1.Si on désigne respectivement par \(x\) et \(y\) l’opposé et l’inverse de \(2 - 3i\), alors la quantité : \[ \frac{x}{y} \] est égale à :
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2.Dans \(\mathbb{R}\), on définit la loi \(*\) par : \[ x * y = y + x(1 + 3y) + 6 \] Les éléments idempotents sont les réels \(x\) tels que :
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3.La limite de la fonction : \[ f(x) = (2 + x)^{\frac{1}{x}} \] lorsque \(x \to 0\), est :
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4.La dérivée première de la fonction : \[ y = \frac{3x^2 - 1}{3x^2} + \ln\sqrt{1 + x^2} + \arctan\sqrt{-x^2} \] au point d’abscisse \(x = -1\) est :
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5.
i : \[ \log_a \sqrt[3]{36} = \frac{2}{3} \] alors \(a\) est égal à :
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6.Les éléments involutifs pour la loi \(T\) définie dans \(\mathbb{R}\) par : \[ x \, T \, y = xy - 3x - 3y + 12 \] sont respectivement :
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7.Si le nombre complexe \(Z\) est tel que : \[ (\overline{Z})^{-1} = \frac{(1 - i)^5}{(1 + i)^7} \] alors le nombre complexe \(Z^2\) est :
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8.Soient \(Z_1\) et \(Z_2\) les solutions de l'équation complexe : \[ z^2 - 2i + (1 - 2i)z = 0. \] \(|Z_1|^2 + |Z_2|^2\) est égale à :
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9.L’ensemble des solutions de l'inéquation : \[ 2(\ln^2 x) - 7\ln x + 5 \leq 0 \] est :
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10.Soit la fonction \[ y = \sin\big[\arcsin(\ln^2 x)\big]. \] \[ \dfrac{dy}{dx} \text{ vaut :} \]
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11.Le développement de \( f(x) = \dfrac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} \) par la formule de Maclaurin est une suite dont les 5 premiers termes forment un polynôme de la forme : \[ f(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4. \] La valeur numérique de l’expression \(a + c + e\) vaut :
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12.Le volume engendré par la rotation autour de l’axe \(OX\) de la surface limitée par la parabole \[ y^2 = 8x, \] l’axe des \(x\) et les droites \(y = 0\) et \(y = 4\) vaut :
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13.Les 4 points \(A, B, C, D\) munis de leurs ordonnées respectives \(y, 3, 6, -2\) et étant alignés, forment un quaterne ponctuel harmonique. L’ordonnée du point \(A\) est :
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14.La droite \(3y = 8x + k\) passe par le point d’intersection des droites d’équations \[ 5y - 3x + 2 = 0 \quad \text{et} \quad 2y + 5x - 3 = 0. \] Le réel \(k\) vaut :
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15.Après une rotation des axes d’un angle de \(45^\circ\), l’équation de la droite \[ 2y - x - 6 = 0 \] devient :
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16.Soient les deux points \(P(3, -2)\) et \(Q(-2, 4)\). Le point \(M\) se déplace de telle sorte que le coefficient angulaire de \(MP\) est l’inverse du coefficient angulaire de \(MQ\). Le lieu du point \(M\) est :
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17.Soit la valeur du paramètre réel \(k\), pour que la droite d’équation \[ 5x - 12y + 5k - 4 = 0 \] soit à une distance \(4\) du point \((2, -3)\). La valeur numérique de l’expression \[ \frac{5k - 3}{4} \] vaut :
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18.Le cercle \((c)\) passe par les points communs aux cercles \[ x^2 + y^2 - 3x - 4y + 2 = 0 \quad \text{et} \quad x^2 + y^2 - 2x - 3y + 3 = 0 \] et son centre est situé sur la droite \[ 2y - 2x - 4 = 0. \] \((c)\) s’écrit :
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19.On donne la conique d'équation : \[ 9x^2 - 4y^2 - 6x + 8y - 39 = 0. \] La longueur de la corde focale perpendiculaire à l’axe vaut :
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20.L’ellipse de centre \((2,3)\), de foyer \((7,3)\) et passant par le point \((5,7)\) a pour équation :
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21.L'équation \[ x^2 + 5xy + y^2 - 11x - 21 = 0 \] représente :
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22.On donne l’hyperbole : \[ 5y^2 - 4x^2 = 80. \] Les coordonnées des sommets sont :
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23.On donne l’hyperbole : \[ 5y^2 - 4x^2 = 80. \]L’excentricité \(e\) est :
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24.On donne l’hyperbole : \[ 5y^2 - 4x^2 = 80. \]Les équations des asymptotes sont :
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25.Soit la parabole d'équation polaire : \[ \rho = \left| \frac{4}{1 - \cos \omega} \right|. \] Son équation cartésienne est :
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