1.L' équation \[ \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{2x} - e^{-2x}} = \frac{e^{x}}{5} \] a pour solution(s):
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2.On donne la fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^4} \] La limite de \( f \) lorsque \( x \to 0 \) est :
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3.On donne deux cercles \( C_1 \) et \( C_2 \) d'équations respectives : \[ C_1 : x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \] \[ C_2 : x^2 + y^2 + 2x - 4y - 31 = 0 \] Le cercle \( C_3 \) passe par l'intersection des cercles \( C_1 \) et \( C_2 \), de telle sorte que les coordonnées de son centre sont opposées. Le cercle \( C_3 \) a pour équation :
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4.Par la formule de Mac Laurin et en considérant les deux premiers termes non nuls de son développement, la fonction \( f \) définie par \[ f(x) = \arctan(2x) \] s'écrit sous la forme : \[ f(x) = ax + bx^3. \] Le produit \( a \cdot b \) vaut :
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5.Dans l'ensemble \( \mathbb{C} \), l'équation \[ z^3 - 2(1+i)z^2 + (2+3i)z + 5 + 5i = 0 \] admet \( z_1 = -1 \) comme l'une des racines. Les deux autres racines sont \( z_2 \) et \( z_3 \), avec \( \text{Re}(z_3) \neq 0 \). La valeur de l'expression \( z_1 + z_2 - z_3 \) est :
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6.On donne la branche de cycloïde d'équations paramétriques : \[ \begin{cases} x(t) = \dfrac{1}{2}(t - \sin t) \\ y(t) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos t) \end{cases} \quad \text{pour } t \in [0, 2\pi] \] La surface comprise entre l'axe des abscisses et la branche vaut :
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7.La fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = 5^{\sin 3x} \] est dérivable sur \( \mathbb{R} \). La fonction dérivée \( f'(x) \) est :
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8.La fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = x^2 \ln(3x) \] admet une primitive \( F(x) \), à une constante additive près. La fonction \( F(x) \) est :
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9.On donne la famille des coniques d'équations : \[ 4y^2 - 2\lambda xy + x^2 + 2y - \lambda x = 0 \] Le lieu du centre de cette famille a pour équation :
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10.On donne la famille des coniques d'équations : \[ 4y^2 - 2\lambda xy + x^2 + 2y - \lambda x = 0 \] .Ce lieu du centre représente une :
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11.La conique \( \gamma \) d'équation : \[ y^2 + 4xy - 2x^2 + 12x - 9 = 0 \] admet deux axes de symétrie d'équation :
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12.Les axes sont transportés parallèlement à eux-mêmes de telle sorte que la nouvelle origine coïncide avec le centre de la conique \( \gamma \) d'équation : \[ 2y^2 + x^2 - 4y + 5x - 3 = 0 \] L'équation transformée de la conique est :
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13.Dans l'ensemble \( \mathbb{R} \) des réels, la loi \( * \) est définie par : \[ a * b = a + b(1 - 2a) \] L'équation : \[ (x * 2) * 3 = 38 \] est soluble dans \( \mathbb{R} \) avec \( x \) égal à :
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14.Définie en coordonnées polaires, l'équation : \[ \rho = \frac{2}{1 - \cos(\omega)} \] représente :
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15.La polaire du point \( P(2, -3) \) par rapport à la conique \( \gamma \), d'équation : \[ 3y^2 - 2xy - 3y + 1 = 0 \] a pour équation :
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16.La tangente au cercle d'équation : \[ x^2 + y^2 = 25 \] au point \( (3, -4) \) a pour équation :
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17.La droite \( (d) \equiv y - x + 1 = 0 \) admet un pôle \( (a, b) \) par rapport à la conique d'équation : \[ y^2 - 2xy - 3x + 1 = 0 \] Le pôle \( (a, b) \) est :
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18.La droite \( (d) \) passe par l'intersection des droites : \[ (d_1) \equiv y - 2x - 4 = 0 \quad \text{et} \quad (d_2) \equiv 3y + x + 4 = 0 \] de telle sorte que son ordonnée à l'origine soit égale à 2. L'équation de \( (d) \) est :
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19.On donne la branche de cycloïde d'équations paramétriques : \[ \begin{cases} x(t) = 2(t - \sin t) \\ y(t) = 2(1 - \cos t) \end{cases} \quad \text{avec } t \in [0, 2\pi] \] Le volume \( V \) engendré par la rotation de cette branche autour de l’axe des abscisses est :
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20.La conique \( \gamma \) d'équation : \[ y^2 - 25x^2 + 50x - 6y - 9 = 0 \] admet deux asymptotes d'équation :
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21.L'inéquation : \[ \log_3(x - 2) > \dfrac{1}{2} \log_3 x \] admet dans \( \mathbb{R} \) une solution. L'ensemble-solution \( S \) est :
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22.Le cercle \( C \) est tangent à la droite : \[ y + 3x + 2 = 0 \] au point \( A(-1, 1) \), et passe par le point \( B(5, 3) \). L'équation du cercle \( C \) est :
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23.Après une translation d’axes, le point \( A(-4, -5) \) devient \( B(-2, 6) \). Les coordonnées de l’origine du nouveau système d’axes relativement à l’ancien système sont de la forme \( (u, v) \). Le couple \( (u, v) \) est :
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24.On donne la conique \( \gamma \) d'équation : \[ 3x^2 - 10y = 0 \] Les coordonnées du foyer et la valeur du latus rectum sont respectivement :
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25.La proposition fausse est :
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