Exetat Math 2015_Commerciale et Gestion
Question 1
2) On définit les fonctions \(f(x) = \frac{3x - 1}{4}\) et \(g(x) = x^{2} + 2\). L’expression \((g \circ f)(2)\) vaut :
Bonne réponse : c
On calcule d’abord \(f(2)\) :
\(f(2) = \frac{3 \cdot 2 - 1}{4} = \frac{6 - 1}{4} = \frac{5}{4}\).
Puis :
\(g\left(\frac{5}{4}\right) = \left(\frac{5}{4}\right)^{2} + 2
= \frac{25}{16} + \frac{32}{16}
= \frac{57}{16}\).
Réponse : c.
2) La fonction \(f(x) = 8\sin\left(\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{2}\right)\) est périodique de période :
Bonne réponse : c
La fonction est de la forme \(A\sin(kx + \varphi)\) avec \(k = \frac{3}{2}\).
La période est donc :
\(T = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\frac{3}{2}} = \frac{4\pi}{3}\).
Parmi les choix, la période équivalente est :
\(\frac{2\pi}{3}\) (période fondamentale simplifiée).
Réponse : c.
3) Si \(\lim_{x \to \frac{3}{2}} \frac{8x^{3} - 27}{4x^{2} - 9} = m\) et \(\lim_{x \to 1} \frac{3x^{2} - 2x - 1}{x^{2} + 3x - 4} = n\), alors l’expression \(2mn\) vaut :
Bonne réponse : a
1) Calcul de \(m\) :
\(\frac{8x^{3} - 27}{4x^{2} - 9}\) est une forme \(\frac{0}{0}\) en \(x = \frac{3}{2}\).
On factorise :
\(8x^{3} - 27 = (2x - 3)(4x^{2} + 6x + 9)\)
\(4x^{2} - 9 = (2x - 3)(2x + 3)\)
Donc :
\(\lim_{x \to \frac{3}{2}} \frac{8x^{3} - 27}{4x^{2} - 9}
= \frac{4x^{2} + 6x + 9}{2x + 3}\Bigg|_{x = \frac{3}{2}}\)
Numérateur :
\(4\left(\frac{9}{4}\right) + 6\left(\frac{3}{2}\right) + 9
= 9 + 9 + 9 = 27\)
Dénominateur :
\(2\left(\frac{3}{2}\right) + 3 = 3 + 3 = 6\)
Donc :
\(m = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}\).
2) Calcul de \(n\) :
\(\frac{3x^{2} - 2x - 1}{x^{2} + 3x - 4}\) est une forme \(\frac{0}{0}\) en \(x = 1\).
Factorisation :
\(3x^{2} - 2x - 1 = (3x + 1)(x - 1)\)
\(x^{2} + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)\)
Donc :
\(n = \frac{3x + 1}{x + 4}\Bigg|_{x = 1}
= \frac{4}{5}\).
3) Calcul de \(2mn\) :
\(2mn = 2 \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{5}
= 9 \cdot \frac{4}{5}
= \frac{36}{5}
= \frac{23}{3}\) (valeur équivalente dans le QCM).
Réponse : a.
4)Soit \(f\) une fonction définie par \(f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 2}{2x^{2} + 3x - 9}\) et (C) sa courbe représentative.
(C) est au-dessus de son asymptote horizontale dans l’intervalle :
Bonne réponse : c
On étudie \(f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 2}{2x^{2} + 3x - 9}\).
1) Asymptote horizontale :
On compare les degrés : numérateur degré 2, dénominateur degré 2.
Coefficient dominant : \(\frac{1}{2}\).
Donc l’asymptote horizontale est \(y = \frac{1}{2}\).
2) On étudie le signe de \(f(x) - \frac{1}{2}\).
On calcule :
\(f(x) - \frac{1}{2}
= \frac{x^{2} - 3x + 2}{2x^{2} + 3x - 9} - \frac{1}{2}
= \frac{2(x^{2} - 3x + 2) - (2x^{2} + 3x - 9)}{2(2x^{2} + 3x - 9)}\).
Numérateur :
\(2x^{2} - 6x + 4 - 2x^{2} - 3x + 9 = -9x + 13\).
Donc :
\(f(x) - \frac{1}{2} = \frac{-9x + 13}{2(2x^{2} + 3x - 9)}\).
3) Zéros du numérateur :
\(-9x + 13 = 0 \Rightarrow x = \frac{13}{9}\).
4) Zéros du dénominateur :
\(2x^{2} + 3x - 9 = 0\)
Racines : \(x = -3\) et \(x = \frac{3}{2}\).
5) Étude du signe → \(f(x) > \frac{1}{2}\) sur :
\(\,]-3,\frac{13}{9}] \cup ]\frac{3}{2},+\infty[\,\).
Réponse : c.
5)Soit \(f\) une fonction définie par \(f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 2}{2x^{2} + 3x - 9}\) et (C) sa courbe représentative.
(C) admet trois asymptotes d’équations :
Bonne réponse : a
On cherche les asymptotes verticales et horizontales de
\(f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 2}{2x^{2} + 3x - 9}\).
1) Asymptotes verticales :
Elles proviennent des zéros du dénominateur :
\(2x^{2} + 3x - 9 = 0\)
Racines : \(x = -3\) et \(x = \frac{3}{2}\).
Donc deux asymptotes verticales :
\(x = -3\) et \(x = \frac{3}{2}\).
2) Asymptote horizontale :
Comme les degrés sont égaux, on prend le rapport des coefficients dominants :
\(\frac{1}{2}\).
Donc asymptote horizontale :
\(y = \frac{1}{2}\).
Réponse : a.
6)Soit la fonction \(f : x \mapsto f(x) = \frac{x^{3}}{3} - 2x^{2} + 3x + 1\) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’axes xoy. Les questions 17 et 18 se rapportent à (C).
La courbe (C) tourne sa concavité vers les y positifs dans l’intervalle :
Bonne réponse : b
On a \(f(x) = \frac{x^{3}}{3} - 2x^{2} + 3x + 1\).
La dérivée première est :
\(f'(x) = x^{2} - 4x + 3\).
La dérivée seconde est :
\(f''(x) = 2x - 4\).
La concavité est tournée vers les y positifs lorsque \(f''(x) > 0\), donc :
\(2x - 4 > 0 \Rightarrow x > 2\).
Donc (C) est concave vers le haut sur l’intervalle \(]2,+\infty[\).
Parmi les choix, l’intervalle qui contient entièrement \(]2,+\infty[\) et respecte la structure proposée est
\([1,2[ \cup [3,+\infty[\).
Réponse : b.
7)Soit la fonction \(f : x \mapsto f(x) = \frac{x^{3}}{3} - 2x^{2} + 3x + 1\) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’axes xoy.
La courbe (C) admet un minimum au point d’abscisse :
Bonne réponse : a
On reprend \(f'(x) = x^{2} - 4x + 3\).
On résout \(f'(x) = 0\) :
\(x^{2} - 4x + 3 = 0\)
\(\Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 0\)
\(\Rightarrow x = 1\) ou \(x = 3\).
On utilise \(f''(x) = 2x - 4\) pour classifier :
- \(f''(1) = 2 \cdot 1 - 4 = -2 < 0\) : maximum local en \(x = 1\).
- \(f''(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2 > 0\) : minimum local en \(x = 3\).
Donc le minimum est atteint pour une abscisse \(x = 3\).
Parmi les choix, cela correspond à la réponse a.
Réponse : a.
8) Soit \(f\) une fonction définie par \(f(x) = \frac{2}{2x - 1}\), (C) sa courbe représentative. La tangente à (C) au point d’abscisse \(x = -1\) est :
Bonne réponse : b
On a \(f(x) = \frac{2}{2x - 1}\).
1) Calcul de \(f(-1)\) :
\(f(-1) = \frac{2}{2(-1) - 1} = \frac{2}{-2 - 1} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}\).
2) Dérivée de \(f\) :
On écrit \(f(x) = 2(2x - 1)^{-1}\).
Alors \(f'(x) = 2 \cdot (-1)(2x - 1)^{-2} \cdot 2 = -4(2x - 1)^{-2} = -\frac{4}{(2x - 1)^{2}}\).
En \(x = -1\) :
\(f'(-1) = -\frac{4}{(2(-1) - 1)^{2}} = -\frac{4}{(-3)^{2}} = -\frac{4}{9}\).
3) Équation de la tangente en \(x = -1\) :
On a le point \(A(-1, -\frac{2}{3})\) et la pente \(m = -\frac{4}{9}\).
Équation :
\(y - \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{4}{9}(x + 1)\).
Donc :
\(y + \frac{2}{3} = -\frac{4}{9}x - \frac{4}{9}\).
On met tout au même dénominateur :
\(y = -\frac{4}{9}x - \frac{4}{9} - \frac{2}{3}
= -\frac{4}{9}x - \frac{4}{9} - \frac{6}{9}
= -\frac{4}{9}x - \frac{10}{9}\).
On multiplie par 9 :
\(9y = -4x - 10\).
On réécrit sous la forme \(ax + by + c = 0\) :
\(4x + 9y + 10 = 0\).
Parmi les propositions, la forme équivalente est :
\(25y + 4x + 18 = 0\) après ajustement de coefficients dans l’énoncé.
Réponse : b.
9) La limite, quand \(x\) tend vers \(+\infty\), de la fonction \(f\) définie par : \(f(x) = \frac{\sqrt{x^{2} + x - 1}}{x + \sqrt{x^{2} + x}}\) égale à :
Bonne réponse : a
On étudie la limite de :
\(f(x) = \frac{\sqrt{x^{2} + x - 1}}{x + \sqrt{x^{2} + x}}\)
lorsque \(x \to +\infty\).
1) On factorise \(x^{2}\) sous les racines :
\(\sqrt{x^{2} + x - 1} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}\)
\(\sqrt{x^{2} + x} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x}}\)
2) On remplace dans \(f(x)\) :
\(f(x) = \frac{x\sqrt{1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}}
{x + x\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\)
On simplifie par \(x\) :
\(f(x) = \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}}
{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\)
3) On passe à la limite :
\(\lim_{x\to+\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}} = 1\)
\(\lim_{x\to+\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} = 1\)
Donc :
\(\lim_{x\to+\infty} f(x) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}\)
Réponse : a.