1.La courbe \( (C) \) représente un cercle tangent à la droite \[ (d):\ 2y - 3x + 7 = 0 \] au point \( A(-1,2) \) et passant par le point \( B(1,4) \). On cherche l’équation de \( (C) \).
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2.Soit la fonction : \[ f(x) = \left(e^{3x} - 2x\right)^{\frac{1}{4x}} \] On note \( A = \lim_{x \to 0} f(x) \). La valeur de \( A \) est :
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3.La fonction \( f \) est définie par : \[ f(x) = \ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) \] On cherche la valeur du nombre dérivé \( f'(1) \).
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4.La conique \((C)\) d'équation \[ y^2 + 4x^2 - 16x + 6y - 11 = 0 \] est donnée dans le système \((Oxy)\). Les axes sont transportés parallèlement à eux-mêmes et la nouvelle origine \(A(a,b)\) est le centre de \((C)\). \((C')\) est la conique transformée de \((C)\). \((C')\) a pour équation :
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5. L’ensemble solution de l’inéquation : \[ 2\ln^2x - 7\ln x + 5 \leq 0 \] est :
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6.L'équation : \[ x^2 + 5xy + y^2 - 11x - 21 = 0 \] représente :
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7.l’aire délimitée par la parabole d’équation : \[ y^2 + x - 4 = 0 \] et l’axe des ordonnées. En unité de surface, \(A\) vaut :
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8.La courbe \((C)\) représente un cercle qui passe par les points d’intersection des cercles : \[ (C_1) : x^2 + y^2 - 3x - 4y + 2 = 0 \quad \text{et} \quad (C_2) : x^2 + y^2 - 2x - 3y + 3 = 0 \] dont le centre a pour abscisse \(2\). \((C)\) a pour équation :
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9.Avec la formule de développement en série de Mac-Laurin, le terme général : \[ (-1)^k \cdot \frac{x^k}{k!} \] permet de développer la fonction \(f\). La fonction \(f(x) =\)
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10.La courbe \((E)\) est une ellipse de centre \(C(1,2)\), de foyer \(F(6,2)\) et passe par le point \(B(4,6)\). La courbe \((E)\) a pour équation :
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11.Soit \(V\) le volume engendré par la rotation autour de l’axe \(Ox\), de l’aire limitée par la courbe \((C)\) d’équation : \[ x^2 + 9y^2 - 9 = 0 \] et l’axe des abscisses. En unités de volume, \(V\) vaut :
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12. La conique \((C)\) est définie en coordonnées paramétriques : \[ x = 2\sin^4\theta \quad \text{et} \quad y = 2\cos^4\theta \] En coordonnées cartésiennes, \((C)\) a pour équation :
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13.Conique donnée : \[ (C) : 4y^2 - x^2 - 6x - 16y + 11 = 0 \]\bigskip \((C)\) admet pour asymptotes les droites d’équations :
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14.Conique donnée : \[ (C) : 4y^2 - x^2 - 6x - 16y + 11 = 0 \]\textbf{14.} Les sommets de \((C)\) ont pour coordonnées :
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15.La parabole d’équation : \[ y^2 - 4y + 6x - 8 = 0 \] admet le point \(S(a,b)\) pour sommet et le point \(F(c,d)\) pour foyer. Respectivement, \((a,b)\) et \((c,d)\) valent :
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16.La droite \((d)\) passe par le point \(P(2,3)\) et de telle sorte que son abscisse à l’origine vaille le triple de son ordonnée à l’origine. La droite \((d)\) a pour équation :
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17.On donne la famille des coniques : \[ xy + \lambda y + x = 0 \] Les lieux des sommets de cette famille sont des paraboles. Ces paraboles ont pour équations :
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18.La courbe \((C)\) d’équation : \[ y^2 + 2xy - x^2 - 4y + 2x - 4 = 0 \] admet une normale \((n)\) au point \(N(2, -2)\). La normale \((n)\) a pour équation :
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19.Dans l’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, l’équation : \[ z^3 - (1 + 8i)z^2 - (7 - 17i)z + 30 - 10i^{53} = 0 \] admet \(z_1, z_2, z_3\) pour racines, dont l’une est imaginaire pure et \( \text{Re}(z_1) < \text{Re}(z_2) < \text{Re}(z_3) \).Les points images \(P_1, P_2, P_3\) de \(z_1, z_2, z_3\) forment le triangle \(P_1P_2P_3\). La hauteur issue de \(P_2\) a pour équation :
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20.Dans l’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, l’équation : \[ z^3 - (1 + 8i)z^2 - (7 - 17i)z + 30 - 10i^{53} = 0 \] admet \(z_1, z_2, z_3\) pour racines, dont l’une est imaginaire pure et \( \text{Re}(z_1) < \text{Re}(z_2) < \text{Re}(z_3) \). Le nombre \(\dfrac{z_2 - z_1}{z_2}\) est :
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21.Dans l’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, l’équation : \[ z^3 - (1 + 8i)z^2 - (7 - 17i)z + 30 - 10i^{53} = 0 \] admet \(z_1, z_2, z_3\) pour racines, dont l’une est imaginaire pure et \( \text{Re}(z_1) < \text{Re}(z_2) < \text{Re}(z_3) \).Le module de \(z_3\) est :
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22.Soit \(K\) la limite de la fonction : \[ f(x) = \left( \frac{3x + 2}{3x - 1} \right)^2 \] lorsque \(x \to +\infty\). Le nombre \(K\) vaut :
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23.Soit la fonction : \[ f(x) = x \cdot \text{Arctg}(x) \] On note \(A\) et \(B\) les coefficients normaux des deux premiers termes du développement de Maclaurin de \(f(x)\). Le nombre \(B - A\) vaut :
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24.\textbf{Loi définie sur } \(\mathbb{R}^2\) : \[ (x, y) \perp (x', y') = (xx', xy' + y) \] On donne : - \((e_1, e_2)\) est l’élément neutre - \((a, b)\) est le symétrique de \((-3, 4)\) - \((c, d)\) est l’opposé de \((a, b)\) Le nombre \(\dfrac{ac - bd}{ab + cd}\) vaut :
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25.\textbf{Loi définie sur } \(\mathbb{R}^2\) : \[ (x, y) \perp (x', y') = (xx', xy' + y) \] On donne : - \((e_1, e_2)\) est l’élément neutre - \((a, b)\) est le symétrique de \((-3, 4)\) - \((c, d)\) est l’opposé de \((a, b)\) L’élément neutre a pour réciproque le couple :
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