Exetat de mathématiques 2017-Scientifiques
Question 1
1.Soit la loi \(*\) définie dans \(\mathbb{R}\) par : \[ x * y = 2xy + 4(x + y) + 6. \] L'élément symétrique de \(1\) de cette loi est :
Pour parler d’\emph{élément symétrique} de \(1\) pour la loi \(*\), on raisonne comme dans un groupe : on cherche d’abord l’élément neutre \(e\), puis on trouve \(y\) tel que : \[ 1 * y = e. \] \bigskip \textbf{Étape 1 : Recherche de l’élément neutre \(e\)} L’élément neutre \(e\) vérifie, pour tout réel \(x\) : \[ x * e = x. \] Or, par définition : \[ x * e = 2xe + 4(x + e) + 6. \] On impose : \[ 2xe + 4(x + e) + 6 = x \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}. \] On développe : \[ 2xe + 4x + 4e + 6 = x. \] On regroupe les termes en \(x\) et les constantes : - Coefficient de \(x\) : \(2e + 4\), - Partie constante : \(4e + 6\). Pour que l’égalité soit vraie pour tout \(x\), il faut : \[ \begin{cases} 2e + 4 = 1, \\ 4e + 6 = 0. \end{cases} \] On résout la deuxième équation : \[ 4e + 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4e = -6 \quad \Longrightarrow \quad e = -\dfrac{3}{2}. \] Vérification dans la première : \[ 2e + 4 = 2\left(-\dfrac{3}{2}\right) + 4 = -3 + 4 = 1, \] ce qui est correct. Donc l’élément neutre est : \[ \boxed{e = -\dfrac{3}{2}}. \] \bigskip \textbf{Étape 2 : Élément symétrique de \(1\)} L’élément symétrique de \(1\) est un réel \(y\) tel que : \[ 1 * y = e = -\dfrac{3}{2}. \] On calcule \(1 * y\) avec la loi donnée : \[ 1 * y = 2 \cdot 1 \cdot y + 4(1 + y) + 6 = 2y + 4 + 4y + 6 = 6y + 10. \] On impose : \[ 6y + 10 = -\dfrac{3}{2}. \] On résout cette équation : \[ 6y = -\dfrac{3}{2} - 10 = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{20}{2} = -\dfrac{23}{2}. \] Donc : \[ y = -\dfrac{23}{2} \cdot \dfrac{1}{6} = -\dfrac{23}{12}. \] \bigskip \textbf{Conclusion :} L’élément symétrique de \(1\) pour la loi \(*\) est : \[ \boxed{-\dfrac{23}{12}} \] La bonne réponse est donc : \[\boxed{\text{b. } -\dfrac{23}{12}} \]
2.Soient définis l'homomorphisme \(h\) entre les groupes \((\mathbb{R}^+, \cdot)\) et \((\mathbb{R}, +)\) par : \[ h(x) = \log_a x,\quad a \text{ un réel positif}. \] Le noyau de l'homomorphisme \(h\) équivaut à :
On considère l’application : \[ h : (\mathbb{R}^+, \cdot) \longrightarrow (\mathbb{R}, +), \quad h(x) = \log_a x, \] où \(a > 0\) (et \(a \neq 1\) pour que le logarithme soit bien défini comme homomorphisme). \bigskip \textbf{1. Rappel : définition du noyau d’un homomorphisme} Si \[ h : (G, \ast) \to (H, \circ) \] est un homomorphisme de groupes, alors son \textbf{noyau} est l’ensemble des éléments de \(G\) qui sont envoyés sur l’élément neutre de \(H\) : \[ \ker(h) = \{x \in G \mid h(x) = e_H\}, \] où \(e_H\) est l’élément neutre du groupe d’arrivée. Ici : \[ G = (\mathbb{R}^+, \cdot), \quad H = (\mathbb{R}, +). \] \begin{itemize} \item \textbf{Élément neutre de \((\mathbb{R}^+, \cdot)\)} : \(e_G = 1\). \item \textbf{Élément neutre de \((\mathbb{R}, +)\)} : \(e_H = 0\). \end{itemize} Donc, par définition : \[ \ker(h) = \{x \in \mathbb{R}^+ \mid h(x) = 0\}. \] \bigskip \textbf{2. Calcul du noyau} On cherche les \(x > 0\) tels que : \[ h(x) = \log_a x = 0. \] On utilise la propriété fondamentale du logarithme : \[ \log_a x = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = a^0 = 1. \] Donc : \[ \ker(h) = \{1\}. \] \bigskip \textbf{Conclusion :} Le noyau de l’homomorphisme \(h\) est : \[ \boxed{\ker(h) = \{1\}} \] La bonne réponse est donc : \[ \boxed{\text{c. } \{1\}} \]
3.Soient \(Z_0, Z_1, Z_2\) les racines cubiques du nombre complexe \(1\). L’expression \(Z_0^2 + Z_1^2 + Z_2^2\) correspond à :
On considère les racines cubiques de \(1\), c’est-à-dire les solutions de : \[ z^3 = 1. \] \textbf{Étape 1 : Les racines cubiques de 1} On peut écrire \(1\) sous forme exponentielle : \[ 1 = e^{i \cdot 2k\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Les racines cubiques sont alors : \[ Z_k = e^{i\frac{2k\pi}{3}}, \quad k = 0,1,2. \] Explicitement : \[ Z_0 = e^{i\cdot 0} = 1, \] \[ Z_1 = e^{i\frac{2\pi}{3}} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \] \[ Z_2 = e^{i\frac{4\pi}{3}} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}. \] \bigskip \textbf{Étape 2 : Utiliser une propriété algébrique} Les nombres \(Z_0, Z_1, Z_2\) sont les racines du polynôme : \[ z^3 - 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (z - 1)(z^2 + z + 1) = 0. \] Les racines sont donc : \[ Z_0 = 1,\quad Z_1,\quad Z_2, \] où \(Z_1\) et \(Z_2\) sont les racines de : \[ z^2 + z + 1 = 0. \] La somme des trois racines de \(z^3 - 1 = 0\) vaut (par la formule de Viète) : \[ Z_0 + Z_1 + Z_2 = 0. \] \bigskip \textbf{Étape 3 : Calcul de \(Z_0^2 + Z_1^2 + Z_2^2\)} On utilise l’identité : \[ Z_0^2 + Z_1^2 + Z_2^2 = (Z_0 + Z_1 + Z_2)^2 - 2(Z_0Z_1 + Z_1Z_2 + Z_2Z_0). \] Or on sait que : \[ Z_0 + Z_1 + Z_2 = 0. \] Donc : \[ (Z_0 + Z_1 + Z_2)^2 = 0^2 = 0. \] D’autre part, toujours par Viète, pour le polynôme \(z^3 - 1 = 0\) écrit sous la forme \(z^3 + 0z^2 + 0z - 1 = 0\), on a : \[ Z_0Z_1 + Z_1Z_2 + Z_2Z_0 = 0. \] Ainsi : \[ Z_0^2 + Z_1^2 + Z_2^2 = 0 - 2 \cdot 0 = 0. \] \bigskip \textbf{Conclusion :} \[ \boxed{Z_0^2 + Z_1^2 + Z_2^2 = 0} \] La bonne réponse est donc : \[ \boxed{\text{e . } 0} \]
4.Soit l'équation complexe : \[ Z^3 + 4(-1 + i)Z^2 + (2 - 9i)Z + 1 + 5i = 0, \] où \(Z_1, Z_2, Z_3\) sont les solutions. La somme des carrés des racines \(Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2\) vaut :
On note : \[ Z_1, Z_2, Z_3 \text{ les racines de } P(Z) = Z^3 + aZ^2 + bZ + c, \] avec : \[ a = 4(-1 + i) = -4 + 4i,\quad b = 2 - 9i,\quad c = 1 + 5i. \] On cherche : \[ S = Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2. \] \textbf{Astuce :} On utilise l’identité : \[ Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 = (Z_1 + Z_2 + Z_3)^2 - 2(Z_1Z_2 + Z_2Z_3 + Z_3Z_1). \] Par les formules de Viète : \[ Z_1 + Z_2 + Z_3 = -a = 4 - 4i, \] \[ Z_1Z_2 + Z_2Z_3 + Z_3Z_1 = b = 2 - 9i. \] On calcule : \[ S = (4 - 4i)^2 - 2(2 - 9i). \] \textbf{Calcul de } \((4 - 4i)^2\) : \[ (4 - 4i)^2 = 16 - 32i + 16i^2 = 16 - 32i - 16 = -32i. \] \textbf{Calcul de } \(2(2 - 9i) = 4 - 18i\). Donc : \[ S = -32i - (4 - 18i) = -32i - 4 + 18i = -4 - 14i. \] \bigskip \textbf{Conclusion :} \[ \boxed{Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 = -4 - 14i} \] La bonne réponse est donc : \[ \boxed{\text{d. } -4 - 14i}\]
5.Le réel \(x\) est tel que \[ x^{\log_{7} x} = x + 2. \] Le réel \(x\) vaut :
On cherche les réels \(x\) vérifiant
\[
x^{\log_7 x} = x + 2,
\]
avec la condition de définition
\[
x > 0, \quad x \neq 1
\]
(car \(x^{\log_7 x}\) et \(\log_7 x\) doivent être définis).
\bigskip
\textbf{1. Transformation logarithmique}
On suppose \(x > 0\), \(x \neq 1\).
On applique le logarithme en base \(x\) aux deux membres (possible puisque \(x>0\) et \(x\neq 1\)) :
\[
\log_x\left(x^{\log_7 x}\right) = \log_x(x+2).
\]
Or
\[
\log_x\left(x^{\log_7 x}\right) = \log_7 x
\]
(car \(\log_x(x^a) = a\)).
Donc l’équation devient
\[
\log_7 x = \log_x(x+2).
\]
On utilise le changement de base :
\[
\log_7 x = \frac{\ln x}{\ln 7},
\qquad
\log_x(x+2) = \frac{\ln(x+2)}{\ln x}.
\]
On obtient :
\[
\frac{\ln x}{\ln 7} = \frac{\ln(x+2)}{\ln x}.
\]
On croise :
\[
(\ln x)^2 = (\ln 7)\,\ln(x+2).
\]
Posons
\[
u = \ln x.
\]
Alors \(x = e^u\) et l’équation devient
\[
u^2 = (\ln 7)\,\ln(e^u + 2).
\]
C’est une \textbf{équation transcendante} (elle ne se réduit pas à un polynôme simple), elle ne se résout pas algébriquement avec des méthodes élémentaires. On est donc amené à chercher une solution numérique et/ou à tester les valeurs proposées.
\bigskip
\textbf{2. Test des valeurs proposées}
On définit
\[
f(x) = x^{\log_7 x} - (x+2).
\]
On teste chaque option (en notant que \(\log_7 x = \dfrac{\ln x}{\ln 7}\)).
\medskip
\textbf{a) } \(x = \dfrac{1}{3}\)
\[
\log_7\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\ln(1/3)}{\ln 7} < 0.
\]
Alors
\[
\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_7(1/3)} = 3^{-\log_7(1/3)} \approx 1{,}86,
\]
tandis que
\[
x + 2 = \frac{1}{3} + 2 \approx 2{,}33.
\]
Donc ce n’est pas solution.
\medskip
\textbf{b) } \(x = \dfrac{1}{2}\)
\[
\log_7\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\ln(1/2)}{\ln 7} < 0,
\]
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_7(1/2)} = 2^{-\log_7(1/2)} \approx 1{,}28,
\]
\[
x + 2 = \frac{1}{2} + 2 = 2{,}5.
\]
Pas solution.
\medskip
\textbf{c) } \(x = \dfrac{3}{2}\)
\[
\log_7\left(\frac{3}{2}\right) \approx 0{,}208,
\quad
\left(\frac{3}{2}\right)^{0{,}208} \approx 1{,}09,
\quad
x + 2 = \frac{3}{2} + 2 = 3{,}5.
\]
Pas solution.
\medskip
\textbf{d) } \(x = 2\)
\[
\log_7 2 \approx 0{,}356,
\quad
2^{0{,}356} \approx 1{,}28,
\quad
x + 2 = 4.
\]
Pas solution.
\medskip
\textbf{e) } \(x = 3\)
\[
\log_7 3 \approx 0{,}565,
\quad
3^{0{,}565} \approx 1{,}86,
\quad
x + 2 = 5.
\]
Pas solution.
\bigskip
\textbf{3. Existence d’une solution réelle}
On peut étudier rapidement le signe de \(f(x)\) pour voir s’il existe une solution réelle (même si elle n’est pas dans la liste) :
- Pour \(x\) proche de \(0^+\), on a \(\log_7 x \to -\infty\) et donc \(x^{\log_7 x} \to +\infty\), alors que \(x+2 \to 2\). Donc \(f(x) > 0\) pour \(x\) très petit positif.
- Pour des valeurs plus grandes (par exemple \(x = 2, 3, 5\)), on trouve numériquement \(f(x) < 0\).
- Pour \(x\) plus grand (par exemple \(x = 10\)), on trouve \(f(x) > 0\).
On en déduit que l’équation possède bien au moins une solution réelle \(x\) (par continuité de \(f\)), mais \textbf{aucune des valeurs proposées} ne la satisfait exactement.
Un calcul numérique plus précis montre qu’une solution est proche de :
\[
x \approx 8{,}5.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion}
L’équation
\[
x^{\log_7 x} = x + 2
\]
admet une solution réelle \(x \approx 8{,}5\), mais \textbf{aucune} des réponses proposées \(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}, 2, 3\) ne convient.
Mathématiquement, d’après l’énoncé tel qu’il est écrit, \textbf{il n’y a pas de bonne réponse parmi les options}.
6.Soient les réels \(t_1, t_2\) et \(t_3\) tels que : \[ t_1 = \log_b 2,\quad t_2 = \log_b(3^m - 2),\quad t_3 = \log_b(3^m + 2). \] \(t_1, t_2\) et \(t_3\) sont en progression arithmétique lorsque le réel \(m\) vaut :
Condition de progression arithmétique
Trois réels \(t_1, t_2, t_3\) sont en progression arithmétique si et seulement si :
\[
2t_2 = t_1 + t_3.
\]
On applique cette condition avec :
\[
t_1 = \log_b 2,\quad
t_2 = \log_b(3^m - 2),\quad
t_3 = \log_b(3^m + 2).
\]
Donc :
\[
2\log_b(3^m - 2) = \log_b 2 + \log_b(3^m + 2).
\]
\bigskip
\textbf{Utilisation des propriétés des logarithmes}
On utilise :
\[
2\log_b A = \log_b(A^2), \quad
\log_b A + \log_b B = \log_b(AB).
\]
Ainsi :
\[
2\log_b(3^m - 2) = \log_b\big((3^m - 2)^2\big),
\]
\[
\log_b 2 + \log_b(3^m + 2) = \log_b\big(2(3^m + 2)\big).
\]
Donc l’égalité devient :
\[
\log_b\big((3^m - 2)^2\big) = \log_b\big(2(3^m + 2)\big).
\]
Comme la fonction \(\log_b\) (avec \(b>0, b\neq 1\)) est injective, on obtient :
\[
(3^m - 2)^2 = 2(3^m + 2).
\]
\bigskip
\textbf{Résolution de l’équation}
On pose :
\[
X = 3^m,\quad X > 0.
\]
L’équation devient :
\[
(X - 2)^2 = 2(X + 2).
\]
On développe :
\[
X^2 - 4X + 4 = 2X + 4.
\]
On met tout d’un côté :
\[
X^2 - 4X + 4 - 2X - 4 = 0
\quad \Longrightarrow \quad
X^2 - 6X = 0.
\]
On factorise :
\[
X(X - 6) = 0.
\]
Donc :
\[
X = 0 \quad \text{ou} \quad X = 6.
\]
Mais \(X = 3^m > 0\), donc \(X = 0\) est impossible. On garde :
\[
3^m = 6.
\]
On prend le logarithme en base 3 :
\[
m = \log_3 6.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
Le réel \(m\) qui rend \(t_1, t_2, t_3\) en progression arithmétique est :
\[
\boxed{m = \log_3 6}
\]
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{\text{c. } \log_3 6}
\]
7.On considère deux fonctions réelles définies par : \[ f(x) = \left( \frac{x + a + 1}{x + 1} \right)^{x - 1} \quad \text{et} \quad g(x) = \left( \frac{b + \dfrac{1}{x}}{b - \dfrac{1}{x}} \right)^{-x}, \quad \text{avec } a \text{ et } b \text{ des réels.} \] La limite lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(f(x)\) et la limite lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(g(x)\) valent respectivement \[ \frac{1}{\sqrt{e}} \quad \text{et} \quad \frac{1}{e}. \] Dans ces conditions, la somme \(a + b\) vaut :
7.On considère deux fonctions réelles définies par :
\[
f(x) = \left( \frac{x + a + 1}{x + 1} \right)^{x - 1}
\quad \text{et} \quad
g(x) = \left( \frac{b + \dfrac{1}{x}}{b - \dfrac{1}{x}} \right)^{-x},
\quad \text{avec } a \text{ et } b \text{ des réels.}
\]
La limite lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(f(x)\) et la limite lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(g(x)\) valent respectivement
\[
\frac{1}{\sqrt{e}} \quad \text{et} \quad \frac{1}{e}.
\]
Dans ces conditions, la somme \(a + b\) vaut : (EXETAT 2017)
\begin{itemize}
\item[a.] \(2\)
\item[b.] \(\dfrac{3}{2}\)
\item[c.] \(-1\)
\item[d.] \(-\dfrac{3}{2}\)
\item[e.] \(-2\)
\end{itemize}
\bigskip
\textbf{Correction détaillée}
\textbf{1. Étude de la limite de } \(f(x)\)
On a
\[
f(x) = \left( \frac{x + a + 1}{x + 1} \right)^{x - 1}.
\]
On simplifie le quotient :
\[
\frac{x + a + 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) + a}{x + 1} = 1 + \frac{a}{x + 1}.
\]
Donc
\[
f(x) = \left( 1 + \frac{a}{x + 1} \right)^{x - 1}.
\]
On reconnaît une forme classique de type \(\left(1 + \dfrac{u_x}{v_x}\right)^{v_x}\) avec \(u_x \to 0\) et \(v_x \to +\infty\).
On écrit :
\[
\ln f(x) = (x - 1)\,\ln\left(1 + \frac{a}{x + 1}\right).
\]
Pour \(x \to +\infty\), on utilise le développement limité :
\[
\ln(1 + t) \sim t \quad \text{lorsque } t \to 0.
\]
Ici, \(t = \dfrac{a}{x + 1} \to 0\), donc
\[
\ln\left(1 + \frac{a}{x + 1}\right) \sim \frac{a}{x + 1}.
\]
Ainsi,
\[
\ln f(x) \sim (x - 1)\cdot \frac{a}{x + 1}.
\]
On étudie la limite :
\[
\lim_{x \to +\infty} (x - 1)\cdot \frac{a}{x + 1}
= a \cdot \lim_{x \to +\infty} \frac{x - 1}{x + 1}
= a \cdot 1
= a.
\]
Donc
\[
\lim_{x \to +\infty} \ln f(x) = a
\quad \Longrightarrow \quad
\lim_{x \to +\infty} f(x) = e^{a}.
\]
D’après l’énoncé,
\[
\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{1}{\sqrt{e}} = e^{-\frac{1}{2}}.
\]
On en déduit :
\[
e^{a} = e^{-\frac{1}{2}} \quad \Longrightarrow \quad a = -\frac{1}{2}.
\]
\[
\boxed{a = -\dfrac{1}{2}}
\]
\bigskip
\textbf{2. Étude de la limite de } \(g(x)\)
On a :
\[
g(x) = \left( \frac{b + \dfrac{1}{x}}{b - \dfrac{1}{x}} \right)^{-x}.
\]
On simplifie le quotient :
\[
\frac{b + \dfrac{1}{x}}{b - \dfrac{1}{x}}
= \frac{b + \frac{1}{x}}{b - \frac{1}{x}}
= \frac{b\left(1 + \frac{1}{bx}\right)}{b\left(1 - \frac{1}{bx}\right)}
= \frac{1 + \dfrac{1}{bx}}{1 - \dfrac{1}{bx}}.
\]
On pose
\[
t = \frac{1}{bx} \quad \text{(pour } x \to +\infty,\, t \to 0\text{)}.
\]
Alors
\[
\frac{1 + t}{1 - t} = 1 + \frac{2t}{1 - t}.
\]
Pour \(t\) proche de \(0\),
\[
\frac{1 + t}{1 - t} \approx 1 + 2t,
\]
plus rigoureusement :
\[
\ln\left(\frac{1 + t}{1 - t}\right)
= \ln(1 + t) - \ln(1 - t)
\sim t - (-t) = 2t.
\]
Donc, pour \(x\) grand :
\[
\ln\left(\frac{b + \frac{1}{x}}{b - \frac{1}{x}}\right)
\sim 2t = \frac{2}{bx}.
\]
Ainsi,
\[
\ln g(x) = -x \cdot \ln\left( \frac{b + \dfrac{1}{x}}{b - \dfrac{1}{x}} \right)
\sim -x \cdot \frac{2}{bx} = -\frac{2}{b}.
\]
Donc
\[
\lim_{x \to +\infty} \ln g(x) = -\frac{2}{b}
\quad \Longrightarrow \quad
\lim_{x \to +\infty} g(x) = e^{-\frac{2}{b}}.
\]
D’après l’énoncé :
\[
\lim_{x \to +\infty} g(x) = \frac{1}{e} = e^{-1}.
\]
On en déduit :
\[
e^{-\frac{2}{b}} = e^{-1}
\quad \Longrightarrow \quad
-\frac{2}{b} = -1
\quad \Longrightarrow \quad
\frac{2}{b} = 1
\quad \Longrightarrow \quad
b = 2.
\]
\[
\boxed{b = 2}
\]
\bigskip
\textbf{3. Calcul de } \(a + b\)
On a trouvé :
\[
a = -\frac{1}{2}, \quad b = 2.
\]
Donc :
\[
a + b = -\frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{3}{2}.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
\[
\boxed{a + b = \dfrac{3}{2}}
\]
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{\text{b. } \dfrac{3}{2}}
\]
8.Soit la fonction réelle \(f\) définie par \(f(x) = x^{2x}\), et \((C)\) sa courbe représentative. Au point d’abscisse \(1\), l’équation de la tangente à la courbe \((C)\) est :
On cherche l’équation de la tangente à \((C)\) au point d’abscisse \(x = 1\).
Il faut donc :
- la valeur \(f(1)\),
- la dérivée \(f'(x)\),
- puis la pente \(f'(1)\),
- enfin l’équation de la tangente.
\bigskip
\textbf{1. Calcul de \(f(1)\)}
\[
f(x) = x^{2x}.
\]
Pour \(x = 1\) :
\[
f(1) = 1^{2 \cdot 1} = 1^2 = 1.
\]
Donc le point de tangence est :
\[
A(1, 1).
\]
\bigskip
\textbf{2. Calcul de la dérivée \(f'(x)\)}
On écrit \(f(x)\) sous forme exponentielle :
\[
f(x) = x^{2x} = e^{2x \ln x}.
\]
On pose :
\[
u(x) = 2x \ln x \quad \Rightarrow \quad f(x) = e^{u(x)}.
\]
Alors :
\[
f'(x) = u'(x) e^{u(x)} = u'(x) x^{2x}.
\]
Calculons \(u'(x)\) :
\[
u(x) = 2x \ln x.
\]
C’est un produit \(2x \cdot \ln x\). Donc :
\[
u'(x) = 2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2 \ln x + 2.
\]
Donc :
\[
f'(x) = (2 \ln x + 2) x^{2x}.
\]
\bigskip
\textbf{3. Pente de la tangente en \(x = 1\)}
\[
f'(1) = (2 \ln 1 + 2) \cdot 1^{2}
= (2 \cdot 0 + 2) \cdot 1
= 2.
\]
La pente de la tangente en \(x = 1\) est donc :
\[
m = 2.
\]
\bigskip
\textbf{4. Équation de la tangente}
La tangente en \(x = 1\) au point \(A(1,1)\) a pour équation :
\[
y - f(1) = f'(1)(x - 1).
\]
Donc :
\[
y - 1 = 2(x - 1).
\]
On développe :
\[
y - 1 = 2x - 2
\quad \Longrightarrow \quad
y = 2x - 1.
\]
Sous forme réduite :
\[
y - 2x + 1 = 0.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
\[
\boxed{y - 2x + 1 = 0}
\]
La bonne réponse est :
\[
\boxed{\text{e. } y - 2x + 1 = 0}
\]
9.On considère la fonction réelle \(f\) définie par : \[ f(x) = \ln(x^2 + 1), \] et \((C)\) sa courbe représentative. Au point d’abscisse positive et d’ordonnée \(\ln 2\), la tangente à la courbe \((C)\) est :
tangente au point d’ordonnée \(\ln 2\)}
On cherche les points de la courbe \((C)\) dont l’ordonnée vaut \(\ln 2\), avec abscisse positive.
\[
f(x) = \ln(x^2 + 1) = \ln 2.
\]
On résout :
\[
\ln(x^2 + 1) = \ln 2
\quad \Longrightarrow \quad
x^2 + 1 = 2
\quad \Longrightarrow \quad
x^2 = 1
\quad \Longrightarrow \quad
x = \pm 1.
\]
L’abscisse \textbf{positive} est \(x = 1\).
Le point considéré est donc :
\[
A(1, \ln 2).
\]
On calcule la dérivée de \(f\) :
\[
f(x) = \ln(x^2 + 1),
\]
\[
f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}.
\]
En \(x = 1\) :
\[
f'(1) = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1.
\]
La pente de la tangente en \(A\) est \(1\).
La droite de pente \(1\) est une droite parallèle à la première bissectrice \(y = x\).
\bigskip
\textbf{Conclusion question 9 :}
\[
\boxed{\text{La tangente est parallèle à la 1\up{ère} bissectrice.}}
\]
Réponse correcte :
\[
\boxed{\text{c. Parallèle à la 1\up{ère} bissectrice}}
\]
10.On considère la fonction réelle \(f\) définie par : \[ f(x) = \ln(x^2 + 1), \] et \((C)\) sa courbe représentative. La courbe \((C)\) garde sa concavité vers les ordonnées strictement négatives sur l’intervalle de :
2. Étude de la question 10 : concavité de la courbe \((C)\)
On calcule la dérivée seconde pour étudier la concavité.
On a déjà :
\[
f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}.
\]
On dérive à nouveau :
\[
f''(x) = \frac{(2)(x^2 + 1) - 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
= \frac{2(x^2 + 1) - 4x^2}{(x^2 + 1)^2}
= \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2}
= \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}.
\]
On factorise :
\[
f''(x) = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}.
\]
Le dénominateur \((x^2 + 1)^2\) est toujours strictement positif.
Le signe de \(f''(x)\) dépend donc du numérateur \(2(1 - x^2)\), c’est-à-dire de \(1 - x^2\).
\[
1 - x^2 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 < 1 \quad \Longleftrightarrow \quad -1 < x < 1.
\]
\[
1 - x^2 1 \quad \Longleftrightarrow \quad x 1.
\]
Donc :
- Pour \(-1 < x 0\) : la courbe est \textbf{concave vers le haut} (vers les ordonnées positives).
- Pour \(x 1\), \(f''(x) < 0\) : la courbe est \textbf{concave vers le bas}, c’est-à-dire « tournée vers les ordonnées négatives ».
L’énoncé dit :
« La courbe \((C)\) garde sa concavité vers les ordonnées strictement négatives sur l’intervalle de : … »
Cela signifie : là où \(f''(x) < 0\), donc pour :
\[
x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion question 10 :}
\[
\boxed{\text{La concavité vers le bas (ordonnées négatives) a lieu pour } x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[.}
\]
Réponse correcte :
\[
\boxed{\text{d. } ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[}
\]
11.Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x) = \frac{e^x}{\cos x}. \] Le développement en série de Mac-Laurin de la fonction \(f\) donne un polynôme \[ p(x) = a + bx + cx^2. \] La valeur numérique de \(p\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)\) vaut :
On cherche le développement de Mac-Laurin (développement limité en \(0\)) de \[ f(x) = \frac{e^x}{\cos x} \] au voisinage de \(0\), jusqu’à l’ordre \(2\), c’est-à-dire sous la forme \[ p(x) = a + bx + cx^2. \] \bigskip \textbf{1. Développements de base} On connaît les développements de Mac-Laurin suivants : \[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2), \] \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2). \] On a besoin du développement de \(\dfrac{1}{\cos x}\) jusqu’à l’ordre \(2\). \bigskip \textbf{2. Développement de } \(\dfrac{1}{\cos x}\) On écrit : \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2). \] On cherche une expression de la forme : \[ \frac{1}{\cos x} = 1 + \alpha x^2 + o(x^2), \] (car il n’y a pas de terme en \(x\) dans \(\cos x\), donc pas non plus dans son inverse à cet ordre). On impose : \[ \cos x \cdot \frac{1}{\cos x} = 1. \] Donc : \[ \left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)\left(1 + \alpha x^2 + o(x^2)\right) = 1. \] En ne gardant que les termes jusqu’à l’ordre \(2\) : \[ 1 + \alpha x^2 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) = 1. \] On doit avoir le coefficient de \(x^2\) nul : \[ \alpha - \frac{1}{2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \alpha = \frac{1}{2}. \] Ainsi : \[ \frac{1}{\cos x} = 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2). \] \bigskip \textbf{3. Produit pour obtenir le développement de } \(f(x)\) On a : \[ f(x) = e^x \cdot \frac{1}{\cos x} = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)\left(1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right). \] On multiplie en ne gardant que les termes jusqu’à \(x^2\) : \[ f(x) = 1\cdot 1 + 1\cdot \frac{x^2}{2} + x\cdot 1 + \frac{x^2}{2}\cdot 1 + o(x^2). \] Donc : \[ f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + o(x^2) = 1 + x + x^2 + o(x^2). \] Ainsi, le polynôme de Mac-Laurin d’ordre \(2\) est : \[ p(x) = 1 + x + x^2. \] On lit donc : \[ a = 1,\quad b = 1,\quad c = 1. \] \bigskip \textbf{4. Calcul de } \(p\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)\) \[ p\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 1 + \left(-\dfrac{1}{2}\right) + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}. \] On met au même dénominateur : \[ 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}. \] \bigskip \textbf{Conclusion :} \[ \boxed{p\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{4}} \] La bonne réponse est donc : \[ \boxed{\text{a. } \dfrac{3}{4}} \]
12.Soit la fonction \[ y = \cos\big(x^{\cos x}\big), \] avec \(dy\) et \(dx\) désignant la différentielle 1\up{ère} respectivement de \(y\) et de \(x\). Le rapport \(\dfrac{dy}{dx}\) est :
On dérive \[ y = \cos\big(x^{\cos x}\big). \] On pose : \[ u(x) = x^{\cos x}, \quad y = \cos(u(x)). \] \bigskip \textbf{1. Dérivée de } \(y = \cos(u(x))\) Par la règle de la chaîne : \[ \frac{dy}{dx} = y' = -\sin\big(u(x)\big)\cdot u'(x) = -\sin\big(x^{\cos x}\big)\cdot u'(x). \] Il faut donc calculer \(u'(x)\). \bigskip \textbf{2. Dérivée de } \(u(x) = x^{\cos x}\) On écrit \(u(x)\) sous forme exponentielle : \[ u(x) = x^{\cos x} = e^{\cos x \,\ln x}. \] On pose : \[ v(x) = \cos x \,\ln x, \quad \text{donc} \quad u(x) = e^{v(x)}. \] Alors : \[ u'(x) = v'(x)\,e^{v(x)} = v'(x)\,x^{\cos x}. \] On calcule \(v'(x)\). Comme \[ v(x) = \cos x \cdot \ln x \] est un produit, on utilise la dérivée d’un produit : \[ v'(x) = (\cos x)' \cdot \ln x + \cos x \cdot (\ln x)'. \] On sait : \[ (\cos x)' = -\sin x,\quad (\ln x)' = \frac{1}{x}. \] Donc : \[ v'(x) = -\sin x \cdot \ln x + \cos x \cdot \frac{1}{x} = -\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x}. \] Ainsi : \[ u'(x) = x^{\cos x}\left(-\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x}\right). \] \bigskip \textbf{3. Expression finale de } \(\dfrac{dy}{dx}\) On remplace \(u'(x)\) dans la formule de \(y'\) : \[ \frac{dy}{dx} = -\sin\big(x^{\cos x}\big)\cdot x^{\cos x}\left(-\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x}\right). \] On peut factoriser le signe : \[ \frac{dy}{dx} = x^{\cos x}\,\sin\big(x^{\cos x}\big)\left(\sin x \ln x - \frac{\cos x}{x}\right). \] Donc, la dérivée est : \[ \boxed{\dfrac{dy}{dx} = x^{\cos x}\,\sin\big(x^{\cos x}\big)\left(\sin x \ln x - \dfrac{\cos x}{x}\right)}. \] \bigskip \textbf{Remarque sur les propositions} Toutes les réponses proposées ne comportent que des termes du type \(x^{\cos x}[\dots]\), sans le facteur \(\sin\big(x^{\cos x}\big)\) provenant de la dérivée de \(\cos(\cdot)\). Autrement dit, aucune des options \textbf{a.} à \textbf{e.} ne correspond exactement à la dérivée correcte de \[ y = \cos\big(x^{\cos x}\big). \] En revanche, si l’énoncé avait été \(y = x^{\cos x}\), alors on aurait trouvé \[ \frac{dy}{dx} = x^{\cos x}\left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x\right), \] ce qui coïncide avec la proposition \textbf{d}. Mais pour \(y = \cos\big(x^{\cos x}\big)\), la bonne dérivée est bien : \[ \boxed{\dfrac{dy}{dx} = x^{\cos x}\,\sin\big(x^{\cos x}\big)\left(\sin x \ln x - \dfrac{\cos x}{x}\right)}. \]
13.Soit la fonction \(f\) définie par \[ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \geq 0,\ \[4pt] -x & \text{si } x < 0, \end{cases} \] avec \(dx\) désignant la différentielle 1\up{ère} de \(x\). L’intégrale \[ \int_{-1}^{1} f(x)\,dx \] vaut :
La fonction \(f\) est définie par morceaux, avec une expression différente selon le signe de \(x\).
Sur l’intervalle \([-1,1]\), on coupe donc l’intégrale en deux parties :
\[
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx
= \int_{-1}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{1} f(x)\,dx.
\]
Pour \(x < 0\), on a \(f(x) = -x\).
Pour \(x \geq 0\), on a \(f(x) = x^2\).
Ainsi :
\[
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx
= \int_{-1}^{0} (-x)\,dx + \int_{0}^{1} x^2\,dx.
\]
\bigskip
\textbf{1. Calcul de } \(\displaystyle \int_{-1}^{0} (-x)\,dx\)
On intègre :
\[
\int (-x)\,dx = -\frac{x^2}{2} + C.
\]
Donc :
\[
\int_{-1}^{0} (-x)\,dx
= \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0}
= \left(-\frac{0^2}{2}\right) - \left(-\frac{(-1)^2}{2}\right)
= 0 - \left(-\frac{1}{2}\right)
= \frac{1}{2}.
\]
\bigskip
\textbf{2. Calcul de } \(\displaystyle \int_{0}^{1} x^2\,dx\)
On intègre :
\[
\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C.
\]
Donc :
\[
\int_{0}^{1} x^2\,dx
= \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}
= \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3}
= \frac{1}{3}.
\]
\bigskip
\textbf{3. Somme des deux contributions}
\[
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx
= \int_{-1}^{0} (-x)\,dx + \int_{0}^{1} x^2\,dx
= \frac{1}{2} + \frac{1}{3}.
\]
On met au même dénominateur :
\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{3}
= \frac{3}{6} + \frac{2}{6}
= \frac{5}{6}.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
\[
\boxed{\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \dfrac{5}{6}}
\]
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{\text{e. } \dfrac{5}{6}}
\]
14.La fonction trigonométrique \(f\) est définie par : \[ f(x) = \tan^6 x \cdot \sec^4 x, \] avec \(dx\) la différentielle première de \(x\). L’intégrale définie de la fonction \(f(x)\,dx\) sur l’intervalle \(\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]\) vaut :
Correction détaillée
On cherche à calculer :
\[
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^6 x \cdot \sec^4 x\,dx.
\]
On utilise le changement de variable :
\[
u = \tan x \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{dx} = \sec^2 x \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{\sec^2 x}.
\]
Mais attention : on a aussi
\[
\sec^4 x = (\sec^2 x)^2.
\]
Donc :
\[
\tan^6 x \cdot \sec^4 x\,dx = u^6 \cdot (\sec^2 x)^2 \cdot \frac{du}{\sec^2 x} = u^6 \cdot \sec^2 x \cdot du.
\]
Or \(\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + u^2\), donc :
\[
\tan^6 x \cdot \sec^4 x\,dx = u^6(1 + u^2)\,du.
\]
On intègre :
\[
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^6 x \cdot \sec^4 x\,dx
= \int_0^1 u^6(1 + u^2)\,du
= \int_0^1 (u^6 + u^8)\,du.
\]
On calcule :
\[
\int_0^1 u^6\,du = \left[\frac{u^7}{7}\right]_0^1 = \frac{1}{7}, \quad
\int_0^1 u^8\,du = \left[\frac{u^9}{9}\right]_0^1 = \frac{1}{9}.
\]
Donc :
\[
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^6 x \cdot \sec^4 x\,dx = \frac{1}{7} + \frac{1}{9} = \frac{9 + 7}{63} = \frac{16}{63}.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
\[
\boxed{\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^6 x \cdot \sec^4 x\,dx = \dfrac{16}{63}}
\]
La bonne réponse est :
\[
\boxed{\text{a. } \dfrac{16}{63}}
\]
15.La droite d’équation : \[ 2x - y + 5 = 0 \] est tangente à la courbe \((C)\) de l’ellipse d’équation : \[ E: \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{9} = 1. \] Le réel \(a\) vaut :
Correction détaillée
On veut déterminer la valeur de \(a\) pour que la droite :
\[
2x - y + 5 = 0
\quad \text{soit tangente à l’ellipse} \quad
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{9} = 1.
\]
\bigskip
\textbf{1. Mise sous forme explicite de la droite}
On écrit la droite sous forme \(y = mx + p\) :
\[
2x - y + 5 = 0 \quad \Longrightarrow \quad y = 2x + 5.
\]
\bigskip
\textbf{2. Substitution dans l’équation de l’ellipse}
On remplace \(y = 2x + 5\) dans l’équation de l’ellipse :
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{(2x + 5)^2}{9} = 1.
\]
On développe :
\[
(2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.
\]
Donc :
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{4x^2 + 20x + 25}{9} = 1.
\]
On regroupe :
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{4x^2}{9} + \frac{20x}{9} + \frac{25}{9} = 1.
\]
On met tout au même membre :
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{4x^2}{9} + \frac{20x}{9} + \frac{25}{9} - 1 = 0.
\]
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{4x^2}{9} + \frac{20x}{9} + \frac{16}{9} = 0.
\]
\bigskip
\textbf{3. Équation quadratique}
On regroupe les termes :
\[
\left(\frac{1}{a^2} + \frac{4}{9}\right)x^2 + \frac{20}{9}x + \frac{16}{9} = 0.
\]
Pour que la droite soit tangente à l’ellipse, cette équation doit avoir une seule solution réelle, donc le discriminant doit être nul :
\[
\Delta = B^2 - 4AC = 0.
\]
Ici :
\[
A = \frac{1}{a^2} + \frac{4}{9},\quad B = \frac{20}{9},\quad C = \frac{16}{9}.
\]
On calcule :
\[
\Delta = \left(\frac{20}{9}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{a^2} + \frac{4}{9}\right)\cdot \frac{16}{9}.
\]
\[
\Delta = \frac{400}{81} - \frac{64}{9}\left(\frac{1}{a^2} + \frac{4}{9}\right).
\]
On développe :
\[
\Delta = \frac{400}{81} - \left(\frac{64}{9a^2} + \frac{256}{81}\right).
\]
\[
\Delta = \left(\frac{400}{81} - \frac{256}{81}\right) - \frac{64}{9a^2}
= \frac{144}{81} - \frac{64}{9a^2}.
\]
On impose \(\Delta = 0\) :
\[
\frac{144}{81} = \frac{64}{9a^2}.
\]
On simplifie :
\[
\frac{16}{9} = \frac{64}{9a^2}
\quad \Longrightarrow \quad
16 = \frac{64}{a^2}
\quad \Longrightarrow \quad
a^2 = \frac{64}{16} = 4
\quad \Longrightarrow \quad
a = \sqrt{4} = 2.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
\[
\boxed{a = 2}
\]
La bonne réponse est :
\[
\boxed{\text{d. } 2}
\]
16.Le segment de droite joignant les points \(A(-2, -1)\) et \(B(3, 3)\) est prolongé jusqu’au point \(C\) par la relation \[ \overrightarrow{BC} = 3\,\overrightarrow{AB}. \] Les coordonnées du point \(C\) sont :
Correction détaillée
On connaît les points :
\[
A(-2, -1), \quad B(3, 3),
\]
et la relation vectorielle :
\[
\overrightarrow{BC} = 3\,\overrightarrow{AB}.
\]
\bigskip
\textbf{1. Calcul du vecteur } \(\overrightarrow{AB}\)
\[
\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\ y_B - y_A)
= (3 - (-2),\ 3 - (-1))
= (3 + 2,\ 3 + 1)
= (5, 4).
\]
\bigskip
\textbf{2. Expression de } \(\overrightarrow{BC}\)
D’après l’énoncé :
\[
\overrightarrow{BC} = 3\,\overrightarrow{AB}
= 3\,(5, 4)
= (15, 12).
\]
Par définition :
\[
\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B,\ y_C - y_B).
\]
Donc :
\[
(x_C - x_B,\ y_C - y_B) = (15, 12).
\]
Avec \(B(3,3)\), on obtient :
\[
x_C - 3 = 15 \quad \Longrightarrow \quad x_C = 18,
\]
\[
y_C - 3 = 12 \quad \Longrightarrow \quad y_C = 15.
\]
Ainsi :
\[
C(18, 15).
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
\[
\boxed{C(18, 15)}
\]
La bonne réponse est :
\[
\boxed{\text{c. } (18, 15)}
\]
17.Le cercle d'équation polaire \[ \varphi \equiv \rho^2 - 4\rho \cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) - 12 = 0 \] a pour centre et rayon respectivement :
Correction détaillée
On part de l’équation polaire du cercle :
\[
\rho^2 - 4\rho \cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) - 12 = 0.
\]
On veut retrouver le centre et le rayon. On va passer en coordonnées cartésiennes.
\bigskip
\textbf{1. Passage en coordonnées cartésiennes}
On rappelle :
\[
x = \rho \cos\theta,\quad y = \rho \sin\theta,\quad \rho^2 = x^2 + y^2.
\]
De plus, on utilise la formule :
\[
\cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)
= \cos\theta \cos\frac{\pi}{4} + \sin\theta \sin\frac{\pi}{4}
= \frac{\cos\theta + \sin\theta}{\sqrt{2}}.
\]
Donc :
\[
\rho \cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)
= \rho \cdot \frac{\cos\theta + \sin\theta}{\sqrt{2}}
= \frac{\rho\cos\theta + \rho\sin\theta}{\sqrt{2}}
= \frac{x + y}{\sqrt{2}}.
\]
L’équation devient alors :
\[
\rho^2 - 4 \cdot \frac{x + y}{\sqrt{2}} - 12 = 0.
\]
Or \(\rho^2 = x^2 + y^2\), donc :
\[
x^2 + y^2 - \frac{4}{\sqrt{2}}(x + y) - 12 = 0.
\]
On simplifie \(\dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\) :
\[
x^2 + y^2 - 2\sqrt{2}(x + y) - 12 = 0.
\]
\bigskip
\textbf{2. Mise sous forme canonique du cercle}
On regroupe :
\[
x^2 - 2\sqrt{2}x + y^2 - 2\sqrt{2}y - 12 = 0.
\]
On complète les carrés :
Pour \(x\) :
\[
x^2 - 2\sqrt{2}x = (x - \sqrt{2})^2 - 2.
\]
Pour \(y\) :
\[
y^2 - 2\sqrt{2}y = (y - \sqrt{2})^2 - 2.
\]
En remplaçant :
\[
(x - \sqrt{2})^2 - 2 + (y - \sqrt{2})^2 - 2 - 12 = 0,
\]
\[
(x - \sqrt{2})^2 + (y - \sqrt{2})^2 - 16 = 0,
\]
\[
(x - \sqrt{2})^2 + (y - \sqrt{2})^2 = 16.
\]
C’est l’équation d’un cercle de centre \((\sqrt{2}, \sqrt{2})\) et de rayon \(R = 4\).
\bigskip
\textbf{3. Centre en coordonnées polaires}
Le centre \(O_c(\sqrt{2}, \sqrt{2})\) a pour coordonnées polaires \((\rho_0, \theta_0)\) avec :
\[
\rho_0 = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}
= \sqrt{2 + 2}
= \sqrt{4}
= 2,
\]
\[
\theta_0 = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)
= \arctan(1)
= \frac{\pi}{4}.
\]
Donc le cercle a pour :
- centre : \((2, \frac{\pi}{4})\) en coordonnées polaires,
- rayon : \(4\).
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
\[
\boxed{\text{Centre } (2, \tfrac{\pi}{4}) \text{ et rayon } 4}
\]
La bonne réponse est :
\[
\boxed{\text{e. } (2, \tfrac{\pi}{4}) \text{ et } 4}
\]
18.est définie par l’équation : \[ \lambda y^2 + 2xy + 4\lambda x^2 + 10y - 5x + 1 = 0. \] \(\Pi\) est une hyperbole lorsque le réel \(\lambda\) se situe sur l’intervalle ou réunion d’intervalles :
Correction détaillée
On considère la conique \(\Pi\) d’équation :
\[
\lambda y^2 + 2xy + 4\lambda x^2 + 10y - 5x + 1 = 0.
\]
Pour déterminer la nature de la conique, on utilise le discriminant :
\[
\Delta = B^2 - 4AC,
\]
où l’équation générale est :
\[
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0.
\]
\bigskip
\textbf{Identification des coefficients}
On réécrit l’équation :
\[
4\lambda x^2 + 2xy + \lambda y^2 + (-5x) + (10y) + 1 = 0.
\]
Donc :
\[
A = 4\lambda,\quad B = 2,\quad C = \lambda.
\]
\bigskip
\textbf{Calcul du discriminant}
\[
\Delta = B^2 - 4AC = 2^2 - 4(4\lambda)(\lambda)
= 4 - 16\lambda^2.
\]
\bigskip
\textbf{Condition pour que la conique soit une hyperbole}
Une conique est une hyperbole si \(\Delta > 0\), donc :
\[
4 - 16\lambda^2 > 0
\quad \Longrightarrow \quad
16\lambda^2 < 4
\quad \Longrightarrow \quad
\lambda^2 < \frac{1}{4}
\quad \Longrightarrow \quad
|\lambda| < \frac{1}{2}.
\]
Donc :
\[
\lambda \in \left]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right[.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
La conique est une hyperbole lorsque :
\[
\boxed{\lambda \in \left]-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right[}
\]
La seule réponse compatible avec cette condition est :
\[
\boxed{\text{a. } \left]-\dfrac{1}{4}, \dfrac{2}{3}\right[}
\quad \text{(car elle contient strictement } \left]-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right[ \text{ comme sous-intervalle)}
\]
Mais attention : la réponse \textbf{a} est trop large.
La bonne réponse exacte selon le discriminant est :
\[
\boxed{\lambda \in \left]-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right[}
\]
Aucune des propositions ne correspond exactement, mais la plus proche est :
\[
\boxed{\text{a. } \left]-\dfrac{1}{4}, \dfrac{2}{3}\right[}
\quad \text{(si on accepte une approximation)}
\]
19.Soit la parabole de sommet \((2,3)\), d’axe parallèle à l’axe \(OY\), et passant par le point \((4,5)\). L’équation de cette parabole est :
Correction détaillée
La parabole a :
- un sommet \(S(2,3)\),
- un axe parallèle à l’axe \(OY\), donc une parabole verticale (de la forme \(y = a(x - h)^2 + k\)),
- elle passe par le point \(P(4,5)\).
\bigskip
\textbf{1. Équation canonique de la parabole}
Puisque l’axe est vertical, l’équation est :
\[
y = a(x - h)^2 + k,
\]
avec \((h,k) = (2,3)\), donc :
\[
y = a(x - 2)^2 + 3.
\]
\bigskip
\textbf{2. Détermination de \(a\) avec le point \((4,5)\)}
On remplace \(x = 4\), \(y = 5\) :
\[
5 = a(4 - 2)^2 + 3 = a(2)^2 + 3 = 4a + 3.
\]
\[
4a = 2 \quad \Longrightarrow \quad a = \frac{1}{2}.
\]
Donc l’équation est :
\[
y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 3.
\]
\bigskip
\textbf{3. Mise sous forme générale}
On développe :
\[
y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) + 3
= \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 + 3
= \frac{1}{2}x^2 - 2x + 5.
\]
On multiplie par 2 pour éliminer le coefficient fractionnaire :
\[
2y = x^2 - 4x + 10
\quad \Longrightarrow \quad
x^2 - 4x - 2y + 10 = 0.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
L’équation de la parabole est :
\[
\boxed{x^2 - 4x - 2y + 10 = 0}
\]
La bonne réponse est :
\[
\boxed{\text{d. } x^2 - 4x - 2y + 10 = 0}
\]
20.Un point se déplace de telle sorte que sa distance du point \((4,0)\) est toujours égale à la moitié de sa distance à la droite \[ x - 16 = 0. \] L’équation du lieu est :
Correction détaillée
On considère un point \(M(x,y)\).
Sa distance au point \(A(4,0)\) est :
\[
MA = \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + y^2}.
\]
La droite donnée est :
\[
x - 16 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 16.
\]
La distance du point \(M(x,y)\) à cette droite est (formule de la distance d’un point à une droite \(ax + by + c = 0\)) :
\[
d(M, \Delta) = \frac{|x - 16|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = |x - 16|.
\]
La condition de l’énoncé est :
\[
MA = \frac{1}{2}\,d(M, \Delta),
\]
c’est-à-dire :
\[
\sqrt{(x - 4)^2 + y^2} = \frac{1}{2}|x - 16|.
\]
\bigskip
\textbf{1. Élévation au carré}
On élève au carré des deux côtés (les distances sont positives) :
\[
(x - 4)^2 + y^2 = \frac{1}{4}(x - 16)^2.
\]
On multiplie par 4 :
\[
4\big((x - 4)^2 + y^2\big) = (x - 16)^2.
\]
\bigskip
\textbf{2. Développement des carrés}
On développe :
\[
(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16,
\]
\[
(x - 16)^2 = x^2 - 32x + 256.
\]
Donc :
\[
4(x^2 - 8x + 16 + y^2) = x^2 - 32x + 256.
\]
\[
4x^2 - 32x + 64 + 4y^2 = x^2 - 32x + 256.
\]
\bigskip
\textbf{3. Mise sous forme standard}
On amène tout du même côté :
\[
4x^2 - 32x + 64 + 4y^2 - x^2 + 32x - 256 = 0,
\]
\[
(4x^2 - x^2) + ( -32x + 32x ) + 4y^2 + (64 - 256) = 0,
\]
\[
3x^2 + 4y^2 - 192 = 0.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
L’équation du lieu est :
\[
\boxed{3x^2 + 4y^2 - 192 = 0}
\]
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{\text{a. } 3x^2 + 4y^2 - 192 = 0}
\]
21.Étant donnée la conique d’équation : \[ 2x^2 + 5xy + y^2 + 3x - 5y + 7 = 0, \] le centre de cette conique a pour coordonnées :
Correction détaillée
On considère la conique d’équation :
\[
2x^2 + 5xy + y^2 + 3x - 5y + 7 = 0.
\]
L’équation générale d’une conique est :
\[
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0.
\]
Ici, on identifie :
\[
A = 2,\quad B = 5,\quad C = 1,\quad D = 3,\quad E = -5,\quad F = 7.
\]
Le centre d’une conique (si elle en possède un) est le point \((x_0,y_0)\) qui annule les dérivées partielles de l’expression de gauche par rapport à \(x\) et \(y\).
Autrement dit, \((x_0,y_0)\) vérifie :
\[
\frac{\partial}{\partial x}(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F) = 0,
\]
\[
\frac{\partial}{\partial y}(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F) = 0.
\]
\bigskip
\textbf{1. Calcul des dérivées partielles}
On calcule :
\[
\frac{\partial}{\partial x}(2x^2 + 5xy + y^2 + 3x - 5y + 7)
= 4x + 5y + 3.
\]
\[
\frac{\partial}{\partial y}(2x^2 + 5xy + y^2 + 3x - 5y + 7)
= 5x + 2y - 5.
\]
Le centre \((x_0,y_0)\) satisfait donc le système :
\[
\begin{cases}
4x + 5y + 3 = 0,\\
5x + 2y - 5 = 0.
\end{cases}
\]
\bigskip
\textbf{2. Résolution du système}
On résout :
\[
\begin{cases}
4x + 5y + 3 = 0,\\
5x + 2y - 5 = 0.
\end{cases}
\]
De la première équation :
\[
4x = -5y - 3 \quad \Longrightarrow \quad x = -\dfrac{5y + 3}{4}.
\]
On remplace dans la deuxième :
\[
5\left(-\dfrac{5y + 3}{4}\right) + 2y - 5 = 0.
\]
\[
-\dfrac{25y + 15}{4} + 2y - 5 = 0.
\]
On multiplie par 4 :
\[
-25y - 15 + 8y - 20 = 0
\quad \Longrightarrow \quad
-17y - 35 = 0.
\]
\[
-17y = 35
\quad \Longrightarrow \quad
y = -\dfrac{35}{17}.
\]
On remplace dans \(5x + 2y - 5 = 0\) :
\[
5x + 2\left(-\dfrac{35}{17}\right) - 5 = 0
\quad \Longrightarrow \quad
5x - \dfrac{70}{17} - 5 = 0.
\]
On écrit \(5 = \dfrac{85}{17}\) :
\[
5x - \dfrac{70}{17} - \dfrac{85}{17} = 0
\quad \Longrightarrow \quad
5x - \dfrac{155}{17} = 0.
\]
\[
5x = \dfrac{155}{17}
\quad \Longrightarrow \quad
x = \dfrac{155}{85} = \dfrac{31}{17}.
\]
On obtient donc :
\[
(x_0,y_0) = \left(\dfrac{31}{17}, -\dfrac{35}{17}\right).
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
Le centre de la conique est :
\[
\boxed{\left(\dfrac{31}{17}, -\dfrac{35}{17}\right)}
\]
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{\text{c. } \left(\dfrac{31}{17}, -\dfrac{35}{17}\right)}
\]
22.Soit la sphère d’équation \[ x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y - 6z = 0. \] Le centre et le rayon de la sphère valent respectivement :
Correction détaillée
On part de l’équation de la sphère :
\[
x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y - 6z = 0.
\]
L’équation d’une sphère de centre \(C(\alpha,\beta,\gamma)\) et de rayon \(R\) s’écrit sous la forme :
\[
(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 + (z - \gamma)^2 = R^2.
\]
Pour retrouver cette forme, on complète les carrés pour \(x\), \(y\) et \(z\).
\bigskip
\textbf{1. Regroupement des termes}
\[
x^2 + 4x \;+\; y^2 - 2y \;+\; z^2 - 6z = 0.
\]
\bigskip
\textbf{2. Complétion des carrés}
Pour \(x^2 + 4x\) :
\[
x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4.
\]
Pour \(y^2 - 2y\) :
\[
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1.
\]
Pour \(z^2 - 6z\) :
\[
z^2 - 6z = (z - 3)^2 - 9.
\]
On remplace dans l’équation :
\[
(x + 2)^2 - 4 + (y - 1)^2 - 1 + (z - 3)^2 - 9 = 0.
\]
On regroupe les constantes :
\[
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 - (4 + 1 + 9) = 0,
\]
\[
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 - 14 = 0.
\]
Donc :
\[
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 14.
\]
\bigskip
\textbf{3. Lecture du centre et du rayon}
On compare avec :
\[
(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 + (z - \gamma)^2 = R^2.
\]
On obtient :
\[
\alpha = -2,\quad \beta = 1,\quad \gamma = 3,\quad R^2 = 14 \Rightarrow R = \sqrt{14}.
\]
Donc le centre de la sphère est :
\[
C(-2, 1, 3)
\]
et le rayon est :
\[
R = \sqrt{14}.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
\[
\boxed{\text{Centre } (-2, 1, 3)\ \text{et rayon } \sqrt{14}}
\]
La bonne réponse est :
\[
\boxed{\text{b. } (-2, 1, 3) \text{ et } \sqrt{14}}
\]
23.L’équation du plan passant par le point \((4, -2, 1)\), perpendiculaire à la droite de coefficients directeurs \(7, 2, -3\) est :
Correction détaillée
On cherche l’équation d’un plan \(P\) :
- passant par le point \(A(4, -2, 1)\),
- perpendiculaire à une droite dont les coefficients directeurs sont \((7, 2, -3)\).
\bigskip
\textbf{1. Vecteur normal du plan}
Une droite de coefficients directeurs \((7, 2, -3)\) a pour vecteur directeur :
\[
\vec{u} = (7, 2, -3).
\]
Si le plan est \emph{perpendiculaire} à cette droite, alors cette droite est normale au plan, c’est-à-dire que son vecteur directeur est un vecteur normal au plan.
Donc un vecteur normal au plan \(P\) est :
\[
\vec{n} = (7, 2, -3).
\]
\bigskip
\textbf{2. Équation du plan}
L’équation d’un plan de vecteur normal \(\vec{n} = (a, b, c)\) passant par un point \(A(x_0, y_0, z_0)\) est :
\[
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0.
\]
Ici :
\[
a = 7,\quad b = 2,\quad c = -3,\quad A(4, -2, 1).
\]
Donc :
\[
7(x - 4) + 2(y + 2) - 3(z - 1) = 0.
\]
\bigskip
\textbf{3. Développement et mise sous forme réduite}
On développe :
\[
7(x - 4) = 7x - 28,
\]
\[
2(y + 2) = 2y + 4,
\]
\[
-3(z - 1) = -3z + 3.
\]
Donc :
\[
7x - 28 + 2y + 4 - 3z + 3 = 0.
\]
On regroupe les termes :
\[
7x + 2y - 3z - 28 + 4 + 3 = 0,
\]
\[
7x + 2y - 3z - 21 = 0.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
L’équation du plan recherché est :
\[
\boxed{7x + 2y - 3z - 21 = 0}
\]
La bonne réponse est :
\[
\boxed{\text{e. } 7x + 2y - 3z - 21 = 0}
\]
24.Soit un faisceau de coniques : \[ \begin{cases} 5x^2 - 9xy - 2y^2 = 0,\ \[4pt] 6y^2 - 7xy + \lambda x^2 = 0, \end{cases} \] où \(\lambda\) est un paramètre. La valeur de \(\lambda\) pour que le faisceau soit harmonique vaut :
Correction détaillée
Les deux coniques homogènes
\[
5x^2 - 9xy - 2y^2 = 0
\quad\text{et}\quad
6y^2 - 7xy + \lambda x^2 = 0
\]
représentent chacune une paire de droites passant par l’origine.
On note leurs pentes (dans le repère \((Oxy)\)) :
- \(t_1, t_2\) pour la première,
- \(t_3, t_4\) pour la deuxième,
où \(t = \dfrac{y}{x}\) est la pente d’une droite \(y = tx\).
Le faisceau est \emph{harmonique} si les quatre droites forment un faisceau harmonique, c’est-à-dire que le birapport
\[
(t_1, t_2; t_3, t_4) = -1.
\]
On va traduire cela en une relation sur les \emph{somme} et \emph{produit} des pentes.
\bigskip
\textbf{1. Pentes des droites de la première conique}
Pour la première :
\[
5x^2 - 9xy - 2y^2 = 0.
\]
On pose \(y = tx\) (\(x \neq 0\)) :
\[
5x^2 - 9x(tx) - 2(t^2x^2) = 0
\quad\Longrightarrow\quad
5 - 9t - 2t^2 = 0.
\]
On écrit :
\[
2t^2 + 9t - 5 = 0.
\]
Les racines sont \(t_1, t_2\), avec :
\[
t_1 + t_2 = s_1 = -\frac{9}{2},\qquad
t_1 t_2 = p_1 = -\frac{5}{2}.
\]
\bigskip
\textbf{2. Pentes des droites de la deuxième conique}
Pour la seconde :
\[
6y^2 - 7xy + \lambda x^2 = 0.
\]
On pose encore \(y = tx\) :
\[
6t^2x^2 - 7tx^2 + \lambda x^2 = 0
\quad\Longrightarrow\quad
6t^2 - 7t + \lambda = 0.
\]
Les racines sont \(t_3, t_4\), avec :
\[
t_3 + t_4 = s_2 = \frac{7}{6},\qquad
t_3 t_4 = p_2 = \frac{\lambda}{6}.
\]
\bigskip
\textbf{3. Condition de faisceau harmonique}
Le birapport
\[
(t_1, t_2; t_3, t_4) = -1
\]
équivaut à :
\[
\frac{(t_3 - t_1)(t_4 - t_2)}{(t_3 - t_2)(t_4 - t_1)} = -1.
\]
Cela revient à :
\[
(t_3 - t_1)(t_4 - t_2) + (t_3 - t_2)(t_4 - t_1) = 0.
\]
On développe et on simplifie (en regroupant avec les sommes et produits) :
\[
(t_3 - t_1)(t_4 - t_2) + (t_3 - t_2)(t_4 - t_1)
= 2t_3 t_4 - (t_1 + t_2)(t_3 + t_4) + 2t_1 t_2 = 0.
\]
Donc la condition de faisceau harmonique devient :
\[
2p_2 - s_1 s_2 + 2p_1 = 0.
\]
\bigskip
\textbf{4. Application numérique}
On remplace :
\[
s_1 = -\frac{9}{2},\quad p_1 = -\frac{5}{2},\quad s_2 = \frac{7}{6},\quad p_2 = \frac{\lambda}{6}.
\]
\[
2p_2 - s_1 s_2 + 2p_1 = 0
\quad\Longrightarrow\quad
2\cdot \frac{\lambda}{6} - \left(-\frac{9}{2}\right)\left(\frac{7}{6}\right) + 2\cdot\left(-\frac{5}{2}\right) = 0.
\]
\[
\frac{\lambda}{3} + \frac{21}{4} - 5 = 0.
\]
On simplifie \(\dfrac{21}{4} - 5 = \dfrac{21}{4} - \dfrac{20}{4} = \dfrac{1}{4}\).
Donc :
\[
\frac{\lambda}{3} + \frac{1}{4} = 0
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{\lambda}{3} = -\frac{1}{4}
\quad\Longrightarrow\quad
\lambda = -\frac{3}{4}.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
\[
\boxed{\lambda = -\dfrac{3}{4}}
\]
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{\text{a. } -\dfrac{3}{4}}
\]
25.Soit le système d’équations paramétriques \[ \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{t - 1} \ \[4pt] y = \dfrac{t^2 + 1}{t - 1} \end{array} \right. \] définissant la courbe \((C)\). L’équation cartésienne de la courbe \((C)\) définit une :
Correction détaillée
On part du système paramétrique :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{t - 1} \
\[4pt]
y = \dfrac{t^2 + 1}{t - 1}
\end{array}
\right.
\]
\bigskip
\textbf{1. Expression de \(t\) en fonction de \(x\)}
De
\[
x = \frac{1}{t-1}
\]
on tire :
\[
t - 1 = \frac{1}{x}
\quad\Longrightarrow\quad
t = 1 + \frac{1}{x}.
\]
\bigskip
\textbf{2. Substitution dans l’expression de \(y\)}
On a :
\[
y = \frac{t^2 + 1}{t - 1}.
\]
On remplace \(t\) par \(1 + \dfrac{1}{x}\).
D’abord :
\[
t^2 = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^2 = 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}.
\]
Donc :
\[
t^2 + 1 = 2 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}.
\]
Et on sait que :
\[
t - 1 = \frac{1}{x}.
\]
Ainsi :
\[
y = \frac{t^2 + 1}{t - 1}
= \frac{2 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}}
= x\left(2 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}\right)
= 2x + 2 + \frac{1}{x}.
\]
\bigskip
\textbf{3. Mise sous forme cartésienne}
On a donc la relation cartésienne :
\[
y = 2x + 2 + \frac{1}{x}.
\]
On multiplie par \(x\) (\(x \neq 0\), ce qui est cohérent avec \(x = \dfrac{1}{t-1}\)) :
\[
xy = 2x^2 + 2x + 1.
\]
On met tout d’un côté :
\[
2x^2 + 2x + 1 - xy = 0.
\]
Sous forme standard :
\[
2x^2 - xy + 2x + 1 = 0.
\]
C’est une conique générale
\[
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
\]
avec :
\[
A = 2,\quad B = -1,\quad C = 0.
\]
Le discriminant de la partie quadratique est :
\[
\Delta = B^2 - 4AC = (-1)^2 - 4\cdot 2 \cdot 0 = 1 > 0.
\]
Quand \(\Delta > 0\), la conique est une \textbf{hyperbole} (non dégénérée ici, car l’équation n’est pas factorisable en deux droites réelles parallèles ou confondues, et elle possède des points réels, par exemple pour \(x = 1\), on a \(y = 5\)).
Il s’agit donc d’une hyperbole proprement dite.
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
\[
\boxed{\text{La courbe (C) est une hyperbole proprement dite.}}
\]
La bonne réponse est :
\[
\boxed{\text{d. Hyperbole proprement dite.}}
\]