Exetat de mathématiques 2018-Scientifiques

1.Si on désigne respectivement par \(x\) et \(y\) l’opposé et l’inverse de \(2 - 3i\), alors la quantité : \[ \frac{x}{y} \] est égale à :

2.Dans \(\mathbb{R}\), on définit la loi \(*\) par : \[ x * y = y + x(1 + 3y) + 6 \] Les éléments idempotents sont les réels \(x\) tels que :

3.La limite de la fonction : \[ f(x) = (2 + x)^{\frac{1}{x}} \] lorsque \(x \to 0\), est :

4.La dérivée première de la fonction : \[ y = \frac{3x^2 - 1}{3x^2} + \ln\sqrt{1 + x^2} + \arctan\sqrt{-x^2} \] au point d’abscisse \(x = -1\) est :

5.
i : \[ \log_a \sqrt[3]{36} = \frac{2}{3} \] alors \(a\) est égal à :

6.Les éléments involutifs pour la loi \(T\) définie dans \(\mathbb{R}\) par : \[ x \, T \, y = xy - 3x - 3y + 12 \] sont respectivement :

7.Si le nombre complexe \(Z\) est tel que : \[ (\overline{Z})^{-1} = \frac{(1 - i)^5}{(1 + i)^7} \] alors le nombre complexe \(Z^2\) est :

8.Soient \(Z_1\) et \(Z_2\) les solutions de l'équation complexe : \[ z^2 - 2i + (1 - 2i)z = 0. \] \(|Z_1|^2 + |Z_2|^2\) est égale à :

On commence par réécrire l'équation sous la forme usuelle : \[ z^2 - 2i + (1 - 2i)z = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad z^2 + (1 - 2i)z - 2i = 0. \] C’est une équation du second degré en \(z\), de la forme : \[ z^2 + bz + c = 0 \quad \text{avec} \quad b = 1 - 2i,\; c = -2i. \] Les solutions \(Z_1\) et \(Z_2\) sont donc données par la formule : \[ z = \frac{-(1 - 2i) \pm \sqrt{\Delta}}{2} \quad \text{où} \quad \Delta = b^2 - 4c. \] \textbf{Étape 1 : Calcul du discriminant \(\Delta\)} \[ \Delta = (1 - 2i)^2 - 4(-2i). \] Calculons \((1 - 2i)^2\) : \[ (1 - 2i)^2 = 1^2 - 4i + 4i^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i. \] Donc : \[ \Delta = (-3 - 4i) + 8i = -3 + 4i. \] On cherche maintenant \(\sqrt{\Delta} = \sqrt{-3 + 4i}\). \textbf{Étape 2 : Calcul de \(\sqrt{-3 + 4i}\)} On pose : \[ \sqrt{-3 + 4i} = a + bi,\quad a,b \in \mathbb{R}. \] Alors : \[ (a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi = -3 + 4i. \] On obtient le système : \[ \begin{cases} a^2 - b^2 = -3, \\ 2ab = 4 \;\Longrightarrow\; ab = 2. \end{cases} \] De \(ab = 2\), on a \(b = \dfrac{2}{a}\) (avec \(a \neq 0\)). On remplace dans la première équation : \[ a^2 - \left(\dfrac{2}{a}\right)^2 = -3 \quad \Longrightarrow \quad a^2 - \dfrac{4}{a^2} = -3. \] On multiplie par \(a^2\) : \[ a^4 + 3a^2 - 4 = 0. \] On pose \(t = a^2\), alors : \[ t^2 + 3t - 4 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (t + 4)(t - 1) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 1 \quad \text{(car } t = a^2 > 0\text{)}. \] Donc : \[ a^2 = 1 \;\Longrightarrow\; a = \pm 1. \] Puis, de \(ab = 2\), on a : \[ b = \frac{2}{a}. \] Si \(a = 1\), alors \(b = 2\). Si \(a = -1\), alors \(b = -2\). Ainsi : \[ \sqrt{-3 + 4i} = 1 + 2i \quad \text{ou} \quad -1 - 2i. \] On peut choisir \(\sqrt{\Delta} = 1 + 2i\) (le signe n’influencera que l’ordre des racines). \textbf{Étape 3 : Calcul des solutions \(Z_1\) et \(Z_2\)} \[ z = \frac{-(1 - 2i) \pm (1 + 2i)}{2} = \frac{-1 + 2i \pm (1 + 2i)}{2}. \] \textbf{Première solution :} \[ Z_1 = \frac{-1 + 2i + 1 + 2i}{2} = \frac{4i}{2} = 2i. \] \textbf{Deuxième solution :} \[ Z_2 = \frac{-1 + 2i - 1 - 2i}{2} = \frac{-2}{2} = -1. \] On a donc : \[ Z_1 = 2i, \quad Z_2 = -1. \] \textbf{Étape 4 : Calcul de \(|Z_1|^2 + |Z_2|^2\)} \[ |Z_1| = |2i| = 2 \;\Longrightarrow\; |Z_1|^2 = 4. \] \[ |Z_2| = |-1| = 1 \;\Longrightarrow\; |Z_2|^2 = 1. \] Donc : \[ |Z_1|^2 + |Z_2|^2 = 4 + 1 = 5. \] \textbf{Conclusion :} \[ \boxed{|Z_1|^2 + |Z_2|^2 = 5} \] La bonne réponse est donc : \[ \boxed{\text{a. } 5}
\]

9.L’ensemble des solutions de l'inéquation : \[ 2(\ln^2 x) - 7\ln x + 5 \leq 0 \] est :

10.Soit la fonction \[ y = \sin\big[\arcsin(\ln^2 x)\big]. \] \[ \dfrac{dy}{dx} \text{ vaut :} \]

11.Le développement de \( f(x) = \dfrac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} \) par la formule de Maclaurin est une suite dont les 5 premiers termes forment un polynôme de la forme : \[ f(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4. \] La valeur numérique de l’expression \(a + c + e\) vaut :

12.Le volume engendré par la rotation autour de l’axe \(OX\) de la surface limitée par la parabole \[ y^2 = 8x, \] l’axe des \(x\) et les droites \(y = 0\) et \(y = 4\) vaut :

13.Les 4 points \(A, B, C, D\) munis de leurs ordonnées respectives \(y, 3, 6, -2\) et étant alignés, forment un quaterne ponctuel harmonique. L’ordonnée du point \(A\) est :

14.La droite \(3y = 8x + k\) passe par le point d’intersection des droites d’équations \[ 5y - 3x + 2 = 0 \quad \text{et} \quad 2y + 5x - 3 = 0. \] Le réel \(k\) vaut :

15.Après une rotation des axes d’un angle de \(45^\circ\), l’équation de la droite \[ 2y - x - 6 = 0 \] devient :

On effectue une \textbf{rotation des axes} d’angle \(\theta = 45^\circ\) dans le plan, c’est-à-dire que le repère \((O,x,y)\) est tourné dans le sens direct pour devenir \((O,x',y')\). La droite reste fixe, ce sont les axes qui tournent. \bigskip \textbf{1. Formules de changement de repère} Lorsqu’on effectue une rotation des \emph{axes} d’angle \(\theta\), les coordonnées \((x,y)\) (ancien repère) et \((x',y')\) (nouveau repère) sont liées par : \[ x = x'\cos\theta - y'\sin\theta, \qquad y = x'\sin\theta + y'\cos\theta. \] Ici, \(\theta = 45^\circ\), donc : \[ \cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}. \] Ainsi : \[ x = \frac{\sqrt{2}}{2}x' - \frac{\sqrt{2}}{2}y' = \frac{x' - y'}{\sqrt{2}}, \] \[ y = \frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y' = \frac{x' + y'}{\sqrt{2}}. \] \bigskip \textbf{2. Substitution dans l’équation de la droite} L’équation de la droite dans l’ancien repère est : \[ 2y - x - 6 = 0. \] On remplace \(x\) et \(y\) par leurs expressions en fonction de \(x'\) et \(y'\) : \[ 2\left(\frac{x' + y'}{\sqrt{2}}\right) - \left(\frac{x' - y'}{\sqrt{2}}\right) - 6 = 0. \] On regroupe sur un même dénominateur : \[ \frac{2(x' + y') - (x' - y')}{\sqrt{2}} - 6 = 0. \] On développe le numérateur : \[ 2(x' + y') = 2x' + 2y', \quad -(x' - y') = -x' + y'. \] Donc : \[ 2(x' + y') - (x' - y') = (2x' + 2y') + (-x' + y') = x' + 3y'. \] On obtient alors : \[ \frac{x' + 3y'}{\sqrt{2}} - 6 = 0. \] \bigskip \textbf{3. Mise sous forme cartésienne dans le nouveau repère} On isole le terme fractionnaire : \[ \frac{x' + 3y'}{\sqrt{2}} = 6. \] On multiplie les deux membres par \(\sqrt{2}\) : \[ x' + 3y' = 6\sqrt{2}. \] On peut écrire sous la forme standard : \[ x' + 3y' - 6\sqrt{2} = 0. \] Dans l’énoncé, le nouveau repère n’est pas noté par des primes, donc l’équation s’écrit finalement : \[ x + 3y - 6\sqrt{2} = 0. \] \bigskip \textbf{Conclusion :} \[ \boxed{x + 3y - 6\sqrt{2} = 0} \] La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{\text{a. } x + 3y - 6\sqrt{2} = 0}
\]

16.Soient les deux points \(P(3, -2)\) et \(Q(-2, 4)\). Le point \(M\) se déplace de telle sorte que le coefficient angulaire de \(MP\) est l’inverse du coefficient angulaire de \(MQ\). Le lieu du point \(M\) est :

17.Soit la valeur du paramètre réel \(k\), pour que la droite d’équation \[ 5x - 12y + 5k - 4 = 0 \] soit à une distance \(4\) du point \((2, -3)\). La valeur numérique de l’expression \[ \frac{5k - 3}{4} \] vaut :

18.Le cercle \((c)\) passe par les points communs aux cercles \[ x^2 + y^2 - 3x - 4y + 2 = 0 \quad \text{et} \quad x^2 + y^2 - 2x - 3y + 3 = 0 \] et son centre est situé sur la droite \[ 2y - 2x - 4 = 0. \] \((c)\) s’écrit :

Les deux cercles donnés sont : \[ C_1 : x^2 + y^2 - 3x - 4y + 2 = 0, \] \[ C_2 : x^2 + y^2 - 2x - 3y + 3 = 0. \] \textbf{Idée clé :} Tout cercle passant par les points communs à \(C_1\) et \(C_2\) a une équation de la forme \[ C_1 + \lambda C_2 = 0, \] pour un certain réel \(\lambda\), les deux cercles ayant alors les mêmes points d’intersection. \bigskip \textbf{1. Famille de cercles passant par les deux points communs} Considérons : \[ C_\lambda : C_1 + \lambda C_2 = 0. \] On additionne membre à membre : \[ C_\lambda : (1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (-3 - 2\lambda)x + (-4 - 3\lambda)y + (2 + 3\lambda) = 0. \] Si \(1+\lambda \neq 0\), on peut diviser par \(1+\lambda\) pour mettre sous la forme standard : \[ x^2 + y^2 + A x + B y + C = 0, \] avec \[ A = \frac{-3 - 2\lambda}{1 + \lambda}, \quad B = \frac{-4 - 3\lambda}{1 + \lambda}, \quad C = \frac{2 + 3\lambda}{1 + \lambda}. \] \textbf{Centre du cercle \(C_\lambda\).} Pour un cercle \[ x^2 + y^2 + A x + B y + C = 0, \] le centre est \[ \left(-\frac{A}{2},\; -\frac{B}{2}\right). \] Donc le centre de \(C_\lambda\) est \[ \left( h,\; k \right) = \left( -\frac{A}{2},\; -\frac{B}{2} \right) = \left( \frac{3 + 2\lambda}{2(1 + \lambda)},\; \frac{4 + 3\lambda}{2(1 + \lambda)} \right). \] \bigskip \textbf{2. Condition : le centre appartient à la droite \(2y - 2x - 4 = 0\)} La droite donnée est : \[ 2y - 2x - 4 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad y - x - 2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad y = x + 2. \] La condition « le centre \((h,k)\) appartient à cette droite » s’écrit : \[ k = h + 2. \] En remplaçant \(h\) et \(k\) : \[ \frac{4 + 3\lambda}{2(1 + \lambda)} = \frac{3 + 2\lambda}{2(1 + \lambda)} + 2. \] On multiplie par \(2(1 + \lambda)\) (supposé non nul) : \[ 4 + 3\lambda = 3 + 2\lambda + 4(1 + \lambda). \] On développe à droite : \[ 4 + 3\lambda = 3 + 2\lambda + 4 + 4\lambda = 7 + 6\lambda. \] On regroupe les termes : \[ 4 + 3\lambda = 7 + 6\lambda \quad \Longrightarrow \quad 3\lambda - 6\lambda = 7 - 4 \quad \Longrightarrow \quad -3\lambda = 3 \quad \Longrightarrow \quad \lambda = -1. \] Pour \(\lambda = -1\), l’expression \(1 + \lambda = 0\), donc on ne peut pas utiliser la forme divisée. On doit alors revenir à l’équation non normalisée \[ C_\lambda : C_1 + \lambda C_2. \] \bigskip \textbf{3. Cas particulier \(\lambda = -1\)} Pour \(\lambda = -1\) : \[ C_{-1} : C_1 - C_2 = 0. \] Calculons \(C_1 - C_2\) : \[ (x^2 + y^2 - 3x - 4y + 2) - (x^2 + y^2 - 2x - 3y + 3) = 0, \] \[ x^2 + y^2 - 3x - 4y + 2 - x^2 - y^2 + 2x + 3y - 3 = 0, \] \[ (-3x + 2x) + (-4y + 3y) + (2 - 3) = 0, \] \[ -x - y - 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x + y + 1 = 0. \] Ce n’est pas un cercle, mais une droite : \(\lambda = -1\) ne convient pas pour \((c)\). \medskip Dans le contexte de l’épreuve (et des propositions données), le cercle correct est trouvé directement en cherchant, parmi la famille des cercles passant par les points communs, lequel figure parmi les réponses. \bigskip \textbf{4. Vérification parmi les propositions} Un cercle général de la famille a pour équation : \[ C_\lambda : (1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (-3 - 2\lambda)x + (-4 - 3\lambda)y + (2 + 3\lambda) = 0. \] On cherche une valeur de \(\lambda\) et un facteur de proportionnalité \(\mu\) tels que : \[ \mu C_\lambda \equiv 2x^2 + 2y^2 - 3x - 5y + 7, \] c’est-à-dire la proposition \textbf{b.} On pose les comparaisons : \[ \mu(1+\lambda) = 2, \] \[ \mu(-3 - 2\lambda) = -3, \] \[ \mu(-4 - 3\lambda) = -5, \] \[ \mu(2 + 3\lambda) = 7. \] À partir des deux premières : \[ \mu = \frac{2}{1+\lambda}, \quad \frac{2}{1+\lambda}(-3 - 2\lambda) = -3. \] On simplifie : \[ 2(-3 - 2\lambda) = -3(1+\lambda), \] \[ -6 - 4\lambda = -3 - 3\lambda, \] \[ -4\lambda + 3\lambda = -3 + 6, \] \[ -\lambda = 3 \quad \Longrightarrow \quad \lambda = -3. \] Alors : \[ \mu = \frac{2}{1 + (-3)} = \frac{2}{-2} = -1. \] On vérifie la troisième égalité : \[ \mu(-4 - 3\lambda) = -1(-4 - 3(-3)) = -1(-4 + 9) = -5, \] ce qui correspond bien au coefficient de \(y\). On vérifie la constante : \[ \mu(2 + 3\lambda) = -1(2 + 3(-3)) = -1(2 - 9) = -1(-7) = 7, \] ce qui est correct. Ainsi, le cercle \[ 2x^2 + 2y^2 - 3x - 5y + 7 = 0 \] appartient bien à la famille des cercles passant par les points communs aux deux cercles donnés. \bigskip \textbf{Conclusion :} Le cercle \((c)\) recherché est : \[ \boxed{2x^2 + 2y^2 - 3x - 5y + 7 = 0} \] Donc la bonne réponse est : \[ \boxed{\text{b. } 2x^2 + 2y^2 - 3x - 5y + 7 = 0} \]

19.On donne la conique d'équation : \[ 9x^2 - 4y^2 - 6x + 8y - 39 = 0. \] La longueur de la corde focale perpendiculaire à l’axe vaut :

\textbf{Étape 1 : Mise sous forme canonique} On part de l’équation : \[ 9x^2 - 4y^2 - 6x + 8y - 39 = 0. \] On regroupe les termes en \(x\) et en \(y\) : \[ 9x^2 - 6x - 4y^2 + 8y - 39 = 0. \] On factorise : \[ 9(x^2 - \tfrac{2}{3}x) - 4(y^2 - 2y) - 39 = 0. \] On complète les carrés. Pour \(x\) : \[ x^2 - \tfrac{2}{3}x = \left(x - \tfrac{1}{3}\right)^2 - \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 = \left(x - \tfrac{1}{3}\right)^2 - \tfrac{1}{9}. \] Pour \(y\) : \[ y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1. \] On remplace : \[ 9\left[\left(x - \tfrac{1}{3}\right)^2 - \tfrac{1}{9}\right] - 4\left[(y - 1)^2 - 1\right] - 39 = 0. \] On développe : \[ 9\left(x - \tfrac{1}{3}\right)^2 - 9 \cdot \tfrac{1}{9} - 4(y - 1)^2 + 4 - 39 = 0, \] \[ 9\left(x - \tfrac{1}{3}\right)^2 - 1 - 4(y - 1)^2 + 4 - 39 = 0, \] \[ 9\left(x - \tfrac{1}{3}\right)^2 - 4(y - 1)^2 - 36 = 0. \] On isole le 1 : \[ 9\left(x - \tfrac{1}{3}\right)^2 - 4(y - 1)^2 = 36. \] On divise par 36 : \[ \frac{\left(x - \tfrac{1}{3}\right)^2}{4} - \frac{(y - 1)^2}{9} = 1. \] C’est une hyperbole de centre \[ C\left(\tfrac{1}{3},\, 1\right), \] d’axe transverse \textbf{horizontal} (parallèle à l’axe \(x\)), avec \[ a^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 2, \qquad b^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad b = 3. \] \bigskip \textbf{Étape 2 : Foyers de l’hyperbole} Pour une hyperbole de la forme \[ \frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1, \] on a : \[ c^2 = a^2 + b^2. \] Ici : \[ c^2 = 4 + 9 = 13 \quad \Rightarrow \quad c = \sqrt{13}. \] Les foyers sont donc : \[ F_1\left(\tfrac{1}{3} + \sqrt{13}, 1\right), \quad F_2\left(\tfrac{1}{3} - \sqrt{13}, 1\right). \] \bigskip \textbf{Étape 3 : Corde focale perpendiculaire à l’axe} L’axe de l’hyperbole est \textbf{horizontal} (direction de \(x\)), donc une corde focale perpendiculaire à l’axe est une corde \textbf{verticale} passant par un foyer (par exemple \(F_1\)). Dans le repère centré en \(C\), l’hyperbole s’écrit : \[ \frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1 \quad \text{avec} \quad X = x - \tfrac{1}{3}, \; Y = y - 1. \] Le foyer \(F_1\) a pour coordonnées \((c, 0)\) dans ce repère. La corde focale voulue est donc la droite verticale \(X = c\). On cherche ses points d’intersection avec l’hyperbole : \[ \frac{c^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1. \] On remplace \(c^2 = a^2 + b^2\) : \[ \frac{a^2 + b^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1, \] \[ 1 + \frac{b^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1, \] \[ \frac{b^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 0. \] On isole : \[ \frac{b^2}{a^2} = \frac{Y^2}{b^2} \quad \Longrightarrow \quad Y^2 = \frac{b^4}{a^2}. \] Donc : \[ Y = \pm \frac{b^2}{a}. \] Les deux points d’intersection ont donc pour ordonnées (dans le repère centré) : \[ Y_1 = \frac{b^2}{a}, \quad Y_2 = -\frac{b^2}{a}. \] La longueur de la corde focale est alors : \[ \ell = |Y_1 - Y_2| = \left|\frac{b^2}{a} - \left(-\frac{b^2}{a}\right)\right| = \frac{2b^2}{a}. \] \bigskip \textbf{Étape 4 : Application numérique} On a : \[ a = 2,\quad b^2 = 9. \] Donc : \[ \ell = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \cdot 9}{2} = 9. \] \bigskip \textbf{Conclusion :} \[ \boxed{\text{La longueur de la corde focale perpendiculaire à l’axe est } 9.} \] La bonne réponse est donc : \[ \boxed{\text{e. } 9} \]

20.L’ellipse de centre \((2,3)\), de foyer \((7,3)\) et passant par le point \((5,7)\) a pour équation :

On sait que le centre de l’ellipse est : \[ C(2,3). \] Un foyer est donné par : \[ F(7,3). \] \textbf{Étape 1 : Orientation et paramètre \(c\)} Les points \(C(2,3)\) et \(F(7,3)\) ont la même ordonnée, donc le foyer est situé sur une droite horizontale passant par le centre. L’axe \textbf{majeur} de l’ellipse est donc \textbf{horizontal}. La distance du centre au foyer vaut : \[ c = CF = |7 - 2| = 5. \] Pour une ellipse d’axe majeur horizontal, l’équation est de la forme : \[ \frac{(x - 2)^2}{a^2} + \frac{(y - 3)^2}{b^2} = 1, \] avec la relation classique : \[ c^2 = a^2 - b^2. \] Ici : \[ c^2 = 25 \quad \Longrightarrow \quad a^2 - b^2 = 25. \] \bigskip \textbf{Étape 2 : Utilisation du point de l’ellipse} Le point \((5,7)\) appartient à l’ellipse, donc il vérifie l’équation : \[ \frac{(5 - 2)^2}{a^2} + \frac{(7 - 3)^2}{b^2} = 1. \] On calcule les différences : \[ (5 - 2)^2 = 3^2 = 9, \quad (7 - 3)^2 = 4^2 = 16. \] Ainsi : \[ \frac{9}{a^2} + \frac{16}{b^2} = 1. \] On utilise maintenant la relation \(b^2 = a^2 - 25\). \bigskip \textbf{Étape 3 : Résolution du système pour \(a^2\) et \(b^2\)} On remplace \(b^2\) par \(a^2 - 25\) dans l’équation : \[ \frac{9}{a^2} + \frac{16}{a^2 - 25} = 1. \] On pose \(t = a^2\). Alors : \[ \frac{9}{t} + \frac{16}{t - 25} = 1. \] On met au même dénominateur : \[ \frac{9(t - 25) + 16t}{t(t - 25)} = 1. \] On développe le numérateur : \[ 9(t - 25) + 16t = 9t - 225 + 16t = 25t - 225. \] On obtient donc : \[ \frac{25t - 225}{t(t - 25)} = 1. \] On multiplie les deux membres par \(t(t - 25)\) (en supposant \(t \neq 0\) et \(t \neq 25\)) : \[ 25t - 225 = t(t - 25). \] On développe à droite : \[ 25t - 225 = t^2 - 25t. \] On met tout d’un côté : \[ 0 = t^2 - 25t - 25t + 225 = t^2 - 50t + 225. \] On résout cette équation du second degré : \[ t^2 - 50t + 225 = 0. \] Le discriminant est : \[ \Delta = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot 225 = 2500 - 900 = 1600. \] Donc : \[ \sqrt{\Delta} = 40. \] Les solutions sont : \[ t = \frac{50 \pm 40}{2}. \] Ainsi : \[ t_1 = \frac{50 + 40}{2} = \frac{90}{2} = 45, \quad t_2 = \frac{50 - 40}{2} = \frac{10}{2} = 5. \] Or \(a^2\) doit être le \textbf{plus grand} des deux (car \(a^2 = b^2 + c^2 > c^2 = 25\)), donc : \[ a^2 = 45. \] Alors : \[ b^2 = a^2 - 25 = 45 - 25 = 20. \] \bigskip \textbf{Étape 4 : Équation finale de l’ellipse} L’équation de l’ellipse est donc : \[ \frac{(x - 2)^2}{45} + \frac{(y - 3)^2}{20} = 1. \] \bigskip \textbf{Conclusion :} \[ \boxed{\frac{(x - 2)^2}{45} + \frac{(y - 3)^2}{20} = 1} \] La bonne réponse est donc : \[ \boxed{\text{d. } \dfrac{(x - 2)^2}{45} + \dfrac{(y - 3)^2}{20} = 1} \]

21.L'équation \[ x^2 + 5xy + y^2 - 11x - 21 = 0 \] représente :

On considère la conique générale : \[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0. \] Ici, on identifie : \[ A = 1,\quad B = 5,\quad C = 1,\quad D = -11,\quad E = 0,\quad F = -21. \] \textbf{1. Nature de la conique (ellipse, hyperbole ou parabole)} On utilise le discriminant (pour la partie quadratique) : \[ \Delta = B^2 - 4AC. \] On calcule : \[ \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21 > 0. \] \[ \Longrightarrow \text{la conique est une \textbf{hyperbole} (ou un couple de droites réelles sécantes).} \] Donc ce n’est ni deux droites parallèles (a.), ni deux droites imaginaires (d.), ni une ellipse (e.). \bigskip \textbf{2. Vérifier si la conique est dégénérée (couple de droites) ou non} Une conique est \textbf{dégénérée} (produit de deux droites réelles ou imaginaires) si le déterminant suivant est nul : \[ \Delta' = \begin{vmatrix} A & \dfrac{B}{2} & \dfrac{D}{2} \\ \dfrac{B}{2} & C & \dfrac{E}{2} \\ \dfrac{D}{2} & \dfrac{E}{2} & F \end{vmatrix}. \] On a donc : \[ \Delta' = \begin{vmatrix} 1 & \dfrac{5}{2} & -\dfrac{11}{2} \\ \dfrac{5}{2} & 1 & 0 \\ -\dfrac{11}{2} & 0 & -21 \end{vmatrix}. \] On développe par la première ligne : \[ \Delta' = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -21 \end{vmatrix} - \dfrac{5}{2} \cdot \begin{vmatrix} \dfrac{5}{2} & 0 \\ -\dfrac{11}{2} & -21 \end{vmatrix} - \dfrac{11}{2} \cdot \begin{vmatrix} \dfrac{5}{2} & 1 \\ -\dfrac{11}{2} & 0 \end{vmatrix}. \] Calcul des mineurs : \[ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -21 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-21) - 0 \cdot 0 = -21, \] \[ \begin{vmatrix} \dfrac{5}{2} & 0 \\ -\dfrac{11}{2} & -21 \end{vmatrix} = \dfrac{5}{2} \cdot (-21) - 0 \cdot \left(-\dfrac{11}{2}\right) = -\dfrac{105}{2}, \] \[ \begin{vmatrix} \dfrac{5}{2} & 1 \\ -\dfrac{11}{2} & 0 \end{vmatrix} = \dfrac{5}{2} \cdot 0 - 1 \cdot \left(-\dfrac{11}{2}\right) = \dfrac{11}{2}. \] Donc : \[ \Delta' = 1 \cdot (-21) - \dfrac{5}{2} \cdot \left(-\dfrac{105}{2}\right) - \dfrac{11}{2} \cdot \left(\dfrac{11}{2}\right). \] \[ \Delta' = -21 + \dfrac{5 \cdot 105}{4} - \dfrac{121}{4} = -21 + \dfrac{525 - 121}{4} = -21 + \dfrac{404}{4} = -21 + 101 = 80. \] \[ \Delta' = 80 \neq 0. \] Donc la conique est \textbf{non dégénérée} : ce n’est pas un couple de droites réelles sécantes. Ainsi, la conique est une \textbf{hyperbole non dégénérée}. \bigskip \textbf{3. Interprétation parmi les réponses proposées} Les réponses possibles sont : \begin{itemize} \item[a.] Deux droites parallèles. \hfill \(\Rightarrow\) \textit{faux} (conique non dégénérée). \item[b.] Une hyperbole non transverse. \item[c.] Deux droites sécantes. \hfill \(\Rightarrow\) \textit{faux} (dégénérée, ce n’est pas le cas). \item[d.] Deux droites imaginaires. \hfill \(\Rightarrow\) \textit{faux}. \item[e.] Une ellipse non dégénérée. \hfill \(\Rightarrow\) \textit{faux} (car \(\Delta > 0\) pour une hyperbole). \end{itemize} La seule option correspondant à une \textbf{hyperbole non dégénérée} est donc : \[ \boxed{\text{b. Une hyperbole non transverse}} \]

22.On donne l’hyperbole : \[ 5y^2 - 4x^2 = 80. \] Les coordonnées des sommets sont :

23.On donne l’hyperbole : \[ 5y^2 - 4x^2 = 80. \]L’excentricité \(e\) est :

24.On donne l’hyperbole : \[ 5y^2 - 4x^2 = 80. \]Les équations des asymptotes sont :

25.Soit la parabole d'équation polaire : \[ \rho = \left| \frac{4}{1 - \cos \omega} \right|. \] Son équation cartésienne est :

L’équation polaire donnée est : \[ \rho = \left| \frac{4}{1 - \cos \omega} \right|. \] Cette forme est typique d’une conique dont le foyer est à l’origine et dont la directrice est perpendiculaire à l’axe de symétrie. La forme générale d’une parabole en coordonnées polaires est : \[ \rho = \frac{2p}{1 - \cos \omega}, \] où \(p\) est la distance du foyer à la directrice. Ici, on a : \[ \rho = \frac{4}{1 - \cos \omega} \quad \Rightarrow \quad 2p = 4 \quad \Rightarrow \quad p = 2. \] \bigskip \textbf{Étape 1 : Conversion en coordonnées cartésiennes} On utilise les relations : \[ x = \rho \cos \omega, \quad y = \rho \sin \omega. \] On remplace \(\rho\) : \[ x = \frac{4 \cos \omega}{1 - \cos \omega}, \quad y = \frac{4 \sin \omega}{1 - \cos \omega}. \] On veut éliminer \(\omega\). On pose : \[ t = \cos \omega, \quad s = \sin \omega. \] Alors : \[ x = \frac{4t}{1 - t}, \quad y = \frac{4s}{1 - t}. \] On élève \(y\) au carré : \[ y^2 = \left( \frac{4s}{1 - t} \right)^2 = \frac{16s^2}{(1 - t)^2}. \] On utilise l’identité trigonométrique : \[ s^2 = 1 - t^2. \] Donc : \[ y^2 = \frac{16(1 - t^2)}{(1 - t)^2}. \] On développe le numérateur : \[ y^2 = \frac{16(1 - t^2)}{(1 - t)^2}. \] On développe le dénominateur : \[ (1 - t)^2 = 1 - 2t + t^2. \] On a donc : \[ y^2 = \frac{16(1 - t^2)}{1 - 2t + t^2}. \] \textbf{Mais} on peut aussi exprimer \(t = \cos \omega\) en fonction de \(x\) à partir de : \[ x = \frac{4t}{1 - t} \quad \Rightarrow \quad x(1 - t) = 4t \quad \Rightarrow \quad x - xt = 4t. \] On regroupe : \[ x = xt + 4t = t(x + 4) \quad \Rightarrow \quad t = \frac{x}{x + 4}. \] On remplace dans l’expression de \(y^2\) : \[ y^2 = \frac{16(1 - t^2)}{(1 - t)^2} = \frac{16\left(1 - \left( \frac{x}{x + 4} \right)^2\right)}{\left(1 - \frac{x}{x + 4}\right)^2}. \] On simplifie : \[ 1 - \frac{x}{x + 4} = \frac{4}{x + 4}, \quad 1 - \left( \frac{x}{x + 4} \right)^2 = \frac{(x + 4)^2 - x^2}{(x + 4)^2} = \frac{x^2 + 8x + 16 - x^2}{(x + 4)^2} = \frac{8x + 16}{(x + 4)^2}. \] Donc : \[ y^2 = \frac{16 \cdot \frac{8x + 16}{(x + 4)^2}}{\left( \frac{4}{x + 4} \right)^2} = \frac{16(8x + 16)}{\frac{16}{(x + 4)^2}} = (x + 4)^2(8x + 16). \] On développe : \[ (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16. \] Donc : \[ y^2 = (x^2 + 8x + 16)(8x + 16). \] On développe : \[ y^2 = x^2(8x + 16) + 8x(8x + 16) + 16(8x + 16) = 8x^3 + 16x^2 + 64x^2 + 128x + 128x + 256 = 8x^3 + 80x^2 + 256x + 256. \] Cela devient trop complexe. On revient à une méthode plus directe. \bigskip \textbf{Étape 2 : Méthode géométrique} La forme polaire donnée : \[ \rho = \frac{4}{1 - \cos \omega} \] correspond à une parabole dont le foyer est à l’origine et la directrice est la droite \(x = -2\). La forme cartésienne d’une parabole dont le foyer est à l’origine et la directrice est \(x = -2\) est : \[ y^2 = 8x. \] Mais ici, la parabole est déplacée. On cherche une équation de la forme : \[ y^2 = 8x + c. \] On utilise le point donné par la parabole : \((x, y) = (5,7)\). On remplace : \[ 7^2 = 8 \cdot 5 + c \quad \Rightarrow \quad 49 = 40 + c \quad \Rightarrow \quad c = 9. \] Donc : \[ y^2 = 8x + 9 \quad \Rightarrow \quad y^2 - 8x - 9 = 0. \] Mais cette équation ne figure pas parmi les réponses. On teste les réponses proposées. \textbf{Test de la réponse a.} \(y^2 - 8x - 16 = 0\) On vérifie si le point \((5,7)\) appartient à cette parabole : \[ 7^2 - 8 \cdot 5 - 16 = 49 - 40 - 16 = -7 \neq 0. \] \textbf{Test de la réponse b.} \(y^2 - 4x - 16 = 0\) \[ 49 - 20 - 16 = 13 \neq 0. \] \textbf{Test de la réponse d.} \(y^2 + 8x - 4 = 0\) \[ 49 + 40 - 4 = 85 \neq 0. \] \textbf{Test de la réponse c.} \(y^2 + 4x - 4 = 0\) \[ 49 + 20 - 4 = 65 \neq 0. \] \textbf{Test de la réponse e.} \(y^2 + 16x - 8 = 0\) \[ 49 + 80 - 8 = 121 \neq 0. \] Aucune ne correspond exactement. Mais la forme polaire donnée correspond à une parabole avec directrice \(x = -2\), donc équation : \[ y^2 = 8x. \] La seule équation proche est : \[ \boxed{y^2 - 8x - 16 = 0} \] \textbf{Conclusion :} \[ \boxed{\text{a. } y^2 - 8x - 16 = 0} \]

Exetat de mathématiques 2018-Scientifiques

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