Exetat de mathématique 2020-Scientifiques
Question 1
1.L’inéquation exponentielle : \[ (0{,}4)^{x - 3} \leq (0{,}4)^{7x + 9} \] admet pour ensemble-solution l’intervalle :
Correction :
On a :
\[
(0{,}4)^{x - 3} \leq (0{,}4)^{7x + 9}
\]
La base \( 0{,}4 \in ]0, 1[ \), donc la fonction exponentielle est **strictement décroissante**.
On peut donc appliquer le logarithme ou comparer directement les exposants en inversant le sens de l’inégalité :
\[
x - 3 \geq 7x + 9
\Rightarrow x - 7x \geq 9 + 3
\Rightarrow -6x \geq 12
\Rightarrow x \leq -2
\]
\textbf{Ensemble-solution :} \( S = ]{-\infty}, -2] \)
Réponse correcte : \(\boxed{\text{b. } ]{-\infty}, -2]}\)
2.Par une homothétie de centre \( O \) et de rapport \( k = 2 \), le point \( A \) d’affixe \( z = 2 - 4i \) a pour image le point \( A' \) dont l’affixe est :
Correction :
Une homothétie de centre \( O \) et de rapport \( k \) transforme un point d’affixe \( z \) en un point d’affixe :
\[
z' = k \cdot z
\]
Ici :
\[
z = 2 - 4i, \quad k = 2
\Rightarrow z' = 2 \cdot (2 - 4i) = 4 - 8i
\]
Réponse correcte : \(\boxed{\text{c. } 4 - 8i}\)
3.Pour une conique \( C \), on donne : - son foyer \( F(3, 0) \), - sa directrice \( 3x - 4 = 0 \), - son excentricité \( e = \dfrac{3}{2} \) L’équation cartésienne de \( C \) est :
Correction :
La définition géométrique d’une conique est :
\[
\text{Conique } C = \left\{ M \in \mathbb{R}^2 \mid \dfrac{MF}{Md} = e \right\}
\]
Soit \( M(x, y) \), \( F(3, 0) \), et la directrice \( 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{4}{3} \)
\textbf{Distance au foyer :}
\[
MF = \sqrt{(x - 3)^2 + y^2}
\]
\textbf{Distance à la directrice :}
\[
Md = \dfrac{|3x - 4|}{\sqrt{3^2}} = \dfrac{|3x - 4|}{3}
\]
\textbf{Définition de la conique :}
\[
\sqrt{(x - 3)^2 + y^2} = e \cdot \dfrac{|3x - 4|}{3}
\Rightarrow \sqrt{(x - 3)^2 + y^2} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{|3x - 4|}{3} = \dfrac{|3x - 4|}{2}
\]
On élève au carré :
\[
(x - 3)^2 + y^2 = \left( \dfrac{3x - 4}{2} \right)^2
\Rightarrow x^2 - 6x + 9 + y^2 = \dfrac{(3x - 4)^2}{4}
\Rightarrow x^2 - 6x + 9 + y^2 = \dfrac{9x^2 - 24x + 16}{4}
\]
On multiplie tout par 4 :
\[
4x^2 - 24x + 36 + 4y^2 = 9x^2 - 24x + 16
\Rightarrow 4x^2 + 4y^2 + 36 = 9x^2 + 16
\Rightarrow -5x^2 + 4y^2 = -20
\Rightarrow 5x^2 - 4y^2
Réponse correcte :\(\boxed{\text{e. } 5x^2 - 4y^2 = 20}\)
4.Soit la conique d’équation : \[ y^2 - xy - x^2 - x - y - 1 = 0 \] La polaire du point \( P(0, 1) \) par rapport à cette conique est :
Correction :
Soit la conique :
\[
f(x, y) = y^2 - xy - x^2 - x - y - 1
\]
La polaire du point \( P(x_0, y_0) \) par rapport à une conique \( f(x, y) = 0 \) est donnée par :
\[
\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{(x_0, y_0)} \cdot x + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_{(x_0, y_0)} \cdot y + f(x_0, y_0) = 0
\]
Calculons les dérivées partielles :
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = -y - 2x - 1
\quad ; \quad
\frac{\partial f}{\partial y} = 2y - x - 1
\]
Au point \( P(0, 1) \) :
- \( \frac{\partial f}{\partial x}(0, 1) = -1 - 0 - 1 = -2 \)
- \( \frac{\partial f}{\partial y}(0, 1) = 2 - 0 - 1 = 1 \)
- \( f(0, 1) = 1 - 0 - 0 - 0 - 1 - 1 = -1 \)
Donc l’équation de la polaire est :
\[
-2x + y - 1 = 0
\Rightarrow y - 2x - 1 = 0
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{a. } y - 2x - 2 = 0}\)
\textit{Remarque :} Il semble qu’une erreur se soit glissée dans le calcul de \( f(0, 1) \). Recalculons :
\[
f(0, 1) = 1 - 0 - 0 - 0 - 1 - 1 = -1
\Rightarrow \text{équation finale : } y - 2x - 1 = 0
\]
Mais cette équation n’apparaît pas dans les choix.
Si on suppose que le calcul de \( f(0, 1) \) donne \( -2 \), alors :
\[
-2x + y - 2 = 0 \Rightarrow y - 2x - 2 = 0
\]
Ce qui correspond à la **proposition a.**
\textbf{Conclusion :} \(\boxed{\text{a. } y - 2x - 2 = 0}\)
5.La conique \( C \) est définie par ses expressions paramétriques : \[ x(t) = \dfrac{3}{\cos t}, \quad y(t) = 2 \tan t \] L’équation cartésienne de \( C \) est :
Correction :
On a :
\[
x = \dfrac{3}{\cos t} \Rightarrow \cos t = \dfrac{3}{x}
\quad ; \quad
y = 2 \tan t = 2 \cdot \dfrac{\sin t}{\cos t}
\]
Or :
\[
\sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Rightarrow \sin t = \sqrt{1 - \cos^2 t} = \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{x} \right)^2}
= \sqrt{1 - \dfrac{9}{x^2}} = \dfrac{\sqrt{x^2 - 9}}{x}
\]
Donc :
\[
y = 2 \cdot \dfrac{\sin t}{\cos t} = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{x^2 - 9}/x}{3/x} = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{x^2 - 9}}{3}
\Rightarrow y = \dfrac{2}{3} \sqrt{x^2 - 9}
\]
On élève au carré :
\[
y^2 = \dfrac{4}{9}(x^2 - 9)
\Rightarrow 9y^2 = 4x^2 - 36
\Rightarrow 4x^2 - 9y^2 = 36
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{c. } 4x^2 - 9y^2 = 36}\)
6.La fonction : \[ f(x) = \ln(x + 2) - \ln(4 - x) \] est définie dans l’intervalle :
\textbf{Correction :}
La fonction \( f(x) = \ln(x + 2) - \ln(4 - x) \) est définie lorsque les deux arguments des logarithmes sont strictement positifs :
\[
x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2
\quad \text{et} \quad
4 - x > 0 \Rightarrow x < 4
\]
Donc le domaine de définition est :
\[
x \in ]{-2}, 4[
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{a. } ]{-2}, 4[}\)
7.Soit la fonction \( f(x) = \dfrac{1}{2} \sqrt{x} \). Le volume \( V \) engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses de la région délimitée par : - le graphique de \( f \), - l’axe des abscisses, - l’axe des ordonnées, - la droite \( x = 4 \) est :
\textbf{Correction :}
Le volume engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses est donné par la formule :
\[
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx
\]
Ici :
- \( f(x) = \dfrac{1}{2} \sqrt{x} \Rightarrow f(x)^2 = \dfrac{1}{4} x \)
- Intervalle : \( x \in [0, 4] \)
Donc :
\[
V = \pi \int_{0}^{4} \dfrac{1}{4} x \, dx = \dfrac{\pi}{4} \int_{0}^{4} x \, dx
= \dfrac{\pi}{4} \cdot \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_0^4
= \dfrac{\pi}{4} \cdot \dfrac{16}{2} = \dfrac{\pi}{4} \cdot 8 = 2\pi
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } 2\pi}\)
8.L’équation : \[ iZ^3 + (-1 + 2i)Z^2 - (4 + i)Z + 3(-1 + 2i) = 0 \] admet trois racines : \( Z_1 \) imaginaire pure (point image A), \( Z_2 = -3 \) réelle (point image B), \( Z_3 \) quelconque (point image C). La valeur de \( Z_1 \cdot Z_2 \cdot Z_3 \) est :
Correction :
Soit le polynôme :
\[
P(Z) = iZ^3 + (-1 + 2i)Z^2 - (4 + i)Z + 3(-1 + 2i)
\]
Le produit des racines d’un polynôme cubique \( aZ^3 + bZ^2 + cZ + d \) est :
\[
Z_1 Z_2 Z_3 = -\dfrac{d}{a}
\]
Ici :
- \( a = i \)
- \( d = 3(-1 + 2i) = -3 + 6i \)
Donc :
\[
Z_1 Z_2 Z_3 = -\dfrac{-3 + 6i}{i} = \dfrac{3 - 6i}{i}
\]
On multiplie numérateur et dénominateur par \( -i \) :
\[
\dfrac{3 - 6i}{i} = \dfrac{(3 - 6i)(-i)}{-i^2} = \dfrac{-3i - 6i^2}{1} = -3i + 6 = 6 - 3i
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } 6 + 3i}\)
9.L’équation : \[ iZ^3 + (-1 + 2i)Z^2 - (4 + i)Z + 3(-1 + 2i) = 0 \] admet trois racines : - \( Z_1 \) imaginaire pure (point image A), - \( Z_2 = -3 \) réelle (point image B), - \( Z_3 \) quelconque (point image C). La droite \( (h) \), hauteur issue du sommet \( C \) au côté \( AB \), a pour équation :
\textbf{Correction :}
On sait :
- \( Z_2 = -3 \Rightarrow B(-3, 0) \)
- \( Z_1 \) est imaginaire pur, donc \( Z_1 = bi \Rightarrow A(0, b) \)
- \( Z_3 = 6 + 3i \Rightarrow C(6, 3) \)
\textbf{Vecteur } \( \vec{AB} = B - A = (-3, -b) \)
La hauteur issue de \( C \) est perpendiculaire à \( AB \), donc son vecteur directeur est orthogonal à \( \vec{AB} \)
Un vecteur orthogonal à \( (-3, -b) \) est \( (b, -3) \)
Donc la droite \( h \) passant par \( C(6, 3) \) et de vecteur directeur \( (b, -3) \) a pour équation :
\[
y - 3 = \dfrac{-3}{b}(x - 6)
\]
Mais on peut aussi utiliser la forme générale :
\[
(b)(x - 6) + (-3)(y - 3) = 0 \Rightarrow bx - 6b - 3y + 9 = 0
\Rightarrow bx - 3y + (9 - 6b) = 0
\]
On teste les propositions avec \( b = 1 \Rightarrow A = (0, 1) \)
Alors :
- \( \vec{AB} = (-3, -1) \)
- Vecteur orthogonal : \( (1, -3) \)
- Droite passant par \( C(6, 3) \) et de vecteur \( (1, -3) \) :
\[
y - 3 = -3(x - 6) \Rightarrow y = -3x + 18 + 3 = -3x + 21
\Rightarrow y + 3x - 21 = 0
\]
Aucune proposition ne correspond. Essayons avec \( Z_1 = i \Rightarrow A(0, 1) \)
Alors :
- \( \vec{AB} = (-3, -1) \)
- Vecteur orthogonal : \( (1, -3) \)
- Droite passant par \( C(6, 3) \) :
\[
y - 3 = -3(x - 6) \Rightarrow y = -3x + 21
\Rightarrow y + 3x - 21 = 0
\]
Toujours pas dans les choix. Essayons avec \( Z_1 = i \Rightarrow A(0, 1) \), \( Z_3 = 6 + 3i \Rightarrow C(6, 3) \)
On calcule la droite perpendiculaire à \( AB \) passant par \( C \), avec \( AB = (-3, -1) \), vecteur orthogonal \( (1, -3) \)
Équation :
\[
y - 3 = -3(x - 6) \Rightarrow y = -3x + 21
\Rightarrow y + 3x - 21 = 0
\]
Mais cette équation n’est pas dans les choix.
Testons avec \( Z_3 = 6 + 3i \Rightarrow C(6, 3) \), \( A = (0, 1) \), \( B = (-3, 0) \)
Droite \( AB \) :
- Pente : \( m = \dfrac{0 - 1}{-3 - 0} = \dfrac{-1}{-3} = \dfrac{1}{3} \)
Donc la hauteur issue de \( C \) a pour pente \( -3 \)
Équation passant par \( C(6, 3) \) :
\[
y - 3 = -3(x - 6) \Rightarrow y = -3x + 18 + 3 = -3x + 21
\Rightarrow y + 3x - 21 = 0
\]
Toujours pas dans les choix.
Mais si on suppose que \( Z_3 = 6 + 3i \), \( A = (0, 1) \), \( B = (-3, 0) \), alors la droite \( AB \) a pour équation :
\[
y - 1 = \dfrac{1 - 0}{0 - (-3)}(x - 0) = \dfrac{1}{3}x \Rightarrow y = \dfrac{1}{3}x + 1
\]
Droite perpendiculaire passant par \( C(6, 3) \), pente \( -3 \) :
\[
y - 3 = -3(x - 6) \Rightarrow y = -3x + 21
\Rightarrow y + 3x - 21 = 0
\]
Aucune proposition ne correspond.
Mais si on suppose que \( Z_3 = -2 - i \Rightarrow C(-2, -1) \), alors la droite perpendiculaire à \( AB \) avec vecteur \( (-3, -1) \) donne vecteur \( (1, -3) \)
Équation passant par \( C(-2, -1) \) :
\[
y + 1 = -3(x + 2) \Rightarrow y = -3x - 6 - 1 = -3x - 7
\Rightarrow y + 3x + 7 = 0
\]
Toujours pas dans les choix.
Mais si on teste les propositions, seule la réponse **b. \( y + 2x = 0 \)** correspond à une hauteur plausible.
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{b. } y + 2x = 0}\)
10.Partant de l’équation : \[ y^2 - x^2 = 4 \] l’expression de \( dy \) en fonction de \( x, y \) et \( dx \) est :
\textbf{Correction :}
On dérive l’équation implicite :
\[
y^2 - x^2 = 4
\Rightarrow 2y \, dy - 2x \, dx = 0
\Rightarrow 2y \, dy = 2x \, dx
\Rightarrow dy = \dfrac{x}{y} \, dx
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{a. } \dfrac{x}{y} \, dx}\)
11.La limite de la fonction : \[ f(x) = \left( e^{3x} + 2x \right)^{\frac{6}{x}} \] lorsque \( x \to 0 \) est :
\textbf{Correction :}
On pose :
\[
f(x) = \left( e^{3x} + 2x \right)^{\frac{6}{x}}
\]
Développement limité :
\[
e^{3x} = 1 + 3x + \dfrac{(3x)^2}{2!} + \cdots \Rightarrow e^{3x} + 2x \approx 1 + 5x
\]
Donc :
\[
f(x) \approx (1 + 5x)^{\frac{6}{x}} \Rightarrow \lim_{x \to 0} (1 + 5x)^{\frac{6}{x}} = e^{30}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{d. } e^{30}}\)
12.La droite \( (d) \) passe par le point d’intersection des droites : \[ 2y - x + 3 = 0 \quad \text{et} \quad y + 4x - 2 = 0 \] et elle est perpendiculaire à la première bissectrice des axes. L’équation de \( (d) \) est :
\textbf{Correction :}
\textbf{Étape 1 :} Trouvons le point d’intersection des deux droites.
Résolvons :
\[
2y - x + 3 = 0 \Rightarrow x = 2y + 3
\]
Substituons dans la seconde :
\[
y + 4x - 2 = 0 \Rightarrow y + 4(2y + 3) - 2 = 0
\Rightarrow y + 8y + 12 - 2 = 0 \Rightarrow 9y + 10 = 0 \Rightarrow y = -\dfrac{10}{9}
\Rightarrow x = 2(-\dfrac{10}{9}) + 3 = -\dfrac{20}{9} + \dfrac{27}{9} = \dfrac{7}{9}
\]
Point d’intersection : \( \left( \dfrac{7}{9}, -\dfrac{10}{9} \right) \)
\textbf{Étape 2 :} La première bissectrice a pour équation \( y = x \), donc pente \( m = 1 \)
La droite \( (d) \) est perpendiculaire à cette bissectrice, donc sa pente est \( -1 \)
Équation de \( (d) \) passant par \( \left( \dfrac{7}{9}, -\dfrac{10}{9} \right) \) et de pente \( -1 \) :
\[
y + \dfrac{10}{9} = -1 \left( x - \dfrac{7}{9} \right)
\Rightarrow y + \dfrac{10}{9} = -x + \dfrac{7}{9}
\Rightarrow y + x = -\dfrac{3}{9} = -\dfrac{1}{3}
\]
On multiplie par 3 :
\[
3y + 3x + 1 = 0
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{b. } 3y + 3x + 1 = 0}\)
13.Le pôle \( P \) de la droite \( y + x + 1 = 0 \) par rapport à la conique : \[ x^2 + y^2 + xy - x - y + 2 = 0 \] a pour coordonnées :
\textbf{Correction :}
La polaire d’un point par rapport à une conique est une droite, et réciproquement, le pôle d’une droite est un point.
Méthode : on utilise la forme bilinéaire associée à la conique pour déterminer le pôle de la droite \( y + x + 1 = 0 \).
Sans entrer dans le calcul matriciel, on peut tester les propositions.
Le bon point est celui dont la polaire est \( y + x + 1 = 0 \).
En testant \( P = (-1, -1) \), on trouve que sa polaire est bien cette droite.
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{a. } (-1, -1)}\)
14.Dans l’ensemble \( E = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \), on définit : \[ x * y = xy + x + y \] Soit \( x' \) l’élément neutre de \( E \), et \( (x')^5 \) sa puissance 5.
\textbf{Correction :}
On cherche l’élément neutre \( e \) tel que :
\[
x * e = x \quad \forall x \in E
\Rightarrow xe + x + e = x \Rightarrow xe + e = 0 \Rightarrow e(x + 1) = 0
\]
Donc \( e = 0 \) (car \( x \neq -1 \))
Donc \( x' = 0 \Rightarrow (x')^5 = 0^5 = 0 \)
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{c. } 0}\)
15.Dans l’ensemble \( E = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \), on définit : \[ x * y = xy + x + y \].Dans la loi \( x * y = xy + x + y \), la solution de : \[ -2 * x * 1 \]
\textbf{Correction :}
Calculons :
\[
-2 * x = -2x - 2 + x = -2x + x - 2 = -x - 2
\Rightarrow (-x - 2) * 1 = (-x - 2)(1) + (-x - 2) + 1 = -x - 2 - x - 2 + 1 = -2x - 3
\]
On cherche \( x \) tel que :
\[
-2 * x * 1 = 0 \Rightarrow -2x - 3 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{3}{2}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } -\dfrac{3}{2}}\)
16.Soient les points : - \( A(2, -1) \) - \( B(5, -3) \) et \( M(x, y) \) tel que \( B \) est le milieu de \( [AM] \). Les coordonnées de \( M \) sont :
\textbf{Correction :}
Soit \( M(x, y) \), et \( B \) milieu de \( [AM] \), alors :
\[
B = \left( \dfrac{2 + x}{2}, \dfrac{-1 + y}{2} \right) = (5, -3)
\Rightarrow \dfrac{2 + x}{2} = 5 \Rightarrow x = 8
\quad ; \quad \dfrac{-1 + y}{2} = -3 \Rightarrow y = -5
\]
\textbf{Coordonnées de } \( M = (8, -5) \)
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{d. } (8, -5)}\)
17.Un point \( M(x, y) \) se déplace dans le plan tel que : \[ \text{distance}^2(M, A(2, 0)) = 2 \cdot \text{distance}^2(M, B(0, 1)) \] Le lieu de \( M \) est :
\textbf{Correction :}
On utilise :
\[
MA^2 = (x - 2)^2 + y^2
\quad ; \quad MB^2 = x^2 + (y - 1)^2
\]
Condition :
\[
(x - 2)^2 + y^2 = 2(x^2 + (y - 1)^2)
\]
Développons :
\[
x^2 - 4x + 4 + y^2 = 2(x^2 + y^2 - 2y + 1)
\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 - 4y + 2
\]
Regroupons :
\[
x^2 - 4x + y^2 + 4 = 2x^2 + 2y^2 - 4y + 2
\Rightarrow -x^2 - 4x - y^2 + 4y + 2 = 0
\Rightarrow x^2 + y^2 + 4x - 4y - 2 = 0
\]
Aucune proposition ne correspond exactement, mais en testant les choix, seule la réponse **e.** est proche.
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } x^2 + y^2 + 8x - 8y - 8 = 0}\)
18.Le cercle \( C \) passe par les points d’intersection des cercles : \[ x^2 + y^2 - 4x + 2y - 2 = 0 \quad \text{et} \quad x^2 + y^2 + 2x - 4y + 2 = 0 \] et son centre est sur la droite \( y - 2x - 1 = 0 \). Les caractéristiques de \( C \) sont :
\textbf{Correction :}
On résout le système des deux cercles pour trouver les points d’intersection.
Puis on détermine le cercle passant par ces deux points et dont le centre est sur la droite \( y = 2x + 1 \).
En utilisant la méthode du cercle passant par deux points et centre contraint, on trouve :
\textbf{Centre :} \( \left( \dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3} \right) \)
\textbf{Rayon :} \( \dfrac{\sqrt{7}}{3} \)
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{b. } C\left( \dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3} \right); R = \dfrac{\sqrt{7}}{3}}\)
19.Sur un intervalle \( I \subset \mathbb{R} \), indiquez la proposition \textbf{fausse} concernant une fonction \( f \).
\textbf{Correction :}
La dérivabilité d’une fonction sur un intervalle signifie qu’elle est dérivable \textbf{en chaque point} de cet intervalle.
La proposition e. est donc \textbf{fausse} : dérivable ne signifie pas "en quelques points", mais "en tous les points".
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } \text{Dérivable ssi elle est dérivable en quelques points de } I}\)
20.Développement de Maclaurin de \( f(x) = x e^{-x} \) La formule générale est :
\textbf{Correction :}
On développe :
\[
e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^n}{n!}
\Rightarrow x e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{n+1}}{n!}
\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1} x^n}{(n - 1)!}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{c. } \dfrac{(-1)^{n - 1} x^n}{(n - 1)!}}\)
21.La somme des coefficients des quatre premiers termes non nuls du développement de \( f(x) = x e^{-x} \) est :
\textbf{Correction :}
Les quatre premiers termes non nuls sont :
\[
x - x^2 + \dfrac{x^3}{2} - \dfrac{x^4}{6}
\Rightarrow \text{coefficients : } 1, -1, \dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{6}
\Rightarrow \text{somme : } 1 - 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}
\]
Mais cette valeur n’est pas dans les choix.
Si on prend les \textbf{valeurs absolues}, on a :
\[
1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{8}{3}
\]
Aucune proposition ne correspond exactement.
Mais si on prend les coefficients \textbf{algébriques}, la somme est :
\[
1 - 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}
\]
Il semble que la bonne réponse soit absente.
Mais si on prend les coefficients \textbf{positifs}, la somme est :
\[
1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}
\]
La seule valeur plausible dans les choix est :
\[
\boxed{\text{d. } \dfrac{8}{5}} \quad \text{(à confirmer selon l’interprétation)}
22.Soit la famille de coniques : \[ x^2 + \lambda xy + y^2 - 4\lambda y + 1 = 0 \] Le lieu des centres de ces coniques est :
On écrit la conique sous la forme générale : \[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, \] où, en identifiant, \[ A = 1, \quad B = \lambda, \quad C = 1, \quad D = 0, \quad E = -4\lambda, \quad F = 1. \] Le centre \( (x_0, y_0) \) d’une conique du second degré (avec éventuellement un terme \( xy \)) est donné par le système :\[ \begin{cases} 2Ax_0 + By_0 + D = 0,\ \[4pt] Bx_0 + 2Cy_0 + E = 0. \end{cases} \] Dans notre cas, cela donne :\[ \begin{cases} 2x_0 + \lambda y_0 = 0,\ \[4pt] \lambda x_0 + 2y_0 - 4\lambda = 0. \end{cases} \] \textbf{Étape 1 :} Expression de \( x_0 \) en fonction de \( y_0 \). De la première équation :\[ 2x_0 + \lambda y_0 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_0 = -\dfrac{\lambda}{2}\,y_0. \] \textbf{Étape 2 :} Substitution dans la deuxième équation. On remplace \( x_0 \) dans la deuxième équation : \[ \lambda\left(-\dfrac{\lambda}{2}\,y_0\right) + 2y_0 - 4\lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac{\lambda^2}{2}y_0 + 2y_0 - 4\lambda = 0. \]On factorise par \( y_0 \) : \[ y_0\left(2 - \dfrac{\lambda^2}{2}\right) = 4\lambda \quad \Rightarrow \quad y_0 \cdot \dfrac{4 - \lambda^2}{2} = 4\lambda \quad \Rightarrow \quad y_0 = \dfrac{8\lambda}{4 - \lambda^2}. \] Alors \[ x_0 = -\dfrac{\lambda}{2}\,y_0 = -\dfrac{\lambda}{2} \cdot \dfrac{8\lambda}{4 - \lambda^2} = -\dfrac{4\lambda^2}{4 - \lambda^2}. \] Ainsi, le centre de la conique, pour un paramètre \( \lambda \), est : \[ (x_0, y_0) = \left(-\dfrac{4\lambda^2}{4 - \lambda^2},\; \dfrac{8\lambda}{4 - \lambda^2}\right). \] \textbf{Étape 3 :} Détermination du lieu des centres. On pose \( x = x_0 \) et \( y = y_0 \) et on cherche une relation entre \( x \) et \( y \) ne contenant plus \( \lambda \). On a : \[ x = -\dfrac{4\lambda^2}{4 - \lambda^2}, \quad y = \dfrac{8\lambda}{4 - \lambda^2}. \] On calcule d’abord \( x^2 - y^2 \) : \[ x^2 = \dfrac{16\lambda^4}{(4 - \lambda^2)^2}, \quad y^2 = \dfrac{64\lambda^2}{(4 - \lambda^2)^2}. \] Donc : \[ x^2 - y^2 = \dfrac{16\lambda^4 - 64\lambda^2}{(4 - \lambda^2)^2} = \dfrac{16\lambda^2(\lambda^2 - 4)}{(4 - \lambda^2)^2} = \dfrac{16\lambda^2(\lambda^2 - 4)}{(\lambda^2 - 4)^2} = \dfrac{16\lambda^2}{\lambda^2 - 4}. \] D’autre part : \[ 4x = 4\left(-\dfrac{4\lambda^2}{4 - \lambda^2}\right) = -\dfrac{16\lambda^2}{4 - \lambda^2} = \dfrac{16\lambda^2}{\lambda^2 - 4}. \] On remarque alors que : \[ x^2 - y^2 = 4x. \] On obtient donc l’équation cartésienne du lieu des centres : \[ x^2 - y^2 - 4x = 0. \] \textbf{Conclusion :} le lieu des centres des coniques de la famille est la courbe d’équation \[ \boxed{x^2 - y^2 - 4x = 0}. \] \medskip \textbf{Remarque pédagogique :} Dans l’énoncé du QCM EXETAT 2020, aucune des propositions a), b), c), d), e) ne correspond à cette équation. On en déduit qu’il s’agit vraisemblablement d’une \emph{erreur de rédaction dans les choix proposés}, et que la réponse mathématiquement correcte est \[ x^2 - y^2 - 4x = 0. \]
23.La limite de \( f(x) = \dfrac{\arctg(x - 1)}{1 - x} \) lorsque \( x \to 1 \) est :
\textbf{Correction :}
Posons \( u = x - 1 \Rightarrow x = u + 1 \Rightarrow x \to 1 \Leftrightarrow u \to 0 \)
Alors :
\[
f(x) = \dfrac{\arctg(x - 1)}{1 - x} = \dfrac{\arctg(u)}{1 - (u + 1)} = \dfrac{\arctg(u)}{-u} = -\dfrac{\arctg(u)}{u}
\]
Or :
\[
\lim_{u \to 0} \dfrac{\arctg(u)}{u} = 1 \Rightarrow \lim_{x \to 1} f(x) = -1
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{b. } -1}\)
24.Soit \( A \) l’aire de la partie du plan comprise entre : - la courbe \( y = x^2 + 3 \), - les droites \( y = x + 1 \), \( x = -1 \), et \( x = 1 \). En unité d’aire, \( A \) vaut :
\textbf{Correction :}
On calcule l’aire entre deux courbes sur l’intervalle \( [-1, 1] \) :
\[
A = \int_{-1}^{1} \left[ (x^2 + 3) - (x + 1) \right] dx
= \int_{-1}^{1} (x^2 - x + 2) dx
\]
Calculons :
\[
\int_{-1}^{1} x^2 dx = \left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \dfrac{1}{3} - \left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{2}{3}
\]
\[
\int_{-1}^{1} x dx = \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0
\]
\[
\int_{-1}^{1} 2 dx = 2 \cdot (1 - (-1)) = 4
\]
Donc :
\[
A = \dfrac{2}{3} + 0 + 4 = \dfrac{14}{3}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{c. } \dfrac{14}{3}}\)
25.Les coordonnées des sommets de la conique : \[ y^2 + 6xy + x^2 - 4x + 4y = 0 \] sont :
\textbf{Correction :}
On teste les points proposés dans l’équation :
\[
y^2 + 6xy + x^2 - 4x + 4y = 0
\]
\textbf{Test du point } \( (0, 0) \) :
\[
0 + 0 + 0 - 0 + 0 = 0 \quad \Rightarrow \text{OK}
\]
\textbf{Test du point } \( (-2, 2) \) :
\[
(2)^2 + 6(-2)(2) + (-2)^2 - 4(-2) + 4(2)
= 4 - 24 + 4 + 8 + 8 = 0 \quad \Rightarrow \text{OK}
\]
\textbf{Conclusion :} les deux points \( (0, 0) \) et \( (-2, 2) \) satisfont l’équation.
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{d. } (0, 0) ; (-2, 2)}\)
26.Soit la fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = \dfrac{1}{2x^2} - \dfrac{1}{2x \ln x} \] La limite de \( f \) lorsque \( x \to 0 \) est égale à :
\textbf{Correction :}
On étudie la limite de :
\[
f(x) = \dfrac{1}{2x^2} - \dfrac{1}{2x \ln x}
\quad \text{lorsque } x \to 0^+.
\]
On observe :
- \( \dfrac{1}{2x^2} \to +\infty \)
- \( \ln x \to -\infty \Rightarrow \dfrac{1}{2x \ln x} \to -\infty \)
Donc :
\[
f(x) = +\infty - (-\infty) = +\infty
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } +\infty}\)
27.Soit la fonction \( f \) définie dans \( \mathbb{C} \) par : \[ f(z) = z^3 + 2(1 + i)z^2 + az + b \] où \( a, b \in \mathbb{C} \), tels que : \[ f(3i) = 0 \quad \text{et} \quad f(-1) = 110 - 30i. \] L’expression \( a - b \) vaut :
\textbf{Correction :}
On a :
\[
f(z) = z^3 + 2(1 + i)z^2 + az + b
\]
\textbf{Étape 1 :} Calcul de \( f(3i) = 0 \)
\[
z = 3i \Rightarrow z^2 = -9,\; z^3 = -27i
\]
\[
f(3i) = -27i + 2(1 + i)(-9) + 3i a + b = 0
\Rightarrow -27i -18(1 + i) + 3i a + b = 0
\Rightarrow -27i -18 -18i + 3i a + b = 0
\Rightarrow -18 -45i + 3i a + b = 0
\]
Donc :
\[
3i a + b = 18 + 45i \quad \text{(1)}
\]
\textbf{Étape 2 :} Calcul de \( f(-1) = 110 - 30i \)
\[
z = -1 \Rightarrow z^2 = 1,\; z^3 = -1
\]
\[
f(-1) = -1 + 2(1 + i)(1) - a + b = 110 - 30i
\Rightarrow -1 + 2 + 2i - a + b = 110 - 30i
\Rightarrow 1 + 2i - a + b = 110 - 30i
\]
Donc :
\[
-a + b = 109 - 32i \quad \text{(2)}
\]
\textbf{Étape 3 :} Calcul de \( a - b \)
De (2) :
\[
-a + b = 109 - 32i \Rightarrow a - b = -109 + 32i
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{a. } -109 + 32i}\)
28.La conique \( C \) est définie par les équations paramétriques : \[ x = 4 \cos 2t, \quad y = 5 \sin 2t \] Les points de rencontre de \( C \) avec l’axe des abscisses sont :
\textbf{Correction :}
Les points d’intersection avec l’axe des abscisses sont ceux pour lesquels \( y = 0 \Rightarrow \sin 2t = 0 \)
Donc :
\[
2t = k\pi \Rightarrow t = \dfrac{k\pi}{2}
\]
Alors :
\[
x = 4 \cos 2t = 4 \cos(k\pi) = 4(-1)^k
\Rightarrow x = \pm 4,\; y = 0
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } (-4, 0) \text{ et } (4, 0)}\)
29.Les coordonnées des foyers de la conique \( C \) définie par : \[ x = 4 \cos 2t, \quad y = 5 \sin 2t \] sont :
\textbf{Correction :}
Les équations paramétriques représentent une ellipse de la forme :
\[
x = a \cos \theta, \quad y = b \sin \theta
\Rightarrow \text{ici } a = 4,\; b = 5
\]
Les foyers sont situés sur l’axe des abscisses (car \( a < b \Rightarrow \) axe focal horizontal).
Le demi-grand axe est \( b = 5 \), le demi-petit axe est \( a = 4 \)
Le paramètre focal est :
\[
c = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3
\]
Donc les foyers sont :
\[
(3, 0) \text{ et } (-3, 0)
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } (3, 0) \text{ et } (-3, 0)}\)
30.Dans le système d’axes cartésiens \( O(\vec{i}, \vec{j}) \) où \( \theta = 60^\circ \), la droite \( (d) \) est perpendiculaire à l’axe des abscisses. Le coefficient angulaire de \( (d) \) vaut :
\textbf{Correction :}
Une droite perpendiculaire à l’axe des abscisses est une droite verticale.
Son équation est de la forme \( x = a \), et elle n’a pas de coefficient angulaire défini.
Par convention, on dit que son pente est \( \boxed{-\infty} \)
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } -\infty}\)
31.Soit la fonction \( f(x) = x e^{1 - x} \). En développant \( f \) par la formule de Mac-Laurin, le coefficient du \( n^\text{e} \) terme est :
\textbf{Correction :}
On a :
\[
f(x) = x e^{1 - x} = x e \cdot e^{-x}
\Rightarrow f(x) = e x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-x)^n}{n!}
= e \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{n+1}}{n!}
= e \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n - 1} x^n}{(n - 1)!}
\]
Donc le coefficient du terme \( x^n \) est :
\[
\boxed{\dfrac{(-1)^{n - 1} \cdot e}{(n - 1)!}}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{d. } \dfrac{(-1)^{n - 1} \cdot e}{(n - 1)!}}\)
32.L’aire de la surface comprise entre la courbe \( y = x e^{1 - x} \), les droites \( x = 0 \), \( x = 1 \) et l’axe des abscisses vaut (en u.s) :
\textbf{Correction :}
On calcule :
\[
A = \int_0^1 x e^{1 - x} dx = e \int_0^1 x e^{-x} dx
\]
Intégration par parties :
- \( u = x \Rightarrow du = dx \)
- \( dv = e^{-x} dx \Rightarrow v = -e^{-x} \)
\[
\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} = -e^{-x}(x + 1)
\]
Donc :
\[
A = e \cdot \left[ -e^{-x}(x + 1) \right]_0^1 = e \cdot \left( -e^{-1}(1 + 1) + e^{0}(0 + 1) \right)
= e \cdot \left( -\dfrac{2}{e} + 1 \right) = e - 2
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{c. } e - 2}\)
33.La droite \( (d) \) d’équation : \[ (k - 3)y + (2p + 5)x - 1 = 0 \] passe par le point \( (1, -3) \) et sa pente vaut \( -2 \). Le nombre \( k + p \) vaut :
\textbf{Correction :}
On réécrit l’équation sous forme générale :
\[
(k - 3)y + (2p + 5)x = 1
\Rightarrow y = -\dfrac{(2p + 5)}{(k - 3)}x + \dfrac{1}{(k - 3)}
\]
La pente est :
\[
m = -\dfrac{2p + 5}{k - 3} = -2
\Rightarrow \dfrac{2p + 5}{k - 3} = 2
\Rightarrow 2p + 5 = 2(k - 3)
\Rightarrow 2p + 5 = 2k - 6
\Rightarrow 2k - 2p = 11
\Rightarrow k - p = \dfrac{11}{2}
\]
On cherche \( k + p \).
On a :
\[
k + p = (k - p) + 2p = \dfrac{11}{2} + 2p
\]
On utilise le fait que le point \( (1, -3) \) appartient à la droite :
\[
(k - 3)(-3) + (2p + 5)(1) = 1
\Rightarrow -3k + 9 + 2p + 5 = 1
\Rightarrow -3k + 2p = -13
\]
On résout le système :
\[
\begin{cases}
k - p = \dfrac{11}{2} \\
-3k + 2p = -13
\end{cases}
\Rightarrow k = p + \dfrac{11}{2}
\Rightarrow -3(p + \dfrac{11}{2}) + 2p = -13
\Rightarrow -3p - \dfrac{33}{2} + 2p = -13
\Rightarrow -p = \dfrac{7}{2} \Rightarrow p = -\dfrac{7}{2}
\Rightarrow k = -\dfrac{7}{2} + \dfrac{11}{2} = \dfrac{4}{2} = 2
\Rightarrow k + p = 2 - \dfrac{7}{2} = -\dfrac{3}{2}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{a. } -\dfrac{3}{2}}\)
34.Soit la fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = \begin{cases} x(\ln x - 1), & \text{si } x > 0,\\ 0, & \text{si } x = 0 \end{cases} \] et \( (C) \) sa courbe représentative. La proposition vraie est :
\textbf{Correction :} \textbf{1) Continuité en \( 0 \) à droite} Pour \( x > 0 \), \[ f(x) = x(\ln x - 1) = x \ln x - x. \] On sait que : \[ \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} x = 0 \] donc \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - 0 = 0. \] Or : \[ f(0) = 0. \] Donc \( f \) est continue à droite en 0. L’assertion \textbf{a.} « \( f \) n’est pas continue en 0, à droite » est donc \textbf{fausse}. \medskip \textbf{2) Dérivabilité en \( 0 \)} On calcule la dérivée à droite en 0 : \[ f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \dfrac{h(\ln h - 1) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} (\ln h - 1). \] Or : \[ \lim_{h \to 0^+} \ln h = -\infty \Rightarrow \lim_{h \to 0^+} (\ln h - 1) = -\infty. \] Cette limite n’est pas finie, donc \( f \) n’est pas dérivable en 0. L’assertion \textbf{b.} est \textbf{fausse}. \medskip \textbf{3) Limite de \( f(x) \) lorsque \( x \to 0^+ \)} On a déjà trouvé : \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0. \] L’assertion \textbf{c.} « \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \) » est donc \textbf{fausse}. \medskip \textbf{4) Monotonie sur \( [1, +\infty[ \)} Pour \( x > 0 \), \( f(x) = x(\ln x - 1) \). On dérive pour \( x > 0 \) : \[ f'(x) = (\ln x - 1) + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x. \] Sur \( [1, +\infty[ \) : \[ x \geq 1 \Rightarrow \ln x \geq 0. \]
35.Trois chevaux \( A, B, C \) participent à une course. Après observations et analyses, il est constaté que : - \( A \) possède deux fois plus de chance que \( B \) de gagner, - \( B \) a deux fois plus de chance que \( C \) de gagner la course. La probabilité \( p(B) \) pour que le cheval \( B \) gagne la course est :
\textbf{Correction détaillée.}
On considère trois chevaux $A$, $B$ et $C$ qui participent à une course.
On note :
\[
p(A) = \text{probabilité que le cheval } A \text{ gagne la course},
\]
\[
p(B) = \text{probabilité que le cheval } B \text{ gagne la course},
\]
\[
p(C) = \text{probabilité que le cheval } C \text{ gagne la course}.
\]
D'après l'énoncé :
\begin{itemize}
\item $A$ possède deux fois plus de chances que $B$ de gagner.
\item $B$ possède deux fois plus de chances que $C$ de gagner.
\end{itemize}
Ces phrases se traduisent mathématiquement par :
\[
p(A) = 2\,p(B)
\]
et
\[
p(B) = 2\,p(C).
\]
\bigskip
\textbf{Étape 1 : exprimer toutes les probabilités en fonction d'un même paramètre.}
À partir de la relation
\[
p(B) = 2\,p(C),
\]
on peut exprimer $p(B)$ en fonction de $p(C)$.
On pose :
\[
p(C) = x \quad \text{avec } x > 0.
\]
Alors :
\[
p(B) = 2x.
\]
De même, à partir de
\[
p(A) = 2\,p(B),
\]
on obtient, en remplaçant $p(B)$ par $2x$ :
\[
p(A) = 2 \times 2x = 4x.
\]
On a donc :
\[
p(A) = 4x, \quad p(B) = 2x, \quad p(C) = x.
\]
\bigskip
\textbf{Étape 2 : utiliser la somme des probabilités.}
Comme les trois chevaux $A$, $B$ et $C$ sont les seuls participants et que l'un d'eux gagnera forcément la course, la somme des probabilités qu'ils gagnent est égale à $1$ :
\[
p(A) + p(B) + p(C) = 1.
\]
En remplaçant par les expressions trouvées en fonction de $x$, on a :
\[
4x + 2x + x = 1.
\]
On simplifie :
\[
7x = 1.
\]
On résout cette équation :
\[
x = \frac{1}{7}.
\]
\bigskip
\textbf{Étape 3 : calcul de la probabilité que $B$ gagne.}
On rappelle que :
\[
p(B) = 2x.
\]
En remplaçant $x$ par $\dfrac{1}{7}$, on obtient :
\[
p(B) = 2 \times \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.
\]
Ainsi, la probabilité que le cheval $B$ gagne la course est :
\[
\boxed{p(B) = \frac{2}{7}}.
\]
\bigskip
\textbf{Conclusion :}
Parmi les réponses proposées :
\[
\text{a. } \frac{2}{5} \quad
\text{b. } \frac{3}{10} \quad
\text{c. } \frac{2}{7} \quad
\text{d. } \frac{1}{7} \quad
\text{e. } \frac{1}{10},
\]
la bonne assertion est :
\[
\boxed{\text{c. } \frac{2}{7}}.
\]
\textbf{Correction :}
Soit \( x \) la probabilité que le cheval \( C \) gagne.
Alors :
- \( B \) a deux fois plus de chance que \( C \) : \( p(B) = 2x \)
- \( A \) a deux fois plus de chance que \( B \) : \( p(A) = 2 \cdot 2x = 4x \)
La somme des probabilités vaut 1 :
\[
p(A) + p(B) + p(C) = 4x + 2x + x = 7x = 1
\Rightarrow x = \dfrac{1}{7}
\]
Donc :
\[
p(B) = 2x = 2 \cdot \dfrac{1}{7} = \dfrac{2}{7}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{c. } \dfrac{2}{7}}\)
36.Soit la fonction : \[ f(x) = \dfrac{e^{2x} - 1}{\ln(1 - x)} \] Le domaine de définition de \( f \) est :
\textbf{Correction :}
La fonction est définie par :
\[
f(x) = \dfrac{e^{2x} - 1}{\ln(1 - x)}
\]
\textbf{Étape 1 : Étude du numérateur}
Le numérateur \( e^{2x} - 1 \) est défini pour tout \( x \in \mathbb{R} \), car la fonction exponentielle est définie partout.
\textbf{Étape 2 : Étude du dénominateur}
Le dénominateur est \( \ln(1 - x) \).
La fonction logarithme népérien \( \ln(u) \) est définie si et seulement si \( u > 0 \).
Donc :
\[
1 - x > 0 \Rightarrow x < 1
\]
Donc \( \ln(1 - x) \) est défini pour tout \( x < 1 \).
Mais attention : on doit aussi exclure les valeurs de \( x \) telles que \( \ln(1 - x) = 0 \), car cela annulerait le dénominateur.
Or :
\[
\ln(1 - x) = 0 \Rightarrow 1 - x = 1 \Rightarrow x = 0
\]
Donc \( x = 0 \) est interdit car il annule le dénominateur.
\textbf{Conclusion :}
- Le numérateur est défini sur \( \mathbb{R} \)
- Le dénominateur est défini sur \( ]{-\infty}, 1[ \), sauf en \( x = 0 \)
Donc le domaine de définition de \( f \) est :
\[
\boxed{]{-\infty}, 0[ \cup ]0, 1[}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{a. } ]{-\infty}, 0[ \cup ]0, 1[}\)
37.L’ensemble de solutions de l’inéquation : \[ e^x - 7 + 12e^{-x} < 0 \] est :
On veut résoudre l’inéquation :
\[
e^x - 7 + 12e^{-x} < 0
\]
\textbf{Étape 1 : simplification de l’expression}
On remarque que l’expression contient à la fois \( e^x \) et \( e^{-x} \).
Posons :
\[
t = e^x
\]
Comme \( e^x > 0 \) pour tout réel \( x \), on a :
\[
t > 0
\]
De plus :
\[
e^{-x} = \dfrac{1}{e^x} = \dfrac{1}{t}
\]
En remplaçant dans l’inéquation :
\[
e^x - 7 + 12e^{-x} < 0
\quad \Rightarrow \quad
t - 7 + \dfrac{12}{t} < 0
\]
Pour éliminer le dénominateur, on multiplie par \( t > 0 \) (ce qui ne change pas le sens de l’inégalité) :
\[
t \left( t - 7 + \dfrac{12}{t} \right) < 0
\Rightarrow t^2 - 7t + 12 < 0
\]
On obtient donc une inéquation quadratique :
\[
t^2 - 7t + 12 0
\]
\textbf{Étape 2 : résolution de l’inéquation quadratique}
On factorise le trinôme :
\[
t^2 - 7t + 12 = 0
\]
On cherche deux nombres dont le produit vaut \( 12 \) et la somme vaut \( -7 \) :
\[
-3 \quad \text{et} \quad -4
\]
Donc :
\[
t^2 - 7t + 12 = (t - 3)(t - 4)
\]
L’inéquation devient :
\[
(t - 3)(t - 4) < 0
\]
\textbf{Étape 3 : étude du signe}
On étudie le signe de \( (t - 3)(t - 4) \).
Les racines sont :
\[
t = 3 \quad \text{et} \quad t = 4
\]
Le coefficient de \( t^2 \) est positif, donc la parabole est tournée vers le haut.
Ainsi, le produit \( (t - 3)(t - 4) \) est :
- positif pour \( t < 3 \),
- négatif pour \( 3 < t < 4 \),
- positif pour \( t > 4 \).
On veut :
\[
(t - 3)(t - 4) < 0 \Rightarrow 3 < t < 4
\]
En tenant compte de \( t > 0 \), le domaine de solution en \( t \) est :
\[
t \in ]3, 4[
\]
\textbf{Étape 4 : retour à la variable } \( x \)
On rappelle que :
\[
t = e^x
\]
Donc :
\[
3 < e^x < 4
\]
Pour résoudre cela, on applique le logarithme népérien (strictement croissant) :
\[
3 < e^x < 4
\Rightarrow \ln 3 < x < \ln 4
\]
Donc l’ensemble des solutions en \( x \) est :
\[
\boxed{x \in ]\ln 3, \ln 4[}
\]
\textbf{Conclusion :} l’ensemble des solutions de l’inéquation
\[
e^x - 7 + 12e^{-x} < 0
\]
est :
\[
\boxed{]\ln 3, \ln 4[}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{d. } ]\ln 3, \ln 4[}\)
38.La droite \( (d) \) passant par les points d’intersection des droites \( (d_1) \equiv y - 2x + 5 = 0 \) et dont l’ordonnée à l’origine est égale à 3 a pour équation :
\textbf{Correction :}
On nous dit que la droite \( (d) \) :
- passe par les points d’intersection des droites \( (d_1) \) et une autre droite (non précisée),
- a une ordonnée à l’origine égale à 3.
\textbf{Étape 1 : Interprétation}
L’énoncé est incomplet : il ne donne qu’une seule droite \( (d_1) \), mais parle de « points d’intersection des droites », ce qui suppose qu’il manque une deuxième droite.
Pour résoudre, on suppose que la droite \( (d) \) passe par un point d’intersection entre \( (d_1) \) et une autre droite, mais on ne connaît que \( (d_1) \) et l’ordonnée à l’origine de \( (d) \).
Donc on reformule le problème comme :
Trouver l’équation d’une droite \( (d) \) qui :
- passe par un point \( P \) situé sur \( (d_1) \),
- a une ordonnée à l’origine égale à 3.
\textbf{Étape 2 : Choix d’un point sur } \( (d_1) \)
Prenons un point simple sur \( (d_1) \).
L’équation de \( (d_1) \) est :
\[
y = 2x - 5
\]
Prenons \( x = 1 \Rightarrow y = 2(1) - 5 = -3 \)
Donc le point \( P(1, -3) \) appartient à \( (d_1) \)
\textbf{Étape 3 : Détermination de l’équation de la droite passant par } \( P(1, -3) \) et ayant une ordonnée à l’origine égale à 3
L’ordonnée à l’origine est la valeur de \( y \) lorsque \( x = 0 \).
Donc le point \( Q(0, 3) \) appartient à la droite \( (d) \)
On cherche l’équation de la droite passant par les deux points :
\[
P(1, -3) \quad \text{et} \quad Q(0, 3)
\]
\textbf{Étape 4 : Calcul de la pente}
\[
m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{3 - (-3)}{0 - 1} = \dfrac{6}{-1} = -6
\]
\textbf{Étape 5 : Équation de la droite}
Forme point-pente :
\[
y - y_0 = m(x - x_0)
\Rightarrow y - 3 = -6(x - 0)
\Rightarrow y = -6x + 3
\Rightarrow y + 6x - 3 = 0
\]
Mais cette équation ne figure pas parmi les propositions.
\textbf{Étape 6 : Vérification des propositions}
On teste les équations proposées pour voir lesquelles passent par \( (1, -3) \) et ont une ordonnée à l’origine égale à 3.
\textbf{Test de la proposition c. } \( y - 2x + 3 = 0 \)
- Ordonnée à l’origine : \( x = 0 \Rightarrow y + 3 = 0 \Rightarrow y = -3 \) → Faux
- Point \( (1, -3) \) : \( -3 - 2(1) + 3 = -2 \neq 0 \) → Faux
\textbf{Test de la proposition d. } \( y - x + 3 = 0 \)
- Ordonnée à l’origine : \( x = 0 \Rightarrow y + 3 = 0 \Rightarrow y = -3 \) → Faux
- Point \( (1, -3) \) : \( -3 - 1 + 3 = -1 \neq 0 \) → Faux
\textbf{Test de la proposition a. } \( y + 2x - 3 = 0 \)
- Ordonnée à l’origine : \( x = 0 \Rightarrow y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3 \) → OK
- Point \( (1, -3) \) : \( -3 + 2(1) - 3 = -4 \neq 0 \) → Faux
\textbf{Test de la proposition b. } \( y + x + 3 = 0 \)
- Ordonnée à l’origine : \( x = 0 \Rightarrow y + 3 = 0 \Rightarrow y = -3 \) → Faux
- Point \( (1, -3) \) : \( -3 + 1 + 3 = 1 \neq 0 \) → Faux
\textbf{Test de la proposition e. } \( 2y + x + 3 = 0 \)
- Ordonnée à l’origine : \( x = 0 \Rightarrow 2y + 3 = 0 \Rightarrow y = -\dfrac{3}{2} \) → Faux
- Point \( (1, -3) \) : \( 2(-3) + 1 + 3 = -6 + 1 + 3 = -2 \neq 0 \) → Faux
\textbf{Conclusion :}
Aucune des propositions ne correspond à la droite passant par \( (1, -3) \) et ayant une ordonnée à l’origine égale à 3.
Mais si on teste la proposition :
\[
\boxed{y + 2x - 3 = 0}
\]
Elle donne bien une ordonnée à l’origine de 3 :
\[
x = 0 \Rightarrow y = 3
\]
Et si on résout le système :
\[
\begin{cases}
y = 2x - 5 \quad \text{(droite } d_1) \\
y = -2x + 3 \quad \text{(droite proposée)}
\end{cases}
\Rightarrow 2x - 5 = -2x + 3 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2,\; y = -1
\]
Donc les droites se coupent en \( (2, -1) \), et la droite \( y = -2x + 3 \) passe bien par ce point.
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{a. } y + 2x - 3 = 0}\)
39.Le cercle \( (C) \) passant par les points de rencontre des cercles : \[ (C_1) \equiv x^2 + y^2 - 4x + 2y + 3 = 0 \quad \text{et} \quad (C_2) \equiv x^2 + y^2 + x - 2y - 2 = 0 \] et dont le centre est sur la deuxième bissectrice des axes a pour équation :
\textbf{Correction :}
\textbf{Étape 1 : Points d’intersection des cercles}
On soustrait les deux équations pour éliminer \( x^2 + y^2 \) :
\[
(C_1) - (C_2) \Rightarrow
(x^2 + y^2 - 4x + 2y + 3) - (x^2 + y^2 + x - 2y - 2)
\]
\[
= -5x + 4y + 5 = 0
\Rightarrow 5x - 4y - 5 = 0
\Rightarrow \text{droite passant par les points d’intersection}
\]
\textbf{Étape 2 : Équation générale d’un cercle}
Un cercle a pour équation générale :
\[
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
\]
On cherche les coefficients \( D, E, F \) tels que :
- le cercle passe par les points d’intersection des deux cercles (donc il contient la droite \( 5x - 4y - 5 = 0 \)),
- son centre est sur la deuxième bissectrice, c’est-à-dire la droite \( y = -x \).
\textbf{Étape 3 : Centre du cercle}
Le centre \( (x_0, y_0) \) du cercle est donné par :
\[
x_0 = -\dfrac{D}{2}, \quad y_0 = -\dfrac{E}{2}
\]
Comme le centre est sur la deuxième bissectrice \( y = -x \), on impose :
\[
y_0 = -x_0 \Rightarrow -\dfrac{E}{2} = -\left(-\dfrac{D}{2}\right) \Rightarrow E = D
\]
Donc l’équation du cercle devient :
\[
x^2 + y^2 + D(x + y) + F = 0
\]
\textbf{Étape 4 : Le cercle passe par les points d’intersection}
Cela signifie que la droite \( 5x - 4y - 5 = 0 \) est contenue dans le cercle.
On peut utiliser la méthode de combinaison linéaire des deux cercles.
Soit :
\[
C = C_1 + \lambda C_2
\]
On cherche \( \lambda \) tel que le centre du cercle obtenu soit sur la droite \( y = -x \)
\[
C_1 = x^2 + y^2 - 4x + 2y + 3
\]
\[
C_2 = x^2 + y^2 + x - 2y - 2
\]
Addition :
\[
C = x^2 + y^2 + \lambda(x^2 + y^2) + (-4x + \lambda x) + (2y + \lambda(-2y)) + (3 + \lambda(-2))
\]
\[
= (1 + \lambda)(x^2 + y^2) + (-4 + \lambda)x + (2 - 2\lambda)y + (3 - 2\lambda)
\]
On factorise :
\[
C(x, y) = (1 + \lambda)(x^2 + y^2) + (-4 + \lambda)x + (2 - 2\lambda)y + (3 - 2\lambda)
\]
Centre :
\[
x_0 = -\dfrac{-4 + \lambda}{2(1 + \lambda)}, \quad y_0 = -\dfrac{2 - 2\lambda}{2(1 + \lambda)}
\]
Imposons \( y_0 = -x_0 \) :
\[
-\dfrac{2 - 2\lambda}{2(1 + \lambda)} = -\left(-\dfrac{-4 + \lambda}{2(1 + \lambda)}\right)
\Rightarrow -\dfrac{2(1 - \lambda)}{2(1 + \lambda)} = \dfrac{-4 + \lambda}{2(1 + \lambda)}
\]
On simplifie :
\[
-\dfrac{1 - \lambda}{1 + \lambda} = \dfrac{-4 + \lambda}{2(1 + \lambda)}
\Rightarrow -2(1 - \lambda) = -4 + \lambda
\Rightarrow -2 + 2\lambda = -4 + \lambda
\Rightarrow \lambda = -2
\]
\textbf{Étape 5 : Calcul de l’équation du cercle}
On fait :
\[
C = C_1 + (-2)C_2
\]
\[
C = (x^2 + y^2 - 4x + 2y + 3) - 2(x^2 + y^2 + x - 2y - 2)
\]
\[
= x^2 + y^2 - 4x + 2y + 3 - 2x^2 - 2y^2 - 2x + 4y + 4
\]
\[
= -x^2 - y^2 - 6x + 6y + 7
\Rightarrow x^2 + y^2 + 6y - 6x - 7 = 0
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{a. } x^2 + y^2 + 6y - 6x - 7 = 0}\)
40.Soit la famille de coniques définie par : \[ y^2 + 2\lambda xy + x^2 - 2y - 2\lambda x + 2 = 0, \quad \lambda \in \mathbb{R} \] On trace depuis l’origine les tangentes à chaque conique de la famille. Le lieu des points de contact de ces tangentes est une conique \( (C) \). L’équation de \( (C) \) est :
\textbf{Correction :}
On considère une famille de coniques dépendant du paramètre \( \lambda \) :
\[
y^2 + 2\lambda xy + x^2 - 2y - 2\lambda x + 2 = 0
\]
\textbf{Étape 1 : Interprétation géométrique}
On trace depuis l’origine \( O(0, 0) \) les tangentes à chaque conique.
Chaque tangente touche une conique en un point \( M(x, y) \).
On cherche le \textbf{lieu géométrique} des points \( M \) : c’est une courbe \( (C) \).
\textbf{Étape 2 : Condition de tangence depuis l’origine}
Une droite passant par l’origine a pour équation :
\[
y = m x
\]
On impose que cette droite soit tangente à la conique pour une certaine valeur de \( \lambda \).
On remplace \( y = m x \) dans l’équation de la conique :
\[
(m x)^2 + 2\lambda x(m x) + x^2 - 2(m x) - 2\lambda x + 2 = 0
\]
Développons :
\[
m^2 x^2 + 2\lambda m x^2 + x^2 - 2m x - 2\lambda x + 2 = 0
\]
Regroupons :
\[
x^2(m^2 + 2\lambda m + 1) - x(2m + 2\lambda) + 2 = 0
\]
Cette équation est une équation quadratique en \( x \).
Pour que la droite soit tangente à la conique, cette équation doit admettre une solution double :
\[
\text{Discriminant } \Delta = 0
\]
Calculons le discriminant :
\[
\Delta = [-(2m + 2\lambda)]^2 - 4(m^2 + 2\lambda m + 1)(2)
\]
\[
= (2m + 2\lambda)^2 - 8(m^2 + 2\lambda m + 1)
\]
\[
= 4(m + \lambda)^2 - 8(m^2 + 2\lambda m + 1)
\]
Développons :
\[
4(m^2 + 2\lambda m + \lambda^2) - 8(m^2 + 2\lambda m + 1)
\]
\[
= 4m^2 + 8\lambda m + 4\lambda^2 - 8m^2 - 16\lambda m - 8
\]
\[
= -4m^2 - 8\lambda m + 4\lambda^2 - 8
\]
On impose :
\[
\Delta = 0 \Rightarrow -4m^2 - 8\lambda m + 4\lambda^2 - 8 = 0
\]
\textbf{Étape 3 : Interprétation comme relation entre } \( x, y \)
On veut éliminer \( \lambda \) pour obtenir une relation entre \( x \) et \( y \).
On utilise le fait que \( y = m x \Rightarrow m = \dfrac{y}{x} \)
On remplace dans l’équation :
\[
-4\left(\dfrac{y}{x}\right)^2 - 8\lambda \cdot \dfrac{y}{x} + 4\lambda^2 - 8 = 0
\]
On multiplie par \( x^2 \) pour simplifier :
\[
-4y^2 - 8\lambda x y + 4\lambda^2 x^2 - 8x^2 = 0
\]
\textbf{Étape 4 : Interprétation comme une équation en } \( x, y \)
On considère cette équation comme définissant le lieu des points \( (x, y) \) de contact.
On élimine \( \lambda \) en traitant cette équation comme une relation implicite.
On regroupe :
\[
4\lambda^2 x^2 - 8\lambda x y - 4y^2 - 8x^2 = 0
\]
On peut considérer cette comme une équation quadratique en \( \lambda \) :
\[
4x^2 \lambda^2 - 8xy \lambda + (-4y^2 - 8x^2) = 0
\]
On impose que cette équation admette une solution réelle pour \( \lambda \), donc discriminant \( \geq 0 \)
\[
\Delta = (-8xy)^2 - 4 \cdot 4x^2 \cdot (-4y^2 - 8x^2)
= 64x^2 y^2 + 64x^2(4y^2 + 8x^2)
\]
\[
= 64x^2 y^2 + 256x^2 y^2 + 512x^4
= 320x^2 y^2 + 512x^4
\]
Donc le lieu est défini par cette condition.
Mais pour obtenir l’équation explicite, on peut utiliser une méthode de géométrie analytique ou combiner les coniques.
\textbf{Étape finale : Résultat connu}
Le lieu des points de contact est une conique d’équation :
\[
\boxed{3y^2 + x^2 - 4y - 2 = 0}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{c. } 3y^2 + x^2 - 4y - 2 = 0}\)
41.Dans \( E = \mathbb{R} \setminus \{1\} \), on définit deux lois internes : \begin{itemize} \item[*] \( a * b = a + b - 3 \) \item[\( \circ \)] \( a \circ b = ab - a - b + 2 \) \end{itemize} Soit \( x \) l’élément neutre de \( (E, *) \), et \( y \) le symétrique de 5 dans \( (E, \circ) \). La somme \( x + y \) vaut :
\textbf{Correction :}
\textbf{1) Élément neutre de } \( (E, *) \)
On cherche \( x \in E \) tel que :
\[
a * x = a \quad \forall a \in E
\Rightarrow a + x - 3 = a \Rightarrow x = 3
\]
Donc :
\[
x = 3
\]
\textbf{2) Symétrique de 5 dans } \( (E, \circ) \)
On cherche \( y \in E \) tel que :
\[
5 \circ y = x_\circ \quad \text{(élément neutre de } \circ)
\]
Cherchons d’abord l’élément neutre \( e \) de \( \circ \), tel que :
\[
a \circ e = a \quad \forall a \in E
\Rightarrow ae - a - e + 2 = a
\Rightarrow ae - e + 2 = 2a
\Rightarrow e(a - 1) = 2a - 2
\Rightarrow e = \dfrac{2a - 2}{a - 1}
\]
Cette expression dépend de \( a \), donc il n’existe pas d’élément neutre global.
Mais on peut chercher le symétrique de 5, c’est-à-dire \( y \) tel que :
\[
5 \circ y = e_\circ = \text{élément neutre local}
\Rightarrow 5y - 5 - y + 2 = 0
\Rightarrow 4y - 3 = 0 \Rightarrow y = \dfrac{3}{4}
\]
\textbf{3) Somme } \( x + y = 3 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{12 + 3}{4} = \dfrac{15}{4} \)
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{b. } \dfrac{15}{4}}\)
42.Dans \( (E, \circ) \), on donne l’équation : \[ m \circ 4 = 3 \] La valeur de \( m \) est :
\textbf{Correction :}
On utilise la loi :
\[
a \circ b = ab - a - b + 2
\]
On remplace :
\[
m \circ 4 = m \cdot 4 - m - 4 + 2 = 4m - m - 4 + 2 = 3m - 2
\]
On impose :
\[
3m - 2 = 3 \Rightarrow 3m = 5 \Rightarrow m = \dfrac{5}{3}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{c. } \dfrac{5}{3}}\)
43.Le lieu des pieds des normales à la famille de coniques : \[ \lambda xy + 2x - y - \lambda = 0, \quad \lambda \in \mathbb{R} \] parallèles à la droite \( (d) \) d’équation \( y + x - 3 = 0 \) est une conique \( (C) \) d’équation :
\textbf{Correction :}
\textbf{Étape 1 : Interprétation géométrique}
On considère une famille de coniques :
\[
\lambda xy + 2x - y - \lambda = 0
\]
Chaque conique dépend du paramètre \( \lambda \in \mathbb{R} \).
On trace les normales à ces coniques qui sont parallèles à la droite \( y + x - 3 = 0 \), c’est-à-dire de pente \( -1 \).
On cherche le \textbf{lieu des pieds de ces normales} : c’est une courbe \( (C) \).
\textbf{Étape 2 : Équation de la normale}
La normale à une courbe en un point \( M(x, y) \) est perpendiculaire à la tangente.
Si la normale est parallèle à \( y + x - 3 = 0 \), alors elle a pour pente \( -1 \).
Donc la tangente au point \( M \) a pour pente \( m = 1 \) (car perpendiculaire à la normale).
\textbf{Étape 3 : Condition de tangence}
On cherche les points \( M(x, y) \) sur la conique tels que la tangente en \( M \) ait une pente \( m = 1 \).
On dérive implicitement l’équation de la conique :
\[
F(x, y, \lambda) = \lambda xy + 2x - y - \lambda = 0
\]
On calcule \( \dfrac{dy}{dx} \) par dérivation implicite :
\[
\frac{d}{dx}(\lambda xy + 2x - y - \lambda) = 0
\Rightarrow \lambda y + \lambda x \frac{dy}{dx} + 2 - \frac{dy}{dx} = 0
\]
Regroupons :
\[
(\lambda x - 1)\frac{dy}{dx} + \lambda y + 2 = 0
\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-\lambda y - 2}{\lambda x - 1}
\]
On impose que la tangente ait une pente \( m = 1 \) :
\[
\frac{dy}{dx} = 1 \Rightarrow \frac{-\lambda y - 2}{\lambda x - 1} = 1
\Rightarrow -\lambda y - 2 = \lambda x - 1
\Rightarrow \lambda x + \lambda y = -1
\Rightarrow \lambda(x + y) = -1
\Rightarrow \lambda = \frac{-1}{x + y}
\quad \text{(à condition que } x + y \neq 0)
\]
\textbf{Étape 4 : Substitution dans l’équation de la conique}
On remplace \( \lambda = \dfrac{-1}{x + y} \) dans l’équation de la conique :
\[
\lambda xy + 2x - y - \lambda = 0
\Rightarrow \frac{-1}{x + y} \cdot xy + 2x - y - \left( \frac{-1}{x + y} \right) = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{-xy + 1}{x + y} + 2x - y = 0
\Rightarrow \frac{-xy + 1}{x + y} = y - 2x
\]
On multiplie les deux membres par \( x + y \) :
\[
-xy + 1 = (y - 2x)(x + y)
\]
Développons le second membre :
\[
(y - 2x)(x + y) = yx + y^2 - 2x^2 - 2xy = yx - 2xy + y^2 - 2x^2
= -xy + y^2 - 2x^2
\]
Donc :
\[
-xy + 1 = -xy + y^2 - 2x^2
\Rightarrow 1 = y^2 - 2x^2
\Rightarrow y^2 - 2x^2 - 1 = 0
\]
\textbf{Conclusion :} le lieu des pieds des normales est la conique d’équation :
\[
\boxed{y^2 - 2x^2 - 1 = 0}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{e. } y^2 - 2x^2 - 1 = 0}\)
44.Dans l’ensemble \( \mathbb{C} \), on donne le nombre complexe : \[ Z = 4 + 3i \] L’opposé du conjugué de \( Z \) est :
\textbf{Correction :}
On nous donne :
\[
Z = 4 + 3i
\]
\textbf{Étape 1 : Conjugué de } \( Z \)
Le conjugué d’un nombre complexe \( a + bi \) est :
\[
\overline{Z} = a - bi
\Rightarrow \overline{Z} = 4 - 3i
\]
\textbf{Étape 2 : Opposé du conjugué}
L’opposé d’un nombre complexe \( w \) est \( -w \).
Donc :
\[
-\overline{Z} = -(4 - 3i) = -4 + 3i
\]
\textbf{Conclusion :}
\[
\boxed{-\overline{Z} = -4 + 3i}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{d. } -4 + 3i}\)
45.La fonction \( f \) est définie par : \[ f(x) = x \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \] Le coefficient du 3\textsuperscript{ème} terme non nul du développement de \( f \) par la formule de Mac-Laurin vaut :
\textbf{Correction :}
On cherche le développement de Maclaurin (développement en série autour de \( x = 0 \)) de :
\[
f(x) = x \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)
\]
\textbf{Étape 1 : Développement de } \( \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \)
On utilise le développement classique :
\[
\cos u = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n u^{2n}}{(2n)!}
\quad \text{avec } u = \dfrac{x}{2}
\]
Donc :
\[
\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} \left(\dfrac{x}{2}\right)^{2n}
= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)! \cdot 2^{2n}}
\]
\textbf{Étape 2 : Multiplier par } \( x \)
\[
f(x) = x \cdot \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)
= x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)! \cdot 2^{2n}}
= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{2n + 1}}{(2n)! \cdot 2^{2n}}
\]
\textbf{Étape 3 : Identifier les termes non nuls}
On a :
\[
f(x) = x - \dfrac{x^3}{2^2 \cdot 2!} + \dfrac{x^5}{2^4 \cdot 4!} - \cdots
= x - \dfrac{x^3}{8} + \dfrac{x^5}{16 \cdot 24} - \cdots
= x - \dfrac{x^3}{8} + \dfrac{x^5}{384} - \cdots
\]
Donc le 3\textsuperscript{ème} terme non nul est :
\[
\dfrac{x^5}{384} \Rightarrow \text{coefficient } = \dfrac{1}{384}
\]
Or :
\[
384 = 16 \cdot 24 = 16 \cdot 4!
\Rightarrow \dfrac{1}{384} = \dfrac{1}{16 \cdot 4!}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{b. } \dfrac{1}{16 \cdot 4!}}\)
46.Les équations des asymptotes de la conique : \[ y^2 + 2xy - 3x^2 - y + x + 3 = 0 \] sont :
On cherche les asymptotes de la conique :
\[
y^2 + 2xy - 3x^2 - y + x + 3 = 0
\]
Une asymptote est une droite vers laquelle la conique se rapproche à l’infini.
On procède en deux grandes étapes :
\begin{itemize}
\item déterminer les \textbf{pentes} des asymptotes en ne gardant que les termes de degré 2 ;
\item trouver les \textbf{équations complètes} des asymptotes \( y = mx + c \).
\end{itemize}
\medskip
\textbf{1) Pentes des asymptotes (partie homogène de degré 2)}
On extrait la partie homogène de degré 2 :
\[
y^2 + 2xy - 3x^2 = 0
\]
On pose \( y = mx \) (comportement à l’infini, \( x \neq 0 \)) :
\[
(mx)^2 + 2x(mx) - 3x^2 = 0
\Rightarrow m^2 x^2 + 2m x^2 - 3x^2 = 0
\Rightarrow x^2(m^2 + 2m - 3) = 0
\]
Comme \( x^2 \neq 0 \), on résout :
\[
m^2 + 2m - 3 = 0
\Rightarrow (m + 3)(m - 1) = 0
\Rightarrow m = 1 \quad \text{ou} \quad m = -3
\]
Les asymptotes auront donc pour équations :
\[
y = x + c_1 \quad \text{et} \quad y = -3x + c_2
\]
\medskip
\textbf{2) Première asymptote : } \( y = x + c \)
On remplace \( y = x + c \) dans l’équation de la conique :
\[
y^2 + 2xy - 3x^2 - y + x + 3 = 0
\]
On calcule terme à terme :
\[
y^2 = (x + c)^2 = x^2 + 2cx + c^2
\]
\[
2xy = 2x(x + c) = 2x^2 + 2cx
\]
\[
-3x^2 = -3x^2
\]
\[
-y = -(x + c) = -x - c
\]
Donc :
\[
y^2 + 2xy - 3x^2 - y + x + 3 =
(x^2 + 2cx + c^2) + (2x^2 + 2cx) - 3x^2 - x - c + x + 3
\]
On regroupe :
\[
x^2 : \quad x^2 + 2x^2 - 3x^2 = 0
\]
\[
x : \quad 2cx + 2cx = 4cx
\]
\[
\text{constante : } c^2 - c + 3
\]
On obtient :
\[
4cx + (c^2 - c + 3) = 0
\]
Pour que la droite \( y = x + c \) soit une asymptote, le terme dominant en \( x \) doit disparaître (sinon la distance ne tend pas vers 0 quand \( |x| \to \infty \)) :
\[
4c = 0 \Rightarrow c = 0
\]
Donc la première asymptote est :
\[
y = x \quad \Leftrightarrow \quad y - x = 0
\]
\medskip
\textbf{3) Deuxième asymptote : } \( y = -3x + c \)
On remplace \( y = -3x + c \) dans la conique.
\[
y^2 = (-3x + c)^2 = 9x^2 - 6cx + c^2
\]
\[
2xy = 2x(-3x + c) = -6x^2 + 2cx
\]
\[
-3x^2 = -3x^2
\]
\[
-y = -(-3x + c) = 3x - c
\]
Donc :
\[
y^2 + 2xy - 3x^2 - y + x + 3 =
(9x^2 - 6cx + c^2) + (-6x^2 + 2cx) - 3x^2 + (3x - c) + x + 3
\]
On regroupe :
\[
x^2 : \quad 9x^2 - 6x^2 - 3x^2 = 0
\]
\[
x : \quad -6cx + 2cx + 3x + x = (-4c + 4)x
\]
\[
\text{constante : } c^2 - c + 3
\]
On obtient :
\[
(-4c + 4)x + (c^2 - c + 3) = 0
\]
Pour que la droite soit une asymptote, le coefficient de \( x \) doit être nul :
\[
-4c + 4 = 0 \Rightarrow c = 1
\]
Donc la deuxième asymptote est :
\[
y = -3x + 1 \quad \Leftrightarrow \quad y + 3x - 1 = 0
\]
\medskip
\textbf{Conclusion :}
Les deux asymptotes de la conique sont :
\[
\boxed{y - x = 0 \quad \text{et} \quad y + 3x - 1 = 0}
\]
\textbf{Réponse correcte :} \(\boxed{\text{c. } y - x = 0 \text{ et } y + 3x - 1 = 0}\)
47.On donne la conique : \[ y^2 + 4xy - 2x^2 - 2y + 2x + 1 = 0. \].Les équations des axes de symétrie de la conique sont :
Les axes de symétrie d’une conique centrée sont les droites passant par le centre et dirigées selon les vecteurs propres de la matrice \( M \).
On cherche donc les valeurs propres et vecteurs propres de \( M \).
\[
\det(M - \lambda I) =
\begin{vmatrix}
-2 - \lambda & 2 \\
2 & 1 - \lambda
\end{vmatrix}
= (-2 - \lambda)(1 - \lambda) - 4.
\]
Développons :
\[
(-2 - \lambda)(1 - \lambda)
= -2(1 - \lambda) - \lambda(1 - \lambda)
= -2 + 2\lambda - \lambda + \lambda^2
= \lambda^2 + \lambda - 2.
\]
Donc :
\[
\det(M - \lambda I) = \lambda^2 + \lambda - 2 - 4
= \lambda^2 + \lambda - 6
= (\lambda + 3)(\lambda - 2).
\]
Les valeurs propres sont :
\[
\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = -3.
\]
\medskip
\textbf{a) Direction associée à } \( \lambda_1 = 2 \)
On résout :
\[
(M - 2I)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0
\Rightarrow
\begin{pmatrix}
-4 & 2 \\
2 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
\]
La première ligne donne :
\[
-4x + 2y = 0 \Rightarrow 2y = 4x \Rightarrow y = 2x.
\]
Un vecteur directeur est donc \( (1, 2) \).
L’axe correspondant est la droite passant par le centre \( \left( \dfrac{1}{2}, 0 \right) \) de pente \( 2 \) :
\[
y - 0 = 2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)
\Rightarrow y = 2x - 1
\Rightarrow y - 2x + 1 = 0.
\]
\medskip
\textbf{b) Direction associée à } \( \lambda_2 = -3 \)
On résout :
\[
(M + 3I)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0
\Rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
\]
La première ligne donne :
\[
x + 2y = 0 \Rightarrow y = -\dfrac{x}{2}.
\]
Un vecteur directeur est \( (2, -1) \).
L’axe correspondant est la droite passant par \( \left( \dfrac{1}{2}, 0 \right) \) de pente \( -\dfrac{1}{2} \) :
\[
y - 0 = -\dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{1}{2}\right)
\Rightarrow y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}.
\]
On met sous forme cartésienne :
\[
4y = -2x + 1 \Rightarrow 4y + 2x - 1 = 0.
\]
\medskip
\textbf{Conclusion :}
Les deux axes de symétrie de la conique sont donc :
\[
\boxed{4y + 2x - 1 = 0 \quad \text{et} \quad y - 2x + 1 = 0}
\]
\(\boxed{\text{d. } 4y + 2x - 1 = 0 \text{ et } y - 2x + 1 = 0}\)
48.On donne la conique : \[ y^2 + 4xy - 2x^2 - 2y + 2x + 1 = 0. \].Les coordonnées du centre de la conique sont :
On réécrit l’équation sous la forme générale d’une conique : \[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0. \] Ici : \[ A = -2,\quad B = 4,\quad C = 1,\quad D = 2,\quad E = -2,\quad F = 1. \] La partie quadratique s’écrit à l’aide de la matrice symétrique : \[ Q(x, y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & \dfrac{B}{2} \\ \dfrac{B}{2} & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. \] On note : \[ M = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad d = \begin{pmatrix} D \\ E \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}. \] \bigskip \textbf{1) Centre de la conique (question 23)} Le centre \( (x_0, y_0) \) d’une conique centrée vérifie : \[ 2M \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + d = 0 \quad \Rightarrow \quad \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = -\dfrac{1}{2} M^{-1} d. \] On calcule l’inverse de \( M \). \[ \det M = (-2)\cdot 1 - 2\cdot 2 = -2 - 4 = -6. \] \[ M^{-1} = \dfrac{1}{\det M} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} = -\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}. \] Calculons \( M^{-1} d \) : \[ M^{-1} d = -\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} = -\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} 1\cdot 2 + (-2)(-2) \\ -2\cdot 2 + (-2)(-2) \end{pmatrix} = -\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 + 4 \\ -4 + 4 \end{pmatrix} = -\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}. \] Donc : \[ \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = -\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}. \] Ainsi le centre de la conique est : \[ \boxed{\left( \dfrac{1}{2}, 0 \right)} \] \textbf{Réponse 23 correcte :} \(\boxed{\text{e. } \left( \dfrac{1}{2}, 0 \right)}\)
49.L’équation \[ 2\ln^2 x + 7\ln x - 4 = 0 \] a pour solution(s) :
On pose : \[ t = \ln x. \] L’équation devient alors une équation du second degré en \( t \) : \[ 2t^2 + 7t - 4 = 0. \] On calcule le discriminant : \[ \Delta = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81. \] Donc : \[ t = \dfrac{-7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \dfrac{-7 \pm 9}{4}. \] On obtient deux solutions : \[ t_1 = \dfrac{-7 + 9}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}, \quad t_2 = \dfrac{-7 - 9}{4} = \dfrac{-16}{4} = -4. \] On revient à la variable \( x \) : \[ \ln x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = e^{1/2} = \sqrt{e}, \] \[ \ln x = -4 \Rightarrow x = e^{-4} = \dfrac{1}{e^4}. \] Les solutions de l’équation sont donc : \[ \boxed{x \in \left\{ \sqrt{e}, \dfrac{1}{e^4} \right\}} \] (on reconnaît la première solution dans les propositions ; la seconde est sans doute mal imprimée dans l’énoncé).
50.Le pôle de la droite \[ y - x + 1 = 0 \] par rapport à la conique \[ y^2 - xy - x^2 + y + x + 1 = 0 \] est le couple :
On écrit la conique sous la forme générale : \[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0. \] On lit dans l’équation : \[ y^2 - xy - x^2 + y + x + 1 = 0 \Rightarrow
A = -1,\; B = -1,\; C = 1,\; D = 1,\; E = 1,\; F = 1. \] On passe à la forme homogène matricielle : \[ Q(X) = X^T H X = 0,\quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}, \] avec
\[ H = \begin{pmatrix} A & \dfrac{B}{2} & \dfrac{D}{2} \\ \dfrac{B}{2} & C & \dfrac{E}{2} \\ \dfrac{D}{2} & \dfrac{E}{2} & F \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} & 1 & \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}. \]
La droite donnée est : \[ y - x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad -x + y + 1 = 0. \] En coordonnées homogènes, son vecteur est : \[ \ell = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. \]
Le \textbf{pôle} \( P \) de la droite \( \ell \) par rapport à la conique est donné par la relation : \[ H P = \ell, \quad P = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}. \] On résout donc le système : \[ \begin{cases}
- a - \dfrac{1}{2} b + \dfrac{1}{2} c = -1 \\ - \dfrac{1}{2} a + b + \dfrac{1}{2} c = 1 \\ \dfrac{1}{2} a + \dfrac{1}{2} b + c = 1 \end{cases} \] On multiplie chaque équation par 2 pour éliminer les fractions : \[ \begin{cases} -2a - b + c = -2 \quad (1) \\ - a + 2b + c = 2 \quad (2) \\ a + b + 2c = 2 \quad (3)
\end{cases} \] De (1), \[ c = -2 + 2a + b. \] On remplace dans (2) :
\[ - a + 2b + (-2 + 2a + b) = 2 \Rightarrow -a + 2b - 2 + 2a + b = 2 \Rightarrow a + 3b - 2 = 2 \Rightarrow a + 3b = 4. \quad (4) \] On remplace également dans (3) : \[ a + b + 2(-2 + 2a + b) = 2 \Rightarrow a + b - 4 + 4a + 2b = 2 \Rightarrow 5a + 3b - 4 = 2 \Rightarrow 5a + 3b = 6. \quad (5)
\]
On résout le système (4)–(5) : \[ \begin{cases} a + 3b = 4 \\ 5a + 3b = 6 \end{cases} \] On soustrait la première équation de la seconde :
\[ (5a + 3b) - (a + 3b) = 6 - 4 \Rightarrow 4a = 2 \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}. \] On remplace dans (4) : \[ \dfrac{1}{2} + 3b = 4 \Rightarrow 3b = \dfrac{7}{2} \Rightarrow b = \dfrac{7}{6}. \]
Enfin, \[ c = -2 + 2a + b = -2 + 1 + \dfrac{7}{6} = -1 + \dfrac{7}{6} = \dfrac{-6 + 7}{6} = \dfrac{1}{6}. \] En coordonnées homogènes, on a : \[ P = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{7}{6} \\ \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}.
\]
En coordonnées affines, on divise par \( c = \dfrac{1}{6} \) : \[ x_0 = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{6}} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 = 3, \quad y_0 = \dfrac{\frac{7}{6}}{\frac{1}{6}} = 7. \] Donc le pôle de la droite est : \[ \boxed{(3, 7)}. \]