par : \[ f(x) = e^{3x} \cos(2x) \] Elle est développable en série de Maclaurin. Les trois premiers termes non nuls de ce développement sont:
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8.La conique d’équation : \[ 2x^2 + 4xy - y^2 + 2y - 2x - 1 = 0 \] admet deux axes de symétrie. Les équations de ces axes sont :
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9.La conique d’équation : \[ y^2 + 2xy + 2x^2 + 4x + 3 = 0 \] représente une :
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10.La conique d’équation : \[ y^2 + 2xy - 3y + 2x - 4 = 0 \] admet deux asymptotes. Les équations de ces asymptotes sont :
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11.La conique d’équation : \[ y^2 - x^2 + 2y - x - 3 = 0 \] admet une normale au point \(T(0,\ -3)\). L’équation de cette normale est :
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12.Le centre de la famille de coniques d’équation : \[ y^2 + \lambda xy + x^2 + y - 3x + 1 = 0 \] est situé sur la droite : \[ y - x + 1 = 0 \] La valeur de \(\lambda\) est :
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13.On donne les points A(2,3) et B(3,1). Le point P(x,y) se déplace de telle sorte que la pente de la droite passant par les points P et A soit égale à l’opposé de l’inverse de la pente de celle qui passe par les points P et B. Le point P détermine un lieu géométrique dont l’équation est :
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14.La droite \((d)\) d’équation : \[ y + x - 1 = 0 \] admet un pôle \(P\) par rapport à la conique : \[ y^2 + x^2 + xy + 4 = 0 \] Les coordonnées de \(P\) sont :
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15.Le cercle \((C)\) passe par l’intersection des cercles : \[ (C_1)\ :\ y^2 + x^2 + 2y - x + 1 = 0 \quad \text{et} \quad (C_2)\ :\ y^2 + x^2 - 3y + 2x - 2 = 0 \] Son centre est situé sur la droite : \[ y - 2x = 0 \] L’équation du cercle \((C)\) est :
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16.L’ensemble des solutions de l’équation : \[ 2^{4x} - 3 \cdot 2^{2x} + 2 = 0 \] est :
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17. Au point \(P(0,\ -3)\), la droite \(y - 2x + 3 = 0\) est tangente au cercle \((C)\) qui passe par le point \(A(-2,\ 1)\). L’équation du cercle \((C)\) est :
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18. La fonction \(f\) est définie par : \[ f(x) = \ln x \] Elle admet \(n\) dérivées successives, notées : \[ f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n},\quad n \in \mathbb{N}^* \] Pour \(n = 54\), la valeur de \(f^{(54)}(x)\) est :
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19. La courbe \((C)\) est définie par les équations paramétriques : \[ x = \frac{3}{t(t - 1)},\quad y = \frac{3}{t - 1} \] où \(t\) est un paramètre réel. L’équation cartésienne de la courbe \((C)\) est:
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20. La droite \((d)\) passe par l’intersection des droites : \[ (d_1)\ :\ y - 2x + 1 = 0 \quad \text{et} \quad (d_2)\ :\ 2y + x - 2 = 0 \] et ses coordonnées à l’origine sont sur la droite : \[ y + x = 0 \] L’équation de la droite \((d)\) est :
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21. Dans l’ensemble \(E = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\), on définit une loi interne « T » par : \[ x \mathbin{T} y = xy + 2(x + y + 1) \] où \(x,\ y \in E\), \(e\) est l’élément neutre de \(E\), \(x'\) est le symétrique de \(-\frac{1}{2}\), et \(x''\) est le symétrique de \(2\). Le rapport \(\dfrac{e - x''}{x'}\) vaut :
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22. L’ellipse d’équation : \[ 16y^2 + 9x^2 - 144 = 0 \] engendre un volume \(V\) lorsqu’elle tourne autour de l’axe des abscisses. Le volume \(V\) vaut :
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23. On considère l’équation : \[ Z^3 + 2(1 + i)Z^2 + (14 + 35i)Z + 123 + 3i = 0 \] admettant trois racines distinctes dans \(\mathbb{C}\), dont l’une est \(Z_1 = 3i\). Les points \(P_1,\ P_2,\ P_3\) sont les images des racines \(Z_1,\ Z_2,\ Z_3\), avec : \[ \text{Re}(Z_1) < \text{Re}(Z_2) < \text{Re}(Z_3) \] La médiatrice du segment \(P_1P_3\) a pour équation :
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24. On considère l’équation : \[ Z^3 + 2(1 + i)Z^2 + (14 + 35i)Z + 123 + 3i = 0 \] admettant trois racines distinctes dans \(\mathbb{C}\), dont l’une est \(Z_1 = 3i\). Les points \(P_1,\ P_2,\ P_3\) sont les images des racines \(Z_1,\ Z_2,\ Z_3\), avec : \[ \text{Re}(Z_1) < \text{Re}(Z_2) < \text{Re}(Z_3) \]
Le point \(P_1\) est à la distance \(d\) du point \(P_2\). La distance \(d\) vaut :
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25. On considère l’équation : \[ Z^3 + 2(1 + i)Z^2 + (14 + 35i)Z + 123 + 3i = 0 \] admettant trois racines distinctes dans \(\mathbb{C}\), dont l’une est \(Z_1 = 3i\). Les points \(P_1,\ P_2,\ P_3\) sont les images des racines \(Z_1,\ Z_2,\ Z_3\), avec : \[ \text{Re}(Z_1) < \text{Re}(Z_2) < \text{Re}(Z_3) \].rapport : \[ \frac{Z_2 + Z_3}{Z_1} \] vaut :
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